专题 与角度有关的计算问题（35题提分练）2024-2025学年七年级数学上册同步课堂（北师大版2024）VIP

第第页（北师大版）七年级上册数学《第4章基本平面图形》专题与角度有关的计算问题（解答题35题）（基础题＆提升题＆压轴题）题型一基础题1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．【分析】先根据角的和差求出∠BOD的度数，在根据角的平分线定义求出∠BOE的度数，最后根据角的和差求解即可．【解答】解：∵∠BOC＝20°，∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝110°，又OE是∠BOD的角平分线，∴∠BOE＝12∠BOD∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝35°．【点评】本题考查了角平分线的有关计算，正确求出∠BOE的度数是解题的关键．2．（2023秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数．【分析】设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根据∠2＝80°，列出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，即可求解．【解答】解：设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根据∠2＝80°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，代入即得：x+80°+2x+4x＝360°，解得：x＝40°，故∠1＝40°，∠3＝80°，∠4＝160°【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是根据题意正确列出方程进而求解．3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．【分析】先根据角平分线定义求出∠COB的度数，再求出∠BOD的度数，求出∠BOE的度数，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠COB=12∠∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝45°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠BOE＝30°，∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出∠DOE的度数是解此题的关键．4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝120°，再根据平角的定义得出∠BOD＝60°，然后根据∠BOD＝3∠DOE，即可得出∠DOE的度数．【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝60°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE=1【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．5．（2023秋•泉港区期末）如图，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠【分析】根据，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，可求出∠BOD、∠COB的度数，OC是∠AOB的平分线，求出∠AOB，进而求出∠【解答】解：∵∠COD＝45°，∠BOD=13∠∴∠BOD=1∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝45°﹣15°＝30°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠COB＝2×30°＝60°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝15°+60°＝75°．【点评】考查角的意义、角的和差、以及角平分线的意义等知识，依据图形理清各个角之间的关系式正确计算的关键．6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠BOC的度数；（2）依据等式的性质，即可得到∠AOC＝∠BOD．【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，又∵∠AOB＝∠COD＝18°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；（2）∠AOC＝∠BOD．理由：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．【点评】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．【分析】（1）用90°减去∠CAE的度数，求出的差就是∠BAE的度数；（2）设∠BAD＝x，用含x的代数式表示出∠BAE后根据∠BAE+∠BAD＝60°建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出∠CAD的度数．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠CAE＝58°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣58°＝32°；（2）设∠BAD＝x，则∠CAE＝2x，∴∠BAE＝90°﹣2x，∵∠DAE＝60°，∴90°﹣2x+x＝60°，解得：x＝30°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°+30°＝120°．【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算方法是解决问题的关键．8．（2023秋•大荔县期末）将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．（1）以点B为顶点的所有锐角有个．（2）求以点B为顶点的所有锐角的度数和．【分析】（1）按照从小到大的顺序，找出以点B为顶点的锐角即可；（2）把（1）中所找的角相加，根据∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，求出答案即可．【解答】解：（1）以点B为顶点的锐角有：∠ABD，∠ABC，∠CBE，∠DBC，∠ABE，共5个，故答案为：5；（2）由题意可知：∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，∴以点B为顶点的所有锐角的度数和为：∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠DBC+∠ABE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABC＝∠DBE+∠DBE+∠ABC＝90°+90°+30°＝210°．【点评】本题主要考查了角的大小比较，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度数．【分析】（1）根据角的倍分关系进行解答即可；（2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案．【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：∵∠BON：∠NOC＝3：1，∴∠NOC：∠BOC＝1：4，又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，∴∠AOB＝∠NOC，故答案为：＝；（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，设∠NOC＝α，则∠AOB＝α，∠BON＝3α，∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，即12α+3α解得α＝26°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，答：∠AOC＝130°．【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中各个角之间的关系是正确解答的前提．10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOE＝2∠DOE，∴∠DOE=13∠∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；（2）∠BOD＝3∠COE，设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，∵∠AOE＝2∠DOE，∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，∴∠BOD＝3∠COE．【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．【分析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°，∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠MOC＝140°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【点评】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．12．（2023秋•高安市期末）如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠COE=14∠COB【分析】（1）利用角平分线定义，角的加减计算即可；（2）先求出∠COB的度数，再判断∠COE的可能位置，分情况求出∠AOE的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠COB=12∠AOB∵OD是∠BOC的平分线，∴∠COD=12∠COB∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+20°＝60°；（2）由（1）知∠COB＝40°，∠AOC＝40°，∴∠COE=1∴射线OE可能在射线OC上边，此时∠AOE＝∠AOC﹣∠COE＝40°﹣10°＝30°，射线OE可能在射线OC下边，此时∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+10°＝50°，∴∠AOE的度数为30°或50°．