教学设计 《鸡兔同笼》教学预案

教学过程：（一）历史激趣，导入新课导语：今天老师给同学们带来了一部1500年前的数学名著《孙子算经》，里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？谁来说一说，这是一个什么问题？（鸡兔同笼问题）这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题“鸡兔同笼”。【教师板书课题：鸡兔同笼】（二）自主探究，梳理解法1．理解题意。谁来说一说，这道题目是什么意思？(对“雉”“足”“何”进行解释。这道题目是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35个头；从下面看，共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子？)（出示：）（请一名同学读题）2、化繁为简为了研究的方便，我们可以先从简单的问题入手，老师把题中的数据稍稍改小了点儿。（出示：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？）我们看看被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些信息？（生回答，挖掘隐含条件）很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！3、自主探究会做吗？老师相信大家会有自己的解决办法，下面请同学们自己先想一想你打算怎么做，然后把你的想法和你左右的同伴交流一下。4、交流汇报谁来说说，你是怎么想的？（生汇报，师抓典型解法随机板书的。）（1）列举法（学生说明列表的方法：学生1汇报：可以用列表的方法做，我先假设有1只鸡，7只兔，那脚总数就是30只，而实际是26只脚，这显然是不对的。再假设有2只鸡，6只兔，这样一个一个去试，把结果列成表格，最后得出3只鸡、5只兔。）（2）方程法他是这样一个一个去试的，谁还有不同的做法？（可以用方程去做）5、赏析解法还有不同的想法吗？刚才同学们运用自己的智慧探讨了“鸡兔同笼”问题的解法，其实关于这类问题，还有很多有趣的解法，请大家自由点击“奇思妙想”去感受一下其他的方法，看看这么多方法中你能理解哪种？（学生点击赏析）6、理解汇报同学们欣赏完了吗？谁来说说你理解了哪种方法？（1）列举法（可有几名同学汇报不同的列举方法：逐次列举、跳跃式列举、取中列举，可用电脑展示）鸡只数兔只数脚总数

（学生说明列表的方法及步骤：学生1汇报：我先假设有8只兔这样一共就有32条腿，显然不对，再减去一只兔，加上一个鸡，这样一个一个地试，把结果列成表格，最后得出3只鸡、5只兔。学生2汇报：我得出的结果也是只3鸡、5只兔，但我们不是一个一个地试，这样太麻烦了，我们是2个2个地试。学生3汇报：我是先按鸡兔各一半来算的，因为鸡、兔共8只，我们先假设鸡、兔各4只，这样共有24条腿，比26条腿少2条，说明假设的兔少了1只，鸡多了1只，于是兔只有5只，鸡有3只。）你们看，他们这是什么方法呀？（列表法）他们是用列举的方法凑的，凑也是一种方法，我们可以称它叫列举法。【师板书：列举法】为了快速地算出鸡和兔的只数，列举的时候可以找一下窍门。（2）画图法（请两名同学汇报，可利用电脑演示）

（学生说画图方法及步骤：第一种：

①先画8个头。

②每个头下画上两条腿。数一数，共有16条腿，比题中给出的腿数少26-16=10条腿。③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿。每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添10条腿就变出来5只兔．这样就得出答案，笼中有5只兔和3只鸡。第二种：

