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文档简介

第一基本概念与抽样分布演示文稿当前1页,总共51页。优选第一基本概念与抽样分布当前2页,总共51页。由于每个个体的出现是随机的,所以相应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随机变量,因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.统计中,总体这个概念的要旨是:

总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.数理统计研究的内容:总体相应随机变(向)量的概率分布及数字特征.当前3页,总共51页。为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息,这一抽取过程称为“抽样”,所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5(1).抽样、样本、样本值当前4页,总共51页。

但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数

(X1,X2,…,Xn),称为样本的一次观察值,简称样本值.样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机向量.当前5页,总共51页。样本具有两重性:10.随机性样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。20.相对确定性经过一次抽样否,样本(X1,X2,…,Xn)又是一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。当前6页,总共51页。由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,它要求抽取的样本满足下面三点:10.随机性:X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。20.代表性:X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布;30.独立性:X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每个样本值互不干扰。(2).简单随机样本当前7页,总共51页。

由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本,它可以用与总体独立同分布的n个随机变量X1,X2,…,Xn表示.简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时,若不特别说明,就指简单随机样本.数学定义:

n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布(X与同分布),则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容量为n的简单随机样本,简称为样本.当前8页,总共51页。事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高,得到10个数,它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系当前9页,总共51页。总体(理论分布)?样本样本值统计是从手中已有的资料--样本值,去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁当前10页,总共51页。实际上,样本的分布与总体分布的关系如下定理1.若总体的分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合分布函数为当前11页,总共51页。由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来.二、统计量1.定义设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本,f(X1,X2,…,Xn)是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数,称为此总体的一个统计量,它是完全由样本决定的量.统计量实际上也是一个随机变量,它是一个随机向量的函数。当前12页,总共51页。是统计量.不是统计量.统计量的两重性(1).统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有确定的概率分布-抽样分布。(2).经过一次抽样否,f(X1,X2,…,Xn)又是由样本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。当前13页,总共51页。样本k-阶原点矩样本k-阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息

2.常用的统计量(样本矩)(1).定义它们均是随机变量当前14页,总共51页。样本均值样本方差它反映了总体均值的信息k=1时,A1称为样本均值k=2时,B2称为样本方差当前15页,总共51页。(2).矩的性质性质1.由大数定律可知大样本条件下,一次抽样后样本均值、方差可作为总体的均值、方差的近似。一般地,抽样分为大样本和小样本问题。当前16页,总共51页。性质2.证当前17页,总共51页。推论证当前18页,总共51页。当前19页,总共51页。

3.次序统计量(1).定义即:X(k)的取值x(k)为(x(1),…,x(n))按从小到大的次序重新排列后第k个位置的数,当前20页,总共51页。(2).中位数、样本极差中位数样本极差次序统计量、中位数、样本极差都是统计量。极差可以反映样本值变化的程度或离散程度。当前21页,总共51页。例1.计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差.解当前22页,总共51页。

4.经验分布函数(1).定义当给定次序统计量的一组值定义对称Fn(x)为总体X的经验分布函数。为样本值不超过x的频率。当前23页,总共51页。经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.样本直方图可以描述.(2).经验分布函数的性质10.具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升;20.Fn(x)是一个随机变量;当前24页,总共51页。30.经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系格列汶科(Glivenko)定理:当前25页,总共51页。三、抽样分布统计量既然是依赖于样本的,而后者又是随机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的分布,这个分布叫做统计量的“抽样分布”

.

抽样分布精确抽样分布渐近分布

(小样本问题中使用)(大样本问题中使用)

抽样分布是由一个统计量(随机变量函数)的分布.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性,完全取决于其抽样分布的性质.当前26页,总共51页。由实际问题与中心极限定理可知,讨论正态总体的样本统计量的分布非常必要。1.正态总体X与样本线性函数的分布(1)总体X~当前27页,总共51页。(2)(X1,…,Xn)来自总体X~当前28页,总共51页。设X1,…,Xn~N(0,1)且相互独立,则称随机变量:是由正态分布派生出来的一种分布.(1).定义所服从的分布为自由度为

n

的n为独立随机正态变量的个数,也称为当前29页,总共51页。其中Γ(x)为伽玛(Gamma)函数具有如下性质:当前30页,总共51页。10.

设X1,…,Xn~则E(X)=n,D(X)=2n由定义知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n当前31页,总共51页。30.

2变量的可加性要用到独立随机变量和的卷积公式和Γ(x)

的性质。=2n当前32页,总共51页。应用Lindeberg中心极限定理可得:40.极限分布当前33页,总共51页。记为T~t(n).设X~N(0,1),Y~

2(n),且相互独立,则称随机变量所服从的分布为自由度为n的t分布,也称为t变量.3.t-分布(1).定义:(2).T变量的密度函数为:当前34页,总共51页。10.T~t(n)为具有自由度为n的t分布的随机变量,则T的数字特征具有如下性质:当

n=1时,

T~t(n)实际上是柯西分布,任何阶矩均不存在;(3).T变量的性质:当n>2,

E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

.

当前35页,总共51页。事实上当前36页,总共51页。当n充分大时,其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称,是偶函数,且应用Γ函数的性质及司特林(Stirling)公式得:30.极限分布当n充分大时,t分布近似N

(0,1)分布.但对于较小的n,t分布与N(0,1)分布相差很大.当前37页,总共51页。由定义可见,服从自由度为n1及n2

的F-分布,n1称为第一自由度,n2称为第二自由度,记作F~F(n1,n2).~F(n2,n1)4.F-分布(1).定义也称为F变量当前38页,总共51页。EX不依赖于第一自由度n1.10.若X~F(n1,n2),X的数学特征:若n2>2(2).若X~F(n1,n2),X的概率密度为(3).F变量的性质当前39页,总共51页。20.若n1=1时,F~F(1,n2)=t2(n2).30.极限分布若X~F(n1,n2),n2>4,则当前40页,总共51页。四、抽样分布定理当总体为正态分布时,我们简单地叙述几个抽样分布定理.1.一个正态总体X~设X1,X2,…,Xn是来自总体X~(1).定理1.(样本均值的分布)当前41页,总共51页。n取不同值时样本均值的分布当前42页,总共51页。n取不同值时的分布当前43页,总共51页。(2).定理2(样本方差的分布)则有X1,X2,…,Xn是来自总体X~当前44页,总共51页。又相互独立30.的说明当前45页,总共51页。2.两个正态总体

情形定理3.当前46页,总共51页。或也有或当前47页,总共51页。或统计四大分布的定义、基本性质以及上述抽样分布定理在后面的学习中经常用到,要理解,牢记!!当前48页,总共51页。下面给出概率分布的

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