【点评】本题考查了角的计算角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，角的加减．题型二提升题13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，所以∠DOE（2）先利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后计算∠AOD+∠DOE即可；（3）设∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可计算出x＝18°，从而得到∠COD＝54°，则∠AOD＝54°，然后计算∠AOD+∠DOE．【解答】解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=1∴∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠即∠DOE=12∠AOB（2）∵∠AOD＝∠COD＝65°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°；（3）∵∠COD：∠COE＝3：2，∴设∠COD＝3x，∠COE＝2x，∵∠COD+∠COE＝90°，∴3x+2x＝90°，解得x＝18°，∴∠COD＝54°，∴∠AOD＝54°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°．【点评】本题考查了角的计算：利用角的和、差转化为角的度数的和、差．也考查了角平分线的定义．14．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．【分析】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF；（2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得．【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOD＝∠FOD，∴∠FOD+∠EOB＝90°，∵∠FOD+∠EOF＝90°，∵∠EOB＝∠EOF．（2）设∠AOD＝x°，∵OD平分∠AOF，∴∠DOF＝x°，∵∠DOE＝90°，∴∠EOF＝90°﹣x°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOF，∴x°+x°＝90°﹣x°，∴x＝30，∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°．【点评】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式．15．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝；（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．【分析】（1）根据题意作出图形，再根据图形中角度的和差关系可得出结论；（2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AOD＝80°，∠AOB＝50°，∴∠BOD＝30°，∵∠COD＝20°，∴∠BOC＝10°；故答案为：10°；（2）∵OP平分∠AOD，∴∠DOP=12∠AOD=12（∠AOB+∠∵OQ平分∠BOC，∴∠COQ=12∠∵∠AOB＝50°，∠COD＝20°，∴∠POQ＝∠DOP﹣∠COQ﹣∠COD，=12（∠AOB+∠COD+∠BOC）−12=12（∠AOB﹣∠＝15°．【点评】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的关键．16．（2023秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝；（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，由平角的性质可得∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，再由∠AOC＝32°，即可求解；（2）同（1）的方法求出∠A'OD，再由∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，∠AOC＝32°，∴∠BOD=1（2）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，∵∠AOC+∠A'OC+∠A'OD+∠BOD＝180°，∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠A'OD＝180°﹣2×44°﹣61°＝31°，∴∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD＝30°．【点评】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．17．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；（2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，设∠BOE＝x°，当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°，∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，解得x＝42，即∠BOE＝42°；当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，解得x＝27，即∠BOE＝27°；综上，∠BOE的度数为42°或27°．【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB=35∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠（1）求∠DOE．（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．【分析】（1）根据已知易得∠AOB=38∠AOC＝60°，∠BOC=58∠AOC＝100°，再根据∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠（2）利用角平分线的定义和（1）的结论可得∠DOM=12∠BOD＝20°，∠CON=1【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB=35∠∴∠AOB=38∠AOC＝60°，∠BOC=5∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，∴∠AOD=13∠AOB＝20°，∠BOD=2∴∠COE＝3∠AOD＝60°，∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°，∴∠DOE的度数为80°；（2）∵OM平分∠BOD，∴∠DOM=12∠∵ON平分∠COE，∴∠CON=12∠∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM＝160°﹣30°﹣20°﹣20°＝90°，∴∠MON的度数为90°．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．19．（2023秋•渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°．（1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数；（2）如图2，当∠AOD=53∠COE【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；（2）设∠BOE＝x，分别表示出∠AOD和∠COE，根据已知等式列出方程，解之即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝48°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝24°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，设∠BOE＝x，则∠COE＝36°﹣x，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝30°+x，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝42°﹣x，由∠AOD=53∠COE解得x＝27，即∠BOE＝27°．【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．20．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小；（2）根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，又∵∠AOB＝120°∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，∴∠BOD＝∠AOC；（2）∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC＝∠EOC＝α，∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，∵OE为∠AOC的平分线，∴∠DOE＝∠AOE＝2α，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，∵∠COD＝60°，∴3α＝60°，∴α＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°．【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．21．（2023秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起．（1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝，∠BOC∠AOD（填＞、＜、＝）；（2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝；②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角尺直角的度数计算出结果．（2）①根据直角的度数求出∠AOD，再根据角之间的数量关系求出结果；②先表示出∠BOD和∠AOC与∠AOD的数量关系，再将式子相加即可得到答案．