新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2基本不等式提升训练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE16基本不等式基础过关练题组一对基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是 ()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba2.不等式(x-2y)+1x-2y≥2A.x≥2y B.x>2yC.x≤2y D.x<2y3.(2020山东德州夏津一中高一月考)不等式9x-2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是A.x=5 B.x=-3C.x=3 D.x=-54.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是 ()A.3x+12xB.3x2+12xC.3(x2+1)+12(D.3(x2-1)+12(题组二利用基本不等式比较大小5.(多选)(2021辽宁葫芦岛高一质量检测)已知两个不等正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是 ()A.ab<14 B.1a+C.a+b<2 D.a2+b2>16.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是 ()A.b>a+b2>a>ab B.b>ab>C.b>a+b2>ab>a D.b>a>7.小W从A地到B地和从B地到A地的速度分别为m和n(m>n),其全程的平均速度为v,则 ()A.m+n2<v<m B.n<C.mn<v<m+n2 D.8.若a>b>c,则a-c2与(9.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p,q>0,且p≠q,题组三利用基本不等式求最值10.已知实数x,y>0,则x+y+4x+1y的最小值为 (A.42 B.6 C.210 D.3611.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+4x-1(x>1),则函数的最小值等于A.42 B.42+1C.5 D.912.(2021宁夏大学附属中学高二上期中)若-2<x<0,则函数y=-x(x+2)的最大值为 ()A.1 B.2 C.4 D.513.已知a>b>0,则a2+16b(a-A.8 B.82 C.16 D.16214.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为 ()A.9 B.8 C.6 D.315.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知正实数x,y满足x+y=1,则1x+1y的最小值是16.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;(2)已知x<54,求4x-2+14题组四利用基本不等式证明不等式17.(2021福建三明第一中学高一上月考)已知a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).18.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:b+c-aa+19.设x>0,求证:x+22x+1题组五利用基本不等式解决实际问题20.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是 ()A.4.6m B.4.8m C.5m D.5.2m21.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为 ()A.20m B.50mC.1010m D.100m22.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是 ()A.14 B.4 C.182.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a>0,b>0,a+b=1,则a2+4a+b2+4A.6 B.8 C.15 D.173.(2021河北辛集中学高一上月考,)已知a>0,b>0,a+b=4ab,则a+b的最小值为 ()A.12 B.1 C.2 4.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x,y满足x2+y22=1,则x1+y2的最大值为A.32 B.322 C.35.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a=,b=.

6.(2020河北唐山第一中学高一下月考,)已知x>0,则x2+3x+67.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a,b∈R,且a>b>0,a+b=1,则a2+2b2的最小值为,4a-b+128.(2021江苏苏州高一期末,)已知a,b均为正实数且ab+a+3b=9,则a+3b的最小值为.

9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知x>0,y>0,4x2+y2+xy=1,求:(1)4x2+y2的最小值;(2)2x+y的最大值.题组二利用基本不等式证明不等式10.()已知a,b为正数,求证:1a+4b≥211.()若a>b,且ab=2,求证:a2+b212.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1(2)1+1a1+

13.()(1)已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+b2+c2+c2+(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:a2x+b21-x≥(题组三基本不等式在实际问题中的应用14.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则 ()A.x=p+q2 B.C.x>p+q2 D.15.(2020湖北宜昌高三期末,)某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-300x+80000,为使每吨的平均处理成本最低,则该厂每月的处理量应为 ()A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨16.(2021山东菏泽第一中学等六校高一上联考,)欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为m2.

