高中数学第四章圆与方程1.2圆的一般方程基础训练含解析新人教A版必修

PAGEPAGE11圆的一般方程基础过关练题组一对圆的一般方程的理解1.(2019江西宜春高二月考)圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.圆M:x2+y2-4x+2y=0的面积为 ()A.5π B.4πC.3π D.2π3.曲线x2+y2+22x-22y=0关于 ()A.直线x=2成轴对称B.直线y=-x成轴对称C.点(-2,2)成中心对称D.点(-2,0)成中心对称4.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为 ()A.-1 B.1C.3 D.-35.(2020湖南张家界高二上期末)已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径长.题组二圆的一般方程的求法6.(2021河南洛阳高一上期末)已知圆C经过原点O(0,0),A(4,3),B(1,-3)三点,则圆C的方程为 ()A.x2+y2-4x-3y=0 B.x2+y2-x+3y=0C.x2+y2-5x-5=0 D.x2+y2-7x+y=07.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是 ()A.(x+3)2+(y-2)2=12 B.(x-3)2+(y+2)2=C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=28.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),则△ABC外接圆的一般方程为.

9.求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程.题组三圆的一般方程的应用10.圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两点A,B关于直线kx-y+4=0对称,则k= ()A.2 B.-3C.±32 D.11.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是 ()A.65 B.3+5C.14+65 D.1412.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是 ()A.3-2 B.3+2C.3-22 D.13.(2020四川攀枝花高二上期末)若点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外,则实数a的取值范围是.

14.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,求P点的轨迹方程.能力提升练一、选择题1.(2020天津南开中学高三月考,)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为 ()A.-2或2 B.12或C.2或0 D.-2或02.(2021云南普洱高二月考,)已知曲线y=x2+x-2020与x轴交于M,N两点,与y轴交于P点,则△MNP外接圆的方程为 ()A.x2+y2+x-2019y-2020=0B.x2+y2+x-2021y-2020=0C.x2+y2+x+2019y-2020=0D.x2+y2+x+2021y-2020=03.()要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 ()A.D2+E2-4F>0,且F>0 B.D<0,F>0C.D=0,F=0 D.D2>4F,F<04.()已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积为 ()A.π B.4π C.8π D.9π5.()若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ()A.5 B.5 C.25 D.10二、填空题6.(2021福建福州高二月考,)设O为原点,点M在圆C:x2+y2+4x-4y=0上运动,则|OM|的最大值为.

7.(2020陕西西安高一月考,)已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆上,则定圆方程是.

8.(2020宁夏银川高一上期末,)已知圆P的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.

