突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题22 概率问题(含详解)

专题22概率问题

【高考真题】

1.（2022•全国乙理）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

1.答案看解析从5名同学中随机选3名的方法数为C；=1O,甲、乙都入选的方法数为C：=3,所

33

以甲、乙都入选的概率户=证，答案为记.

2.（2022•全国甲理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

2.答案卷解析从正方体的8个顶点中任取4个，有”=或=70个结果，这4个点在同一个平面的

有加=6+6=12个，故所求概率尸='=聂.故答案为

n703535

3.（2022•全国甲文）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.-B.-C.-D.—

5353

3.答案C解析从6张卡片中无放回抽取2张，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15种情况，其中数字

之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为.故选C.

4.（2022・新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

4.答案D解析从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C,=21种不同的取法，若两数不

91_79

互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，故所求概率P=故

选D.

5.（2022•全国乙理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为“，。2，。3,且P3>P2>Pi>0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝4（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

5.答案D解析该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为

乙甲丙及丙甲乙的概率均为g,则此时连胜两盘的概率为碑，则

%=g[(l-P2)P|03+P2P1(I-P3)]+y[(>-Pi)PlPl+P3Pl(1-P2)]=Pl(。2+〃3)-2/?|P2P3；记该棋手在第二

盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，则2乙=(1-八)2203+n。2(1-夕3)=22(巧+夕3)-2n。2凸.记该

棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为。丙.则

体q=(1-。1)。3。2+/"3(1-。2)=。3(。1+。2)-2网。203贝I

=Pl(02+03)-2n°2P3-[°2(Pl+P3)-2"n]=(Pl-%)03<0

碑-比p2，

。乙-P丙=夕2(。1+。3)-2四。2P3-[。35+。2)-2"。2。3]=(。2-。3)21<°，即由<P乙，P乙<P丙，贝U该

棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；P与该棋手与甲、乙、丙的

比赛次序有关.选项A判断错误.故选D.

【知识总结】

1.古典概型的概率公式

r.事件4包含的样本点数

"A)一试验的样本点总数.

2.独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为PM

=C^pk(\-p)n~k,k=0,1,2,n.

3.相互独立事件同时发生的概率：

若A,B相互独立，则P(A3)=P(A>P(B).

4.互斥事件至少有一个发生的概率：

若事件A,B互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B),P(A)=1—P(A).

5.条件概率公式

设A，B为随机事件，且尸(AJ>0,则尸(8H)=4黑.

6.全概率公式

设A”A2,A“是一组两两互斥的事件，A1UA2U…U4“=Q,且P(4)>0,i=l,2,…，n,则对任

意的事件BUQ,有P(B)=2尸(A)P(8HD.

i=\

【题型突破】

题型一古典概型

1.(2021•全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.1

2.已知多项选择题的四个选项A,B,C,D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得

分.若某题的正确答案是ABC,某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）

A-2B.得C.|D.今

3.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字123,4.现每次有放

回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在

第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结

果，经随机模拟产生了以下21组随机数：

1314123423331224332214133124

4321234124131224214343122412

1413433122344422324143314234

由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）

A.,B.1C.4D.（

4.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）

A.瓦B.'C.

5.定义：abcde=10000。+10006+100c+10d+e,当五位数abcde满足a<b<c，且c>d>e时，称这个

五位数为“凸数”.由123,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰

好为“凸数”的概率为（）

A-6B,ToC,12D-20

6.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，山忌的上等马劣于齐王的

上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣

于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，

共比赛三场.每场比赛中胜者得1分，否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则

比赛结束时，田忌得2分的概率为.

7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分

为阳爻“——”和阴爻“——"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个

阳爻的概率是（）

------A，16B-32C,32D,16

8.“六艺”出自《周礼•地官司徒•保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数.已知某人觉得“君子不学礼

无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的

四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的

概率为（）

1354

--C--

A.2B.49D.5

9.甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A,B,C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约.已知

A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，8医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C

医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不

接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）

A.1B.|C.；D.

