第4章特征值问题的计算方法

任课教师：杨超电子邮箱:计算方法与程序设计2第4章特征值问题的计算方法特征值问题的基本理论乘幂法与反乘幂法QR方法主要内容：3第4章特征值问题的计算方法在科学计算和工程技术中，经常遇到特征值和特征向量的计算。特征值是特征多项式的根，而次数超过4次的多项式的根一般不能通过有限次运算得到，因此，特征值问题的计算方法本质上是迭代法。4第4章第1节特征值问题的基本理论设和分别表示实和复mⅹn矩阵集合，

和分别表示实和复n维向量的集合。设，如果存在满足Ax=x则称是A的特征值，x是A对应于特征值的特征向量。A的所有特征值的集合叫做A的谱，记作(A)，A的谱半径定义为对于任何相容矩阵范数||||，特征值满足

||≤||A||，5第4章第1节特征值问题的基本理论特征值问题等价于存在非零向量x，使得(A-I)x=0是A的特征值当且仅当det(I-A)=0(*)(*)式称为A的特征方程，p()=det(I-A)称为A的特征多项式，其根就是A的特征值。当A的阶数比较大时，求特征多项式根的工作量很大。相似变换是求解矩阵特征值的有效方法。相似变换是不改变矩阵特征值的变换。设P是nⅹn非奇异矩阵，B=P-1AP，则B与A称为相似矩阵。从A到B的变换称为相似变换。6第4章第1节特征值问题的基本理论几个结论：（1）三角矩阵的对角元是三角矩阵的特征值；（2）对应于A的不同特征值的特征向量是线性无关的。设p()=det(I-A)称为A的特征多项式，如果A有r个不同的特征值1，2，…r，其重数分别为n1，n2，…，nr，则其中。i的重数ni称为A的特征值i的代数重数。如果ni=1，则是单重根（单重特征值）。对应于i的特征空间为7第4章第1节特征值问题的基本理论上式中的x为与i对应的特征向量。特征空间的维数叫做i的几何重数，记作mi，它是对应于i的线性无关特征向量的最大个数。可以证明：mi

≤ni，i=1,2,…,r

如果对A的某个特征值有mi

<ni，则矩阵A称为亏损的；如果对A的所有特征值均有mi

=ni

(i=1,2,…,r)，则矩阵A称为非亏损的。如果A是非亏损的，则矩阵A有n个线性无关的特征向量。8第4章第1节特征值问题的基本理论几个定理：定理1：设，则A是非亏损矩阵，当且仅当存在一个非奇异矩阵P，使得其中为A的特征值，，xi为A的应于i的特征向量。定理2：设，则存在非奇异矩阵P，使得相似于Jordan标准形J：Ji是A的Jordan标准形中第i个Jordan块。9第4章第1节特征值问题的基本理论在相似变换中，一类重要的变换是直交变换(在实空间中)和酉变换(在复空间中)，酉变换满足U-1=U*，所以，U-1AU=U*AU，容易计算。定理3(Schur分解定理)：设，A的特征值为

，则存在酉矩阵使得10第4章第1节特征值问题的基本理论在相似变换中，一类重要的变换是直交变换(在实空间中)和酉变换(在复空间中)，酉变换满足U-1=U*，所以，U-1AU=U*AU，容易计算。定理4：设是Hermite矩阵，设A的特征值为

，则存在酉矩阵使得A的特征值是实数，xi是A的对应于特征值i的特征向量。11第4章第1节特征值问题的基本理论与特征值密切相关的是奇异值。设A是mⅹn矩阵，则对所有，故A*A是Hermite矩阵，A*A的特征值非负，满足设则称为A的奇异值。如果m=n且A非奇异，则nⅹn矩阵A的谱条件数为任何一个mⅹn矩阵可以通过奇异值分解化为对角形。12第4章第1节特征值问题的基本理论定理5：设，表示秩为r的mⅹn复矩阵的集合，则存在两个酉矩阵和，使得其中是A的非零奇异值。分解A=UDV*称为A的奇异值分解，i称为A的奇异值，它满足13第4章第2节乘幂法与反乘幂法一些实际问题不要求计算全部特征值，而只需要计算按模最大或按模最小的特征值。按模最大的特征值通常称为主特征值。乘幂法就是计算矩阵的主特征值及其对应的特征向量的迭代法，而反乘幂法则是计算矩阵的模最小的特征值及其对应的特征向量的迭代法假设：（1）nⅹn矩阵A有完全特征向量系，即有n个线性无关的特征向量。（2）A的特征值满足即A的主特征值1是单重特征值。14第4章第2节乘幂法与反乘幂法乘幂法1(基本形式)

给出任一初始向量q0，对于k=1,2,…,n，计算

yk=Aqk-1k=(yk)/(qk-1)qk=yk(yk)=(yk)j表示yk的第j个分量；(qk-1)=(qk-1)j表示qk-1的第j个分量。乘幂法产生的向量序列{qk}→x1，{k}→1。15第4章第2节乘幂法与反乘幂法乘幂法的基本形式存在一个问题：当时，若|1|>1，则qk的分量会趋于无穷；若|1|<1，则qk的分量会趋于0，引起计算过程的上溢和下溢。解决办法：采用标准化措施，在每步迭代中将qk标准化。乘幂法2：给出任一初始向量q0，对于k=1,2,…,n，计算

yk=Aqk-1k=(yk)/(qk-1)qk=yk/||yk||16第4章第2节乘幂法与反乘幂法采用标准化措施后，比值k不受影响，k→1。而对于向量序列{qk}，当k→时，qk是主特征向量x1的近似。例：计算下面矩阵的主特征值和相应的特征向量。17第4章第2节乘幂法与反乘幂法乘幂法3：给出任一初始向量q0，对于k=1,2,…,n，计算

yk=Aqk-1k=max(yk)qk=yk/k

max(yk)表示yk中绝对值最大的一个分量，当k→时，k→1，qk是主特征向量x1的近似。18第4章第2节乘幂法与反乘幂法反乘幂法：乘幂法是计算A的按模最大的特征值的方法，反乘幂法是计算非奇异矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。设A非奇异，其特征值排序为相应的特征向量为x1,x2,…,xn。因为i是的特征值，故1/i是A-1的特征值，且有对应的特征向量为xn,xn-1,…,x1。19第4章第2节乘幂法与反乘幂法对A-1应用乘幂法求出A-1的按模最大的特征值，即可得到A的按模最小的特征值及其特征向量。

反乘幂法算法：

Ayk=qk-1k=max(yk)qk=yk/k

当k→时，qk是主特征向量xn的近似，k→1/n。采用LU分解法求yk表示yk中绝对值最大的分量20第4章第2节乘幂法与反乘幂法作业：1.编写乘幂法程序，计算右侧A的主特征值及对应的主特征向量。2.编写反乘幂法程序，计算右侧A的按模最小的特征值及对应的特征向量。21第4章第3节QR方法

QR方法是通过矩阵A的QR分解来求其全部特征值的迭代法，数值稳定性好，收敛速度快，是计算中、小型矩阵全部特征值问题的最有效方法。本节只讨论求nn实矩阵的特征值的QR方法。在处理一般实矩阵的QR方法中，为了节省工作量，往往先把实矩阵用直交相似变换化为上Hessenberg矩阵，然后对上Hessenberg矩阵用QR方法。类似地处理，对于实对称矩阵就得到三对角矩阵，然后对三对角矩阵运用QR方法。22第4章第3节QR方法矩阵A的QR分解A=QRQ为直交矩阵，R为上三角矩阵，上式称为矩阵A的QR分解。HouseHolder变换设，||v||2=1，I为nⅹn单位矩阵，令H=I-2vvT则H称为HouseHolder变换(矩阵)，H=HT=H-