新教材高中数学第7章三角函数本章复习提升含解析苏教版必修第一册

PAGEPAGE10本章复习提升易混易错练易错点1忽视角的范围致错1.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考,)设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的 (易错)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.()已知sinθ=1-a1+a,cosθ=3a-11+a,若θA.a∈19,1C.a=1或a=1易错点2忽视三角函数的定义域致错3.()函数f(x)=cosx+π3,x∈0,4.()求函数y=log1π2sinx易错点3利用三角函数的基本关系时忽视隐含条件致错5.()若sinθ=k+1k-3,cosθ=k-1k-3,且θ6.(2021四川成都树德中学高一上段测,)已知-π<x<0,sinx+cosx=15.(1)求sinx-cosx的值;(2)求2sin2x+2sin易错点4图象变换中忽视自变量的系数和平移方向致错7.()为了得到y=sin12x的图象,只需要将y=sin12x-π6的图象A.向左平移π6C.向左平移π38.()函数y=sin2x+π3的图象可由函数y=cosx的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向左平移πB.先把各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向右平移πC.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π6D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π12易错点5忽视对参数的讨论致错9.(2020上海金山中学高一上期末,)已知角α的终边上一点P的坐标是(3a,-4a),其中a≠0,化简2sinα+cosα. 易错10.(2020河北石家庄实验中学高一月考,)化简:sin(nπ+α)cos思想方法练一、数形结合思想在三角函数中的应用1.(2021江苏海安曲塘中学高一月考,)在(0,2π)内使sinx>|cosx|成立的x的取值范围是 ()A.πC.π2.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8,则f(x)的单调递减区间是 ()A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6kπ-3,6kπ],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.[6k-3,6k],k∈Z3.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的大致图象如图所示,则函数的解析式为,方程f(x)-lgx=0的实数根的个数为.

二、分类讨论思想在三角函数中的应用4.()已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则tanθ= ()A.3B.-3C.±3D.15.()证明:2sin(α+nπ)cos(α-三、函数与方程思想在三角函数中的应用6.()函数f(x)=3cosx-sin27.(2021吉林长春外国语学校高一下期初,)已知tanα是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且α是第三象限角.(1)求sinα-(2)求2sinα-cosα的值.四、转化与化归思想在三角函数中的应用8.(2021江苏溧阳中学高一月考,)比较下列各组数的大小.(1)tan1,tan2,tan3;(2)tan-13π答案全解全析本章复习提升易混易错练1.A已知角α的始边为x轴非负半轴,若角α的终边在第二、三象限,则cosα<0,充分性成立;若cosα<0,则角α的终边在第二、三象限或x轴负半轴上,必要性不成立.故“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件,故选A.易错警示在三角函数中有句经典的语句“符号看象限”,即由角的象限可以确定三角函数值的符号,但由三角函数值的符号确定角的范围时要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解题错误.2.D∵sin2θ+cos2θ=1,∴1-a1+解得a=1或a=19当a=1时,sinθ=0,θ不是第二象限角,舍去;当a=19时,sinθ>0,cosθ<0,符合题意∴a=19.故选D易错警示本题利用同角三角函数基本关系求参数时,要注意检验θ是不是第二象限角,易忽略范围出现错误.3.答案-解析因为0<x≤π3,所以π3<x+π3所以-12≤cosx+π3<12,所以函数f(4.解析由对数函数的概念得2sinx+π4>0,即2kπ<x+π4<π+2kπ,k∈解得-π4+2kπ<x<3π4+2kπ,k∈Z求函数y=log1π2sinx+π4的单调递增区间,即求函数y=sinx+π4的单调递减区间.令π2+2kπ≤x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,得π4联立①②,得x∈π4+2kπ,故所求函数的单调递增区间为2kπ+π4,2kπ+3π4,k∈Z.易错警示本题中函数y=log1π2sinx+π4为复合函数,在判断函数的单调区间时,还需满足5.答案3解析由已知得sin2θ+cos2θ=k+1k-32+k-1解得k=1或k=-7.当k=1时,不符合题意,舍去;当k=-7时,sinθ=35,cosθ=45,符合题意.所以tanθ=6.解析(1)∵-π<x<0,sinx+cosx=15∴-π2<x∴sinx<0,cosx>0,∴sinx-cosx<0.