10.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星

自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开

阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天

权至少一颗被选中的概率为（）

5

D.

21

题型二相互独立事件与独立重复试验

11.（2021・新高考全国I）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1

个球.甲表示事件”第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2"，丙

表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，贝4（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

12.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下

一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是率本且各轮

考核能否通过互不影响，则（）

A.该软件通过考核的概率为!B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为《

OO

C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为］D.在此次比赛中该软件平均考核了寿轮

13.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制（共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局），每场

球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6,

客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互独立，则甲队以3：2获胜的概率为.

14.小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进

1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步.小明连

续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是（）

1„2八1c2

A.27B-27C-9D-9

15.在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑

球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任

意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为0和〃，则（）

A.p\—piB.P\<P2C.P\>P2D.以上三种情况都有可能

16.（多选）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为上心，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的

是（）

A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为力4

C.目标被命中的概率12为11拈D.目标被命中的概率为1-拈12

17.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢3局时获胜，比赛结束）.棋局以红棋与黑棋

对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走.假设甲执红棋时取胜的概率为9早执黑棋时取胜的概率为:1，

各局比赛结果相互独立，且没有和局.若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3：2获胜的概率为.

18.如图，己知电路中3个开关闭合的概率都是:，且是相互独立的，则灯

亮的概率为（）

f———

一甲乙

符一

-I卜③A.彦B.JC.1D.1

OZOO

19.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前

期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为2昌乙队获胜的概率为1东若前两局中乙队以2：0

领先，则下列说法中正确的有（填序号）.

Q1

①甲队获胜的概率为务②乙队以3:0获胜的概率为京

③乙队以3：1获胜的概率为2右④乙队以3：2获胜的概率为4去20.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采

用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但

打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若

在某局比赛中，甲发球赢球的概率为京甲接发球赢球的概率为早则在比分为10：10后甲先发球的

情况下，甲以13：11赢下此局的概率为（）

）

AA.—25D—10J—100[-.—25

题型三条件概率与全概率

21.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识

竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为争2连续答对两道题的概率为看1用事件A表示“甲同学答对第

一道题“，事件8表示“甲同学答对第二道题”，则P（B|A）=（）

A.；B.C.1D.（

22.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出2个球，记事件A为“取出的2

个球颜色不同”，事件B为“取出1个红球，1个白球”，则P（B|A）等于（）

1352

A-6B-13C-9D-3

23.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规定：每个车位只能停一辆车，每个

员工只允许占用一个停车位.记事件4为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员

工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则p（A|8）等于（）

123456

24.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中

任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（）

3n1八3r2

A,loB,3C,8D,9

25.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三

类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保

险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则该保险公司的一个被保险

人在一年内发生事故的概率是（）

A.0.155B.0.175C.0.016D.0.096

26.己知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,

则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.击B.京C.专

D，

口，30

27.（多选）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史

知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有

3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，

事件B为''第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）

331—1

A.P（A）=mB.P（A8）=mC.P（8|A）=1D.P{B\A）=]

28.甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四

个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面体一次，记事件4为“两个四面体朝下一面的数字

之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字

为偶数”，则下列结论正确的是()

A.P(4)=P(B)=P(。B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABC)£D.P(B|A)=1

oZ

29.有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3

号箱装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为.

30.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工

出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项正确

的有()

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06

B.任取一个零件是次品的概率为0.0525

7

C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为彳

D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为5

专题22概率问题

【高考真题】

1.（2022•全国乙理）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

1.答案看解析从5名同学中随机选3名的方法数为C；=1O,甲、乙都入选的方法数为C：=3,所

33

以甲、乙都入选的概率户=证，答案为记.

2.（2022•全国甲理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

2.答案卷解析从正方体的8个顶点中任取4个，有”=或=70个结果，这4个点在同一个平面的

有加=6+6=12个，故所求概率尸='=聂.故答案为

n703535

3.（2022•全国甲文）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.-B.-C.-D.—

5353

3.答案C解析从6张卡片中无放回抽取2张，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15种情况，其中数字

之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为.故选C.