【解答】解：（1）∠BOC＝90°﹣55°＝35°；∵∠AOD＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOC＝∠AOD，故答案为：35°；＝．（2）①∵∠BOD＝50°，∴∠AOD＝90°﹣50°＝40°，∴∠AOC＝90°+40°＝130°；∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，故答案为：130°，60°．②∵∠BOD＝90°﹣∠AOD，∠AOC＝90°+∠AOD，∴∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠AOD+90°+∠AOD＝180°．【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是根据角之间的数量关系来解答．22．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线，（1）求∠BOE的度数；（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且∠AOF=13∠AOC【分析】（1）先利用角的和差关系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；（2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时；当射线OF在OA的下方时；然后分别进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE=12∠∴∠BOE的度数为54°；（2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时，如图：∵∠BOC＝108°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，∵∠AOF=1∴∠AOF=1∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°；当射线OF在OA的下方时，如图：∵∠BOC＝108°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，∵∠AOF=1∴∠AOF=1∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°；综上所述：∠COF的度数为48°或96°．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分两种情况讨论是解题的关键．23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为；（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；（3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE=12∠故答案为：70°；（2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°，∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE=12∠∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF=12∠∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝70°﹣25°＝45°，答：∠EOF＝45°；（3）∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF=1∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12∠BOC−=12（∠COD+∠BOD）−=12∠故答案为：∠EOF=12∠【点评】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前提．题型二压轴题24．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB=12∠AOE（2）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB=12∠AOE，即∠AOE（3）由角平分线的定义得出得出∠AOB=∠BOC=12∠AOC，∠COD=∠EOD=12∠COE，根据∠AOE＝∠【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，∴∠COD=1∵∠AOE＝140°，∴∠COD+∠COB=1∵∠COD＝30°，∴∠BOC＝40°；故答案为：40°．（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．∴∠COD=1∴∠COD+∠COB=12∠AOE即∠AOE＝2∠BOD，（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．∴∠AOB=∠BOC=1∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC=1∴∠AOE＝2∠BOD．【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．25．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．【分析】（1）利用角的平分线的定义和角的和差求解；（2）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；（3）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°，∴∠COD=12∠∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°，∵OE平分∠AOD，∠AOE＝∠EOD＝80°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°；（2）2∠COE＝∠BOD；理由如下：设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD=12∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°+12x°＝70°−∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD；（3）不成立，理由如下：设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD=12∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°−12x°＝70°+∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°．【点评】本题考查了角的平分线的定义及角的和差，理解角的和差是解题的关键．26．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．（1）求∠BOD的度数；（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得∠BOE=(34x−90)°【分析】（1）先计算出∠BON＝120°，再根据角平分线的定义求出∠CON的度数，接着计算出∠DON的度数，然后计算∠BON﹣∠DON即可；（2）先计算出∠MOB＝（180﹣x）°，则利用平角的定义得到∠BON＝x°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=12x°，接着计算出∠COE＝（90−14x）°，然后利用∠MOB+∠BOE计算出∠MOE＝（90−14x）°，从而得到∠MOE＝∠【解答】解：（1）根据题意得∠AOB＝60°，∴∠BON＝120°，∵OC平分∠BON，∴∠BOC＝∠NOC=12∠∵OD平分∠CON，∴∠DON=12∠∴∠BOD＝∠BON﹣∠DON＝120°﹣30°＝90°；（2）如图，∵∠AOM＝（x﹣120）°，∠AOB＝60°，∴∠MOB＝60°﹣（x﹣120）°＝（180﹣x）°，∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝x°，∵OC平分∠BON，∴∠BOC=12∠BON=∵∠BOE＝（34x∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE=12x°﹣（34x﹣90）°＝（90∵∠MOE＝∠MOB+∠BOE＝（180﹣x）°+（34x﹣90）°＝（90−1∴∠MOE＝∠COE，∴OE平分∠MOC，即在旋转过程中，射线OE始终是∠MOC的平分线．【点评】本题考查了角平分线的定义和角的计算，灵活运用代数的方法进行角度的转换是解决问题的关键．27．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝；（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．【分析】（1）先根据周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得结论；（2）同理可得结论；（3）根据角的和差，∠COD＝30°可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°，∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，∴∠DOM+∠CON=1∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；故答案为：110°；（2）如图2，∠MON的度数不会发生改变，由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°，∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；（3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON＝90°﹣2（∠DOM+∠CON）＝90°﹣2（30°+∠MON），∴3∠MON＝30°，∴∠MON＝10°．【点评】本题考查的是角的计算，角的和与差的运用，正确的读图确定各角的关系是解题的关键，这是一道难度较大的题目．28．（2024•两江新区校级开学）将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为；（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．