三、解答题9.()已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.10.()已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.11.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.12.(2021江苏宿迁高二月考,)如图,在平面直角坐标系xOy中,Q为第一象限内一点,QA垂直于x轴,QB垂直于射线OM,垂足分别为A,B,且|QA|=10,|QB|=45,tan∠AOB=-2.(1)求OQ的长度;(2)已知圆C经过O,A,Q,B四点.①求圆C的一般方程;②设P是圆C上的任意一点,在x轴及射线OM上是否分别存在定点E,F,使|PE||PF|为定值?若存在,指出定点的位置4.1.2圆的一般方程基础过关练1.A2.A3.B4.B6.D7.C10.A11.C12.A1.A圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心为(2,1),所以圆心在第一象限,故选A.2.A圆M:x2+y2-4x+2y=0,则圆的半径r=12×(-4)2+22-4×0=53.B由圆的一般方程可知D=22,E=-22,F=0,故曲线是以(-2,2)为圆心,2为半径长的圆,又易知该圆过原点,原点与圆心连线所在的直线方程为y=-x,所以曲线关于直线y=-x成轴对称,故选B.4.B圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),代入直线方程3x+y+a=0,得-3+2+a=0,解得a=1,故选B.5.解析(1)由题意,得D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)=4m2+4-4m2-20m>0,解得m<15故实数m的取值范围为-∞,15.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径长r=1-6.D设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为圆C经过原点O(0,0),A(4,3),B(1,-3)三点,所以F=0,即圆的方程为x2+y2-7x+y=0.7.C由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,则其圆心O1的坐标为(1,0),半径长为2,故排除选项A,B.易求选项C中圆的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而选项D中圆的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.8.答案x2+y2-4x-2y-20=0解析解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则1+25-D所以圆的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0.解法二:线段AB的中点为(2,5),kAB=0,所以线段AB的垂直平分线为x=2.线段BC的中点为112,32,kBC=-7,所以线段BC的垂直平分线的斜率k=17,其方程为y-32=17两条垂直平分线的交点即为圆心,设为点D,则D(2,1),半径长r=|AD|=(-1-2)2+(5-1)2=5.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,9.解析设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P(-2,4),Q(3,-1)代入圆的方程并化简得2D令y=0,得x2+Dx+F=0.设x1,x2为方程x2+Dx+F=0的两个根,则x1+x2=-D,x1x2=F.由|x1-x2|=6得D2-4F=36,②联立①②,解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.所以圆的一般方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.10.A由题意得圆C的圆心为C-12,3,易知直线kx-y+4=0经过圆心C-12,3,所以-11.C将方程x2+y2+4x-2y-4=0进行整理,得到(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为(-2,1),半径长为3的圆,画出相应的图形,如图所示.设圆心为B,连接OB并延长,与圆B交于A点,则x2+y2的最大值为|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|=3+(-2)2+12=3+5,则|AO|2=(3+5)2=14+65,即x2+y2的最大值为12.A直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径长r=1.圆心到直线AB的距离d=|1-0+2|12+(-1)2=322,所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为322-1,所以△ABC13.答案(-∞,-2)∪(2,3)解析因为x2+y2-ax-2y+2=0表示圆,所以(-a)2+(-2)2-4×2>0,解得a<-2或a>2.因为点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外,所以12+22-a-2×2+2>0,解得a<3,所以实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,3).14.解析设P(x,y),圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径长r=1.则|PA|2+r2=|PB|2,即|PB|2=2.故P点的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径长的圆,则P点的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.能力提升练1.C2.C3.D4.B5.B一、选择题1.C由题意可知圆心坐标为(1,2),圆心到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,解得a=02.C设△MNP外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),点Q是△MNP的外接圆与y轴的另一个交点,M(x1,0),N(x2,0),P(0,y1),Q(0,y2),分别令x=0,y=0,则y2+Ey+F=0,x2+Dx+F=0,则x1x2=y1y2=F,x1+x2=-D,y1+y2=-E.由曲线y=x2+x-2020与x轴交于M,N两点,与y轴交于P点,得x1x2=-2020,x1+x2=-1,y1=-2020,所以D=1,F=-2020,y2=1,E=-(y1+y2)=-(-2020+1)=2019,故△MNP外接圆的方程为x2+y2+x+2019y-2020=0.故选C.3.D令y=0,得x2+Dx+F=0.因为圆与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,所以方程有一个正根和一个负根,所以F<0,Δ=D2-4F>0,即D2>4F,F<0,故选D.4.B设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2,即(x-2)2+y2=4,该方程表示以(2,0)为圆心,2为半径长的圆.故点P的轨迹所围成的图形的面积S=4π.5.B由题意知圆M的圆心为(-2,-1),易知点M在直线l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5.所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.二、填空题6.答案42解析圆C:x2+y2+4x-4y=0,即(x+2)2+(y-2)2=8,表示以C(-2,2)为圆心,r=22为半径长的圆.由于|CO|=22,所以|OM|的最大值为|CO|+r=42.7.答案(x-1)2+y-122=54解析如图所示,l1:mx-y=0,过定点O(0,0),kl1l2:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0,过定点A(2,1).若m≠0,则kl2=-∵kl1·kl2=-1,∴直线l1与直线l2互相垂直,若m=0,则l1:y=0,l2:x=2,∴l1⊥l2,仍有PO⊥PA.∴直线l1与直线l2的交点P必在以OA为直径的圆上,则该圆的圆心为线段AO的中点1,12,半径长为12|OA|=12×22+∴圆的方程为(x-1)2+y-122=54.8.答案205解析由题意得圆P的圆心坐标为P(3,4),半径长为5.由于点(2,6)到圆心的距离为5<5,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E(2,6),且AC⊥BD,|PE|=5,|BD|=252-(5)2=45,|AC|=2×5=10,所以S四边形ABCD=12|AC|·|三、解答题9.解析以边AB所在直线为x轴,边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D(x0,y0),则2+x∵AD=3,∴(x0+2)2+y02=9将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.∴顶点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).10.解析如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,线段由于平行四边形的对角线互相平分,故x2=又点N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=-215,y=285.因此所求轨迹方程为(x+3)2+(y-4)11.解析易知线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x