17.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元18.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(InternetofThings,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?答案全解全析基础过关练1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴ba>0,ab>0,∴ba+ab≥2ba·ab2.B因为不等式成立的前提条件是x-2y和1x-2y均为正数,所以x-2y>0,即x>2y3.A当x>2时,9x-2+(x-2)≥29x-2·(x-2)=6,等号成立的条件是9x-2=x-2,即(x4.B对于A,x可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x2+12x2≥6,当且仅当3x2=12x2,即x4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x2+1)=12(x2+1)时,(x2+1)2=15.ACDA.因为a,b为两个不等正数,所以ab<a+b2=12,可得ab<14B.因为1a+1b=a+bab=1ab,所以由选项A可知,C.因为(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab,所以由选项D.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,所以由选项A可知,a2+b2=1-2ab>12,故选项D正确6.C∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>a+b2∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.故b>a+b2>7.B设从A地到B地的路程为s,小W从A地到B地和从B地到A地所用的时间分别为t1,t2,则t1=sm,t2=sn,其全程的平均速度为v=2st1∵m>n>0,∴v=2mnm+n<v-n=2mnm+n-n=∴n<v<mn.故选B.8.答案a-c解析因为a>b>c,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c9.答案乙解析不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为1+p易知(1+p=1+p%+q%2,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,故(1+p%)(1+q%)<1+p+q10.B∵x,y>0,∴x+y+4x+1y≥2x·4x+2y·1y=4+2=6,当且仅当x=4x且y=故选B.11.C因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.12.A∵-2<x<0,∴-x>0,x+2>0,∴y=-x(x+2)≤-x当且仅当-x=x+2,即x=-1时等号成立.故选A.规律总结1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分,消元或配凑因式.13.C∵a>b>0,∴由基本不等式的变形可得b(a-b)≤b+a-b22=a24,∴a2+16b(a-b)≥a2+16a24误区警示利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致,如本题中第一次利用基本不等式取等号的条件为b=a-b,第二次利用基本不等式取等号的条件为a2=64a2,14.C∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,当且仅当x=215.答案4解析由题意可得,1x+1y=x=2+yx+xy≥2+2当且仅当x=y=12时等号成立16.解析(1)∵1=4a+b≥24ab=4ab∴ab≤14,∴ab≤1当且仅当4a=b,即a=18,b=12故ab的最大值为116(2)∵x<54,∴5-4x∴4x-2+14x-5=-5-当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立,故4x-2+17.证明由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).18.证明∵a,b,c是三个不全相等的正数,∴三个不等式ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+则ba+ab+ca+ac+∴ba+ca-1+cb+即b+c-aa+19.证明因为x>0,所以x+12所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x>0时,20.C设直角三角形两直角边长分别为xm,ym,则12xy=1,即xy=2周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.21.B设BC=xm,则CD=1000x所以S矩形A1B=1040+4x+10000≥1040+24x当且仅当4x=10000x,即x=50时,等号成立所以当BC的长度为50m时,整个项目占地面积最小.故选B.22.解析设楼房每平方米的平均综合费用为y元.依题意得y=s+8000×100004000x=50x+20000x+3000(x≥12,x∈N因为50x+20000x≥2×50x当且仅当50x=20000x,即x=20时,等号成立所以当x=20时,y取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.能力提升练1.C由题意得,xy=12×2xy≤12×2x+y22当且仅当2x=y,即x=14,y=12时等号成立,所以xy的最大值是18.2.D易得a2+4a+b2+4b=a+b+4a又ab≤a+b22=14,∴1∴a2+4a+b2+4b≥17,当且仅当a故选D.3.B∵a+b=4ab,a>0,b>0,∴等式两边同除以ab,得1a+1∴a+b=(a+b)·141a+≥12+14×2ba·a当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号.4.D∵正数x,y满足x2+y2∴2x2+y2=2,∴x1+y2=22×2x×1+y2≤22×(2当且仅当2x2+y∴x1+y2的最大值为5.答案1;1解析a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,所以a=1,b=126.答案5解析∵x>0,∴x+1>1,∴x2+3x+6x+1=(x+1当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,∴x2+3x7.答案23解析因为a+b=1,所以a=1-b,因为a>b>0,所以0<b<12所以a2+2b2=(1-b)2+2b2=3b2-2b+1=3b-132+23,所以当b=13时,a易得4a-b+12b=4a-b+12b=41-2b+12当且仅当8b1-2b=1-2b2b,即b=8.答案6解析∵ab+a+3b=9,∴a=9-3bb+1,由题意可知,a=9∵a+3b=9-3bb+1+3b=12-3(b+1)b+1+3b=12b+1+3(方法点睛求含多个字母的代数式的最值,常见的方法有消元法、基本不等式法等.应用消元法时要注意变元范围的传递.应用基本不等式法时,需遵循“一正、二定、三相等”的原则,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要将给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.9.解析(1)∵4x2+y2≥2·2x·y=4xy,∴xy≤4x2+y24,当且仅当又4x2+y2+xy=1,∴1=4x2+y2+xy≤4x2+y2+4x∴4x2+y2≥45,当且仅当x=1010,y=10∴4x2+y2的最小值是45(2)由4x2+y2+xy=1,得(2x+y)2-1=3xy.又∵2xy≤(2x+y)24,∴(2x+y)2-1≤32×(2x+y)24,解得(2x+y)2≤当且仅当x=1010,y=105∴2x+y的最大值是21010.证明因为a>0,b>0,所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab≥6+2ba·8ab=6+42=2(2+1)因为2a+b>0,所以1a+4b≥11.证明a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a所以a2+b12.证明(1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b+1ab=1a+1b1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba∴1a+1b+1ab(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+b同理,1+1b=2+a∴1+1a=5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当a=b∴1+1a1+证法二:1+1a1+1b=1+1由(1)知,1a+1b+1故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9,当且仅当a13.证明(1)∵a+b2≤a2+b22,∴a2+b2≥a+b2=同理,b2+c2≥22(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),a2+c2≥22(a+c三式相加得a2+b2+b2+c2+a2+c2≥22(a+b=2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).(2)∵0<x<1,∴1-x>0.又∵a>0,b>0,∴不等式左边=(x+1-x)a2x+b21-x=a2+b2+x1-x·b2+1-xx·a2≥a2+b2+2x1-x·b2·1-xx·a2=a2+b2+2ab=(故a2x+b21-x≥(14.D由题意可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(