【分析】（1）根据角平分线的定义直接进行计算即可；（2）先根据∠BOC＝14°算出∠AOC＝31°，∠BOD＝16°，然后根据角平分线的定义进行计算即可；（3）用n表示出∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，然后根据角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠BOM=12∠AOB=22.5°∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°．故答案为：37.5°；（2）当∠BOC＝14°时，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠BON=12∠BOD=8°∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°；（3）当∠BOC＝α时，∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠BON=1∠MOB=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=15°+1【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，掌握角平分线的定义，数形结合是关键．29．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．请补充完成下列解答过程：解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝°．∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE＝∠AOD＝°．∴∠COE＝∠AOC+＝°．【类比分析】（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．【变式探索】（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝70°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°．∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE=12∠∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°．故答案为：70，20，12，35，∠AOE（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α，∵OEOE是∠AOD的平分线，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，∵∠AOB＝180°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，（3）设∠DOE＝x°，根据题意得：3（x+90）﹣2（180﹣2x）＝78，解得：x＝24，∴∠COE＝114°．【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．30．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝°．∠NOB＝°；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案；（2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入计算即可得出答案；（3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°；故答案为：50，40；（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），∴β＝140°﹣180°+2α，∴β＝2α﹣40°；（3）不成立．∵∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，∴∠NOB+∠MON＝∠BOM，∴β+140＝180°﹣2α，∴β+2α＝40°．【点评】本题主要考查了余角和补角及角平分线定义，熟练掌握余角和补角及角平分线定义进行求解是解决本题的关键．31．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC＝75°，∠NOC=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°．（2）如图2，∠MON=12理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（3）如图3，∠MON=12α，与理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（∠NOC=12∠BOC=∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+β−12β＝α+∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）−12即∠MON=12【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．32．（2024春•高青县期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是．【拓展探究】（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根据同角的余角相等可得出答案；（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，则∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系；（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系．【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD．故答案为：＝．（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；（3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，又∵∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．【点评】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．33．（2023秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小；（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可；②分两种情况：当0°＜α＜60°时，当60°＜α＜120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，又∵∠AOB＝120°∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，∴∠BOD＝∠AOC；（2）①∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC＝∠EOC＝α，∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，∵OE为∠AOC的平分线，∴∠DOE＝∠AOE＝2α，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，∵∠COD＝60°，∴3α＝60°，∴α＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°；②分情况讨论：当0°＜α＜60°时，∵∠BOD＝∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝60°﹣α，∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOE−∠AOC=1∴∠COE=1当60°＜α＜120°时，∵∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝α﹣60°，∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOC−∠AOE=α−1∴∠COE=1综上所述，∠COE=1【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．34．（2023秋•山西期末）综合与探究特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．①若AC＝4cm，则线段DE的长为cm．②设AC＝acm，则线段DE的长为cm．知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）【分析】（1）①由AC＝4cm，AB＝16cm，即可推出BC＝12cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝6cm，即可推出DE的长度；②由AC＝acm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=12（AC+BC）=12×（a+16﹣a（2）由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，∠AOB＝120°，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON=12（∠AOC+∠COB）=1（3）由∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可以得到∠MOD=23∠AOD，∠CON=23∠BOC，根据∠AOB＝α，∠COD＝30°，∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD=23∠AOD+23∠BOC+23∠COD+1【解答】解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm，∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm），又∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴CD＝2cm，CE＝6cm，∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）；故答案为