由sinx+cosx=15,sin2x+cos2x=1,可得1+2sinxcosx=1即2sinxcosx=-2425∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925又sinx-cosx<0,∴sinx-cosx=-75(2)由(1)可得sinx=-35,cosx=4∴tanx=sinxcosx∴2si=2×925+2×易错警示由条件sinx+cosx=15>0及-π<x<0可得-π2<x<0,进而可确定sinx-cosx<0,若不注意分析角的范围,7.Cy=sin12x-∴将y=sin12x-π6的图象向左平移π3个单位就能得到易错警示三角函数图象变换中的左右平移是对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.注意不要忽略系数.8.By=sin2x+π3=cos先将函数y=cosx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=cos2x的图象;再向右平移π12个单位,得到y=cos2x-π12=cos2x-π6的图象9.解析由三角函数的概念可知,sinα=-4a(cosα=3a(3当a>0时,sinα=-45,cosα=3∴2sinα+cosα=-1;当a<0时,sinα=45,cosα=-3∴2sinα+cosα=1.易错警示利用三角函数的概念进行化简或证明时,往往要关注三角函数的符号,特别是遇到开方时.当题中涉及字母时,要注意进行分类讨论,否则会出现错解.10.解析①当n=2k(k∈Z)时,原式=sin=sinαcos②当n=2k+1(k∈Z)时,原式=sin=(-sinα所以化简所得的结果为(-1)n+1sinα(n∈Z).思想方法练1.A由sinx>|cosx|≥0,得sinx>0,又x∈(0,2π),∴x∈(0,π).在同一平面直角坐标系中作出函数y=sinx和y=|cosx|在(0,π)上的图象,数形结合求出x的取值范围.在同一平面直角坐标系中作出y=sinx与y=|cosx|在x∈(0,π)上的图象,如图.由图知使sinx>|cosx|成立的x的取值范围为π4,3π2.D在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与y=a(0<a<A)的图象,通过分析图象求解.函数f(x),y=a(0<a<A)的大致图象如图所示.由图象知,最小正周期T=8-2=6;当x=3时,f(x)取得最大值;当x=6时,f(x)取得最小值.所以f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.3.答案f(x)=2sin2x解析显然A=2.由图象过点(0,1),得f(0)=1,即sinφ=12又因为|φ|<π2所以φ=π6因为点11π12,所以f11π12即2sin11π12ω由图象可知,11π12,0是图象在y轴右侧部分与所以11π12ω+π6=2π,解得ω所以f(x)=2sin2x在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin2x+π6和函数y=lgx的图象,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin2x+π6和函数y=lgx易知f(x)的最大值为2.令lgx=2得x=100.令17π12+kπ<100,k∈Z,得k≤30,k∈而11π12+31π>100,所以在(0,100]内有31个形如11π12+kπ,17π12+k而在每一个区间上,函数f(x)=2·sin2x+π6和函数y=lgx的图象都有2个交点,故这两个函数图象在11π12,100内有62个交点故方程f(x)-lgx=0共有63个实数根.思想方法数形结合是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.本章中,数形结合思想贯穿始终,如角的概念的推广,三角函数线的应用,利用图象解三角不等式、研究函数的性质等.4.A终边在直线y=3x上,要分终边在第一、三象限进行讨论.当θ的终边在第一象限时,取直线y=3x上的点(1,3),则r=10,故cosθ=110=1010,sinθ=则tanθ=sinθcos当θ的终边在第三象限时,cosθ=-1010,sinθ=-31010,则tanθ=综上,tanθ=3.故选A.5.证明因为n∈Z,且n取不同值时,正弦函数和余弦函数的值会发生变化,所以需要对n的值分奇数、偶数进行讨论.当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,左边=2sin=2sinαcosαsinα+sinα=右边=(-1)2kcosα=cosα,k∈Z,左边=右边,故原等式成立.当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,左边=2sin=2sin=2=2sinαcosα-2sinα右边=(-1)2k-1cosα=-cosα,k∈Z,左边=右边,故原等式成立.综上所述,2sin(α+nπ)cos(α-思想方法当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.在三角函数的问题中,受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论.6.答案5解析f(x)=3cosx-sin2x=cos2x+3cosx-1=cosx+3设cosx=t,因为π6≤x≤π3,所以12≤cosx≤32,即12将函数看成关于cosx的二次函数,利用二次函数的知识解决问题.因为函数y=t+322-74在12,32上单调递增,所以ymax=57.解析(1)解方程2x2-x-1=0,得x=-12或x=1.所以tanα=-12或tanα因为α是第三象限角,所以tanα=1.解方程2x2-x-1=0,得tanα的值,又α是第三象限角,所以tanα>0,将不满足的舍去.所以sinα-cosα(2)因为tanα=1,α是第三象限角,所以sinαcosα=1,sin2α+cos2α=1,解得思想方法函数与方程思想,就是根据已知条件建立函数关系或列方程(组),并借助函数知识或解方程(组)解决问题.本章中,求三角函数的值(最值)问题常用到函数与方程思想.8.解析(1)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π).因为π2所以-π2<2-π<0因为π2<3<π,所以-π2显然-π2<2-π<3-π<1<π利用转化思想,将角化在同一单