专题14二次函数的图象与性质（讲练）（教师版含解析）-2023年中考一轮复习讲练测（浙江专用）

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线x＝eq\f(x1＋x2,2)．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x≥－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x＝－eq\f(b,2a)时，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x≥－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x＝－eq\f(b,2a)时，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)．该抛物线的对称轴是直线x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))．4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1 B．﹣1或3 C．2 D．3【分析】根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．【解答】解：∵y＝是关于x的二次函数，∴m2﹣2m﹣1＝2，m+1≠0，解得：m＝3．故选：D．【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2 B．y＝ax2+1 C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．【解答】解：A、y＝4x+2，是一次函数，故A不符合题意；B、y＝ax2+1，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；C、y＝3x2+5﹣4x，是二次函数，故C符合题意；D、y＝，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意．故选：C．2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1【分析】根据二次函数的定义求解．【解答】解：∵函数y＝m是关于x的二次函数，∴m2+1＝2且m≠0，解得m＝±1，故选：B．3．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．2【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：由题意，解得m＝﹣3．故选：A．考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据a的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析即可．【解答】解：当a＞0时，一次函数过一二三象限，抛物线开口向上，对称轴x＝＜0，故B、C不符合题意，当a＜0时，一次函数过二三四象限，抛物线开口向下，对称轴x＝＞0，故A不符合题意．故选：D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误．故选：B．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A． B． C． D．【分析】当a＞0时，根据二次函数图象的开口方向、对称轴与y轴的关系可排除B、D选项；当a＜0时，由一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小可排除A选项．此题得解．【解答】解：当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴直线在y轴左侧，故B、D不符合题意；当a＜0时，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故A不符合题意．故选：C．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A． B． C． D．【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，排除A；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除D；故选：C．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2 B．m＜0 C．m＞0 D．﹣2≤m＜0【分析】设点（﹣2，0）关于直线x＝m的对称点为（x2，0），根据二次函数的性质得到x2＜2，即可得到＜0，即m＜0．【解答】解：设点（﹣2，0）关于直线x＝m的对称点为（x2，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）开口向上，对称轴为直线x＝m，∴当x＞m，y随x的增大而增大，∵0＜3，∴x2＜2，∴＜0，即m＜0，故选：B．【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下 B．当x＝1时，y取最大值4 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大【分析】由表格可得抛物线经过（0，3），（2，3），从而可得抛物线的对称轴及顶点坐标，进而求解．【解答】解：由表格可得抛物线经过（0，3），（2，3），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∴（1，4）为抛物线顶点，抛物线开口向下，∴x＜1时，y随x增大而增大，x＞1时，y随x增大而减小，故选：D．2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＞﹣2 C．x＞1 D．x＞0【分析】化成顶点式即可判断出开口方向和对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，∴对称轴为x＝﹣1，开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．故选：A．3．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3 B．这个函数图象的开口向上 C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当y1＞y2时，x1＜x2【分析】观察表格中的数据11，6，3，6，11可知抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当x＝﹣1和3时，y的值都是6，所以对称轴为直线x＝1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，根据二次函数的性质即可判断出答案．【解答】解：∵当x＝﹣1和3时，y的值都是6，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，最小值不是3，故A选项不合题意；根据表格中的数据可得：y随x的增大先减小后增大，可知抛物线开口向上，故B选项符合题意；在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故C、D选项不符合题意．故选：B．4．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①② B．①③ C．①④ D．②③【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【解答】解：设原数为x，则新数为，设原数与新数的差为y，则＝，∵a，∴当x＝时，y有最大值，故①正确；当x＝0时，y＝0，故②错误；由函数图象可知，y不是一直随x的增大而增大，故③错误；当y＝21时，，解得：x1＝30，x2＝70，故④正确；综上，正确的结论有：①④．故选：C．考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】①由开口向下得到a＜0，由对称轴在y轴右侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上得到c＞0，然后得到abc＜0；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；③由函数图象的对称轴为x＝1和x＝0时，y＞0得到x＝2时的函数值的正负；④由函数图象的对称轴为x＝1得到a与b的关系，然后代入a﹣b+c中，即可得到2c与3b的关系；⑤由函数图象的对称轴为x＝1和开口向下得到当x＝1时，函数值取得最大值，得到a+b+c＞m（am+b）+c，即a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确，符合题意；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③∵函数图象的对称轴为x＝1，∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，∵x＝0时，y＞0，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；④∵函数图象的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣2a+2b﹣2c＝0，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＝1时，函数值取得最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，∴正确的结论有3个，故选：A．【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，B，C选项，由x＝1时y＞0可判断选项D．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，由图象可得x＝1时，y＝a+b+c＞0，故选：D．2．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．3a+c＝0 D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y2【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与y轴的交点即可可对①进行判断；根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；由于x＝1时，y＝0，则得到a+b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．