①先画8个头。

②每个头下画上四条腿。数一数，共有32条腿，比题中给出的腿数多32-26=6条腿。③给一些兔去掉两条腿，叫它变成鸡．边去腿边数，达到26条腿。每把一只兔去掉两条腿，它就变成了鸡，显然添6条腿就变出来3只鸡．这样就得出答案，笼中有3只鸡和5只兔。）看懂了吗？你能给这种方法也取个名字吗？（可能有：添脚法、鸡变兔法、画图法…）大家的说法都有道理，有的是从形式上看的，有的是从内涵上分析的，咱们就称它叫图画法吧。【师板书：画图法】图画也可以成为一种解题的方法。现在我们长大了，懂的知识多了，这些很直观的解题方法反而容易被我们给忽视了。（3）假设法现在请同学们理一理这种方法的思路，再把它用算式表示出来，可以吗？（这里是让学生根据画图法写算式，还是单独汇报这种方法？）（展示第一个学生做法）【师板书：8×2=16（只）26-16=10（只）10÷(4-2)=5（只）8-5=3（只）】说说你是怎么想的？（重点理解10和10÷(4-2)的意思）（生说思考过程：先假设全是鸡就有16只脚，而现在有26只脚，还少10只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少10只脚，那兔就有10÷2=5(只),鸡就有3只。）不但会做，而且讲得很清楚！哪些同学是这么做的？刚才我们假设全是鸡了，还有别的思路吗？（展示第二个学生做法）【师板书：8×4=32（只）32－26=6（只）6÷（4－2）=3（只）8－3=5（只）】师：谁能说说他又是怎么想的？（重点理解32－26=6（只）6÷（4－2）=3（只））（生说思考过程：同样如果8只都是兔，则一共只有32条腿这样就比26条腿多6条腿，这是因为实际每只鸡比每只兔子少2条腿。一共多了6条腿，于是鸡就有6÷2=3(只),兔就有5只）谁能为这两种方法也取个名字？【师板书：假设法】从画图法和假设法中，同学们有什么发现吗？（找出画图与算术法的联系，渗透数形结合思想。如：这个图里面的添脚法，其实就是算术方法的思路，都是假设的，只是表示的方法不同）大家同意他的说法吗？在他的发言中隐含了一个很重要的数学思想——数形结合。【板书：数形结合】（4）方程法谁还有不同的做法？【师板书：方程法解：设兔有X只，则鸡有（8－X）只。4X+2×（8－X）=26】大家能理解这种方法吗？谁能再说说他是怎么想的？（生：他用的是方程解法，4X代表兔的脚数，2×（8－X）代表鸡的脚数，加起来就应该是一共的脚数26只。）用方程还有不同的列法吗？还可以设鸡为X只，那么方程怎么列呢？（找学生说，教师写2X+4×（8－X）=22）比较一下两个方程，哪个容易解答呢？方程是很重要的解题方法，我们列方程时，尽量设脚多的为X，这样方便解答。（5）介绍古人的抬脚法：脚数÷2－头数＝兔数头数－兔数＝鸡数这种方法是什么道理，你能给大家讲讲吗？（生说道理并电脑演示：在匈牙利出生的美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。有一天鸡和兔在草地上玩，鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子也将两条前腿提起来。这时草地上的总脚数是不是只剩下原来的一半了？94÷2＝47（只）这时草地上的脚数是不是还比鸡兔的总只数多一些呢？47－35=12（只）为什么会多？不就是因为每只兔子有两只脚吗？这样总共多了几只脚就有几只兔子，12÷（2－1）=12（只）而剩下的就是鸡了。35－12＝23（只））你发现的这种方法很奇妙，你的故事讲的不仅生动，而且清楚，看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领——“奇思妙想”！【板书：奇思妙想】7、比较梳理现在我们学会用不同的方法来解答，会的水平不一样了！比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？（师点击奇思妙想中的算法，把几种方法定格，让学生回忆）（突出假设法和方程法）（生可能说：喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。喜欢算术方法，能训练我们的思维，算术方法和画图的方法其实是同一个意思。数字小，我就选作图法，列举法；数字大，我就选算术方法或者方程。）看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，我们应该根据需要灵活地选用。8、解决名题现在我们了解这么多有趣的解法，你能用适合的方法来解答“孙子算经”里的问题吗？（师点击数学名著中孙子算经里的题）交流订正，学生汇报自己的算法。到底对不对呢？我们可以带进原题当中去验算一下。（学生检验，确认结果正确）（三）举一反三，建构模型日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。（师点击数学模型：龟鹤问题）日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？（生说师点击电脑龟变兔，鹤变鸡：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚）。假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？（鸭猫问题。猪鹅问题。马鹰问题。）抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！（板书：给鸡兔加上红色“”号）生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？我们先来看这样一道题。（点击在线测试做二分硬币的题）请同学们默读题目，想一想这道题与我们今天讲的鸡兔同笼问题有联系吗？（二分硬币相当于鸡两只脚，五分硬币相当于兔五只脚，7枚相当于头数，二角九分相当于总脚数。）大家同意他的说法吗？我们也学会“奇思妙想”了，终于把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。即使再出现3只脚的鸡，我们也不会觉得奇怪了。赶快把这道题解决掉吧。（四）应用方法，解决问题看来生活中确实有类似鸡兔同笼的问题，下面就让我们带上一双“数学的眼睛”关注生活，再次到我们身边去看一看……【板书：关注生活】请同学们点击在线测试，喜欢哪里就到哪里去看一看，并任选一道题进行解答。（生点击在线测试：1、动物世界（龟鹤问题、人狗问题、松鼠采蘑菇）2、体育馆3、儿童公园4、校园一角）学生解答，汇报：1、龟鹤问题（有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条，龟、鹤各有几只？）2、人狗问题（一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。）3、松鼠采蘑菇（小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采集蘑菇88个。求晴天有多少天？雨天呢？）4、体育馆（12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？）这个问题和我们今天探索的问题有联系吗？（差不多，单打就可以看成鸡有两只脚，双打就可以看成兔有4只脚，12张球台就是共有12只动物，34人就是共有34只脚，问有几桌单打就是有几只鸡，有几桌双打就是有几只兔子。）同意他的意见吗？你是怎么做的？5、儿童公园（有38个同学去游乐园划船，共租了8条船，每条船都坐满了。大船每条乘6人，小船每条乘4人。大小船各租了几条？）6、校园一角（第三实验小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽3