(完整版)高中概率与统计复习知识点与题型

千里之行，始于脚下。第2页/共2页精品文档推荐(完整版)高中概率与统计复习知识点与题型概率与统计学问点与题型

3.1.1—1、基本概念：

（1）必定大事：在条件S下，一定会发生的大事，叫相对于条件S的必定大事；（2）不行能大事：在条件S下，一定不会发生的大事，叫相对于条件S的不行能大事；（3）确定大事：必定大事和不行能大事统称为相对于条件S确实定大事；

（4）随机大事：在条件S下可能发生也可能不发生的大事，叫相对于条件S的随机大事；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次实验，观看某一大事A是否浮现，称n次实验中大事A浮现的次数

nA为大事A浮现的频数；称大事A浮现的比例fn(A)=nnA

为大事A浮现的概率：对于给定的随机事

件A，假如随着实验次数的增强，大事A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为大事A的概率。

（6）频率与概率的区分与联系：随机大事的频率，指此大事发生的次数nA与实验总次数n的比值nnA

，它具有

一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着实验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机大事的概率，概率从数量上反映了随机大事发生的可能性的大小。频率在大量重复实验的前提下可以近似地作为这个大事的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

（1）大事的包含、并大事、交大事、相等大事

（2）若A∩B为不行能大事，即A∩B=ф，那么称大事A与大事B互斥；

（3）若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那么称大事A与大事B互为对立大事；

（4）当大事A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若大事A与B为对立大事，则A∪B为必定事

件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性质：

1）必定大事概率为1，不行能大事概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当大事A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若大事A与B为对立大事，则A∪B为必定大事，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥大事与对立大事的区分与联系，互斥大事是指大事A与大事B在一次实验中不会同时发生，其详细包

括三种不同的情形：（1）大事A发生且大事B不发生；（2）大事A不发生且大事B发生；（3）大事A与大事B同时不发生，而对立大事是指大事A

与大事B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）大事A发生B不

发生；（2）大事B发生大事A不发生，对立大事互斥大事的特别情形。

3.2.1—

1、（1）古典概型的使用条件：实验结果的有限性和全部结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本领件数；

②求出大事A所包含的基本领件数，然后利用公式P（A）=总的基本领件个数包含的基本领件数

A

3.3.1—

1、基本概念：

（1）几何概率模型：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：

P（A）=积）的区域长度（面积或体实验的所有结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成大事A；

（1）几何概型的特点：1）实验中全部可能浮现的结果（基本领件）有无限多个；2）每个基本领件浮现的可能

性相等．

一、随机变量.

1.随机实验的结构应当是不确定的.实验假如满足下述条件：

①实验可以在相同的情形下重复举行；②实验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次实验总是恰好浮现这些结果中的一个，但在一次实验之前却不能绝对这次实验会浮现哪一个结果.它就被称为一个随机实验.2.离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ba+=ξη也是一个随机变量.普通地，若ξ是随机变量，)(xf是延续函数或单调函数，则)(ξf也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1Λ=ix的概率iipxP==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①Λ,2,1,01=≥ip；②121=++++ΛΛippp.

注重：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做延续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次实验中某大事发生的概率是P，那么在n次自立重复实验中这个大事恰好发生k次的

概率是：k

nkknq

pCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0Λ]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从二项分布，记作ξ～B（n·p），其中n，p

为参数，并记p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二项分布的推断与应用.

①二项分布，实际是对n次自立重复实验.关键是看某一大事是否是举行n次自立重复，且每次实验惟独两种结果，假如不满足此两条件，随机变量就不听从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又惟独两种实验结果，此时可以把它看作自立重复实验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重复实验时，大事第一次发生，假如把k次实验时大事A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==Λ.按照互相自立大事的概率乘法分式：

))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==Λ),3,2,1(1

Λ==-kpqk于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ听从几何分布，并记pqp)g(k,1k-=，其中Λ3,2,1.1=-=kpq

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0C

CCk)P(ξn

N

knM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是从M件次品中取k件，从

N-M件正品中取n-k件的取法数，假如规定m＜r时0Cr

m

=，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,kC

CCk)P(ξn

b

ak

nb

kaΛ=?=

=+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ听从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把ba+个产品编号，则抽取n次共有nba)(+个可能结果，等可能：k)(η=含

knkknbaC-个结果，故n,0,1,2,k,)baa(1)baa(Cb)

(abaCk)P(ηknkknn

k

nkknΛ=+-+=+==--，即η～)(baanB+?.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证实：当产品总数

很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含义：普通地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称ΛΛ++++=nnpxpxpxE2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量ba+=ξη的数学期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①当0=a时，bbE=)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当1=a时，bEbE+=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b时，ξξaEaE=)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：ccE=?=1ξ其分布列为：cP==)1(ξ.

⑶两点分布：ppqE=?+?=10ξ，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：∑

=?-?

=

-npqpknknkEknk)!

(!!

ξ其分布列为ξ～

),(pnB.（P为发生ξ的概率）

⑸几何分布：p

E1

=

ξ其分布列为ξ～),(pkq.（P为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===kpxPkkξ时，则称

ΛΛ+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差.明显0≥ξ

D，故σξξσξ.D=为ξ的根方差或标准差.

随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD越小，稳定性越高，．．．．．．．．．波动越小．．．．.．4.方差的性质.

⑴随机变量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2)()(=+=.（a、b均为常数）⑵单点分布：0=ξD其分布列为pP==

)1(ξ⑶两点分布：pqD=ξ其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：npqD=ξ⑸几何分布：2

pqD=

ξ

5.期望与方差的关系.

⑴假如ξE和ηE都存在，则ηξηξEEE±=±)(

⑵设ξ和η是相互自立的两个随机变量，则ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(

⑶期望与方差的转化：22)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE为一常数）0=-=ξξEE.三、正态分布.

1.密度曲线与密度函数：对于延续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的概率等于它与x轴.直线ax=与直线bx=所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，因为“),(+∞-∞∈x

是必定大事，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：2

22)(21)(σμσ

π--

=

xe

xf.（σμ,,Rx∈为常数，且

φσ），称ξ听从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN表示.)(xf的表达式可简记为),(2σμN，它的密度曲

线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN，则ξ的期望与方差分离为：2,σξμξ==DE.⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线μ=x对称.

③当μ=x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，展现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x＜μ时，曲线升高；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的逼近.

⑤当μ一定时，曲线的外形由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越簇拥；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为)(21)(2

2+∞-∞=-ππxexxπ

?，则称ξ听从标准正态分布.即

ξ～)1,0(N有)()(xPx≤=ξ?，)(1)(xx--=??求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是)()()(abbaP??ξ-=≤π.

注重：当标准正态分布的)(xΦ的X取0时，有5.0)(=Φx当)(xΦ的X取大于0的数时，有5.0)(φxΦ.比如

5.00793.0)5.0(

π=-Φσ

μ

则

σ

μ

-5.0必定小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN则ξ的分布函数通

常用)(xF表示，且有)σ

μ

x(

F(x)x)P(ξ-==≤?.S阴=0.5Sa=0.5+S

习题

1．6名学生排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是（）

A．

12

1B．

2

1C．

6

1D．

3

12．有10名同学，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概

率是（）

A．

452B.152C.31D.15

73．甲乙两人自立的解同一道题,甲乙解对的概率分离是

21,pp,那么至少有1人解对的概率

是（）

A.

21pp+B.21pp?C.211pp?-D.)1()1(121pp-?--

4．从数字1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率

是()A.

51B.52C.53D.5

45．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和

为偶数的概率是（）A、

12B、12nC、121nn--D、121

nn++6．有10名同学，其中4名男生，6名女生，从中任选2名同学，恰好是2名男生或2名

女生的概率是（）

A．

45

2B．

15

2C．

15

7D．

3

17．已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中全部的球除XXX彩

外彻低相同）．现任意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再

从Q箱中任意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的

概率等于

（）

A．

5

1B．

1009C．100

1D．

5

3

C92/C103乘以C92/C103

8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素

用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一个元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，则所取两数满足ai>bI的概率为（）A、

43B、53C、21D、5

19．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，假如随

机挑选3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）直径有5个

A.

B.

C.

D.

10．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品所有被抽

出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品()A.7个B.8个C.9个D.10个

11．甲、乙自立地解决同一数知识题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的

概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）A、0.48B、0.52C、0.8D、0.92

12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中随意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________

13.掷两枚骰子，浮现点数之和为3的概率是_____________

14.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______________

15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

则年降水量在[200，300]（m,m）范围内的概率是___________16、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

2

S

的概率是_________。17、有五条线段，长度分离为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_______

18、在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为_____

19．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分离为0.7与0.8．

（1）假如每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）假如每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．

20．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分离为

910876

、、、987

，且各道工序互不影响（1）求该种零件的合格率

（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率

（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好延续2次抽到合格品的概率

（用最简分数表示结果）

21．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人天天加工的零件数相等，所得次品数分离为ε、η，ε和η的分布列如下：

则比较两名工人的技术水平的凹凸为.

思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动状况，即方差值的大小..

22.某商场经销某商品，按照以往资料统计，顾客采纳的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品，采纳1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求大事

A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采纳1期付款”的概率()PA；

（Ⅱ）求η的分布列及期望

Eη．

参考答案：

1-5、BDDBC6-11、CBBBCD

12.5113.18114.75

15.0.2516、3417、310

1819：解：设甲投中的大事记为A，乙投中的大事记为B，

（1）所求大事的概率为：

P=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94．

（2）所求大事的概率为：