【解答】解：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以A选项正确，不合题意；B、∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴2a﹣b＝0，所以B选项正确，不合题意；C、∵对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴图象与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∵b＝2a，∴3a+c＝0，所以C选项正确，不合题意；D、∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，∴y1＝y2，所以D选项不正确，符合题意．故选：D．3．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据x＝1时，y＜0即可判断②；根据当x＝﹣2时，y＞0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＜0即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，即可判断⑤．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故②正确；由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，∴a＝b，∴b+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故④正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．故选：C．考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】根据“当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下”可以判断出图象的开口方向并通过对称轴公式“”算出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的特征比较确定的x对应的y值的大小．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c，∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∴y2＞y1，y2＞y3，∵﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣2﹣（﹣4）＝2，即（﹣1，y1）离对称轴更近，∴y3＜y1＜y2故选：C．【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据二次函数的增减性求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而增大，∵﹣＜﹣＜＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：C．2．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【解答】解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝﹣1最远，∴y1＜y2＜y3．故选：C．3．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，则根据三点横坐标离对称轴越近，即可判断y1、y2、y3的大小．【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+a（a为常数），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），且|1﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣1）|＜|1﹣1|，则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．故选：A．4．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45° C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形【分析】根据题意作出图象，结合抛物线的对称性质进行解答．【解答】解：如图，点A为二次函数图象的顶点，当AB＝AC时，直线y＝kx平行于x轴，即k＝0，此时△ABC为等腰直角三角形，不是等边三角形，故选项D不符合题意．故选：D．考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1，∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1．故选：D．【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）【分析】先把y＝x2+4x﹣1配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），再把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度得到点的坐标为（﹣1，﹣4）．【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：C．2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3 B．y＝（x﹣4）2+3 C．y＝（x+4）2+3 D．y＝（x+4）2﹣3【分析】根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”进行求解即可．【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为y＝（x﹣4）2﹣3，故选：A．3．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．【解答】解：令y＝4，则4＝（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（1，4），平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（1，4），∴4＝1+m，即m＝3．②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝（x+1）2的图象有一个公共点，∴方程x+m＝x2+2x+1，即x2+x+1﹣m＝0有两个相等实根，∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，即m＝．由①②知若直线y＝x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为＜m＜3；故选：B．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用已知条件得到用字母a表示b，c的式子，代入等式中得到用字母a表示y的代数式，利用配方法将式子变形，列出关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，结合解析式即可求得结论．【解答】解：∵a﹣b＝2，c+3a＝9，∴b＝a﹣2，c＝9﹣3a，∴y＝a2+b+c＝a2+a﹣2+9﹣3a＝a2﹣2a+7＝（a﹣1）2+6，∵非负数a，b，c，∴，解得：2≤a≤3．∴当a＝3时，y取得最大值为10，∴m＝10，当a＝2时，y取得最小值为7，∴n＝7，∴m﹣n＝10﹣7＝3，故选：C．【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【分析】根据顶点式的意义，可直接得出二次函数的最大值．【解答】解：二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5中a＝﹣1＜0，所以当x＝﹣2时，函数取得最大值为﹣5．故选：B．2．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值0 C．函数有最小值﹣1，有最大值3 D．函数有最小值﹣1，无最大值【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案．【解答】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3，∴函数有最小值﹣1，有最大值3，故选：C．3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故选：A．考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．﹣3＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3【分析】根据抛物线与x轴的交点情况即可得出结论．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），∴图象左侧变为右侧图象关于y轴的对称图形与x轴的交点为（3，0），∴对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜3，故选：C．【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣ B．﹣4 C． D．4【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：C．2．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．① B．② C．都对 D．都不对【分析】由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即﹣，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论①正确；把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b＝﹣m，由对称轴可得b＝2a，从而得出a＝﹣m，由a+b+c＝0可得c＝m，再计算b+c的值，可判断②错误．【解答】解：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论①正确；把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝﹣m，∵b＝2a，∴a＝﹣m，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝m，∴b+c＝﹣m+m＝m，故结论②不正确．故选：A．3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1与y2的大小无法比较【分析】先根据（﹣n，0）和（n+2，0），求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），∴对称轴为x＝＝1，∵抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），∴2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线的距离离y轴越远，函数值越小，∴y1＞y2，故选：B．考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＜3或x＞5【分析】直接利用函数图象即可得出结论．【解答】解：由函数图象可知，当x＝1，3时，y＝0，令t＝x﹣2，∴a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝at2+bt+c＝0的解为：t＝1或3，∵x﹣2＝1或3，∴x＝3或5，∴不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5．故选：D．【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），而抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故选：B．2．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据图象与x轴的交点情况判断b2﹣4c的符号；②根据图象经过（3，3），判断3b+c+6＝0的正确性；③根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，列式判断③；④在同一坐标系画出函数y＝的图象，根据图象判断即可．【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；∴b2﹣4c＜0．故①不正确；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0．故②正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故③正确；做出函数y＝的图象，如图所示：由图象可知，当0＜x＜2时，，当x＜0时，x2+bx+c＞，故④正确．故选：C．3．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A． B．或 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3【分析】把点A的坐标是代入二次函数y＝x2﹣2x﹣3求出m，再把A点坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，再解方程组求出点B坐标，结合函数图象得出结论．【解答】解：把点A的坐标是代入二次函数y＝x2﹣2x﹣3得：m＝（﹣）2﹣2×（﹣）﹣3＝﹣，∴A（﹣，﹣），再把A（﹣，﹣）代入一次函数y＝x+b得，﹣＝﹣+b，解得b＝﹣，∴一次函数解析式为y＝x﹣，联立方程组，解得或，∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标为（，）；∴不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是﹣＜x＜，故选：A．4．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0），∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：D．考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B点左侧），若PA：PB＝1：2，求m的值．【分析】（1）设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（3，0）代入求解即可；（2）解法一：设AP＝a，则A（﹣a，m），B（2a，m），分别代入y＝（x﹣1）2﹣4，消去m，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可；解法二：设AP＝a，利用对称性得2a﹣1＝a+1，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可．【解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（3，0）代入得0＝a×（3﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4；（2）解：解法一：设AP＝a，∵AP：BP＝1：2，∴BP＝2a，则A（﹣a，m），B（2a，m），分别代入y＝（x﹣1）2﹣4，可得（﹣a﹣1）2﹣4＝m，（2a﹣1）2﹣4＝m，∴（﹣a﹣1）2＝（2a﹣1）2，解得a＝0（舍去）或a＝2，∴A（﹣2，m），把（﹣2，m）代入得y＝（x﹣1）2﹣4，得m＝（﹣2﹣1）2﹣4，∴m＝5．解法二：设AP＝a，∵AP：BP＝1：2，∴BP＝2a，∴2a﹣1＝a+1，∴a＝2，∴A（﹣2，m），把（﹣2，m）代入得y＝（x﹣1）2﹣4，得m＝（﹣2﹣1）2﹣4，∴m＝5．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．【分析】（1）将（1，4）代入解析式求解．（2）设抛物线解析式为顶点式，根据直线解析式求出点B坐标，然后代入二次函数解析式求解．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝﹣2x+m得4＝﹣2+m，解得m＝6．（2）设y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为A（1，4），∴y＝a（x﹣1）2+4．∵x轴上的点B在直线y＝﹣2x+6上，∴B（3，0），点B又在y＝a（x﹣1）2+4的图象上；0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1．∴y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．【分析】（1）利用交点式直接写出抛物线解析式；（2）利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣），利用二次函数的性质即可得到y的取值范围．【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣5x﹣6；（2）∵y＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣），当x＝0时，y＝﹣6，当x＝4时，y＝﹣10，所以当0＜x＜4时，y的取值范围为﹣≤y＜﹣6．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．【分析】（1）设抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2，直接代入点（3，﹣1），解方程，即可求解；（2）P，Q两点均在抛物线上，且两点纵坐标相同，代入两点横坐标，可以得到一个关于t的方程，解方程，即可求解．或者由P，Q两点纵坐标相同，得到P，Q两点关于抛物线对称轴x＝2对称，继而列出关于t的方程．【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，﹣2）．设抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2，将点（3，﹣1）代入到抛物线解析式中，得，a﹣2＝﹣1，解得，a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣2；（2）∵y1＝y2，∴（t﹣2）2﹣2＝（t+3﹣2）2﹣2，解得t＝，∴P（，），Q（，）．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1012.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；（2）根据待定系数法求得即可；（3）根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征即可求解．【解答】解：（1）根据图表可知：x＝0时，y＝1，∴c＝1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，﹣2），（3，﹣2），∴对称轴为直线x＝＝2；（2）∵抛物线经过点（0，1），（1，﹣2），（3，﹣2），代入y＝ax2+bx+c得，解得，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1；（3）函数y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∴函数的最小值为﹣3，∵x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+1＝6，∴当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围是﹣3≤y≤6．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【分析】（1）当a＝1时，二次函数y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4，即可求出顶点坐标；（2）先判断抛物线过点（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，从而求得抛物线的解析式；（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，∴顶点坐标为；（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），∴函数图象的对称轴为直线，当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，∴，∴，解得，舍去；当a