4.（2022・新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

4.答案D解析从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C,=21种不同的取法，若两数不

91_79

互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，故所求概率P=故

选D.

5.（2022•全国乙理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为“，。2，。3,且P3>P2>Pi>0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝4（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

5.答案D解析该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为

乙甲丙及丙甲乙的概率均为g,则此时连胜两盘的概率为碑，则

%=g[(l-P2)P|03+P2P1(I-P3)]+y[(>-Pi)PlPl+P3Pl(1-P2)]=Pl(。2+〃3)-2/?|P2P3；记该棋手在第二

盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，则2乙=(1-八)2203+n。2(1-夕3)=22(巧+夕3)-2n。2凸.记该

棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为。丙.则

体q=(1-。1)。3。2+/"3(1-。2)=。3(。1+。2)-2网。203贝I

=Pl(02+03)-2n°2P3-[°2(Pl+P3)-2"n]=(Pl-%)03<0

碑-比p2，

。乙-P丙=夕2(。1+。3)-2四。2P3-[。35+。2)-2"。2。3]=(。2-。3)21<°，即由<P乙，P乙<P丙，贝U该

棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；P与该棋手与甲、乙、丙的

比赛次序有关.选项A判断错误.故选D.

【知识总结】

1.古典概型的概率公式

r.事件4包含的样本点数

"A)一试验的样本点总数.

2.独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为PM

=C^pk(\-p)n~k,k=0,1,2,n.

3.相互独立事件同时发生的概率：

若A,B相互独立，则P(A3)=P(A>P(B).

4.互斥事件至少有一个发生的概率：

若事件A,B互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B),P(A)=1—P(A).

5.条件概率公式

设A，B为随机事件，且尸(AJ>0,则尸(8H)=4黑.

6.全概率公式

设A”A2,A“是一组两两互斥的事件，A1UA2U…U4“=Q,且P(4)>0,i=l,2,…，n,则对任

意的事件BUQ,有P(B)=2尸(A)P(8HD.

i=\

【题型突破】

题型一古典概型

1.(2021•全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.1

1.答案C解析方法一（将4个1和2个0视为完全不同的元素）4个1分别设为lA.lBJC,10,2个0

分别设为04,08,将4个I和2个0随机排成一行有Ag种排法，将排成一行有A才种排

2

AU?-

法，再将0408插空有Ag种排法，所以2个0不相邻的概率。=货3

方法二（含有相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0,共有Ca种

排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0,共有Cg种排法.所以2

C2

--

个0不相邻的概率-C-3

2.已知多项选择题的四个选项A,B,C,D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得

分.若某题的正确答案是ABC,某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）

131

-C-D

A.2B.6

10

2.答案A解析由题意得，从4个选项里选两个选项，共有&=6（种）方法，从3个正确选项里选择

两个选项，共有C*=3（种）方法.由古典概型的概率公式得所求的概率为

3.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字123,4.现每次有放

回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在

第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结

果，经随机模拟产生了以下21组随机数：

1314123423331224332214133124

4321234124131224214343122412

1413433122344422324143314234

由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）

2„1C2>5

A.wB.1C.yD.yy

3.答案C解析由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，表示所得

到的4个数中包含2和4,且前3次只能出现2或4中的一个（不限次数），第4次又摸到另外一个偶数，

有1234,1224,3124,1224,4312,2234,共有6组，所以恰好在第4次停止摸球的概率?=最=/

4.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）

A±243

a.]4RD-7jc74

4.答案C解析从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为CQ这3只鞋子中任意两只都不成

4

QX23-

双，选取的方法为©X23,所以所求概率为2=7

5.定义：abede=10000a+l000/>+100c+IOJ+e,当五位数满足a<*c,且c>冷>e时，称这

个五位数为“凸数”.由123,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其

恰好为“凸数”的概率为（）

A-6B-ToC-72D-20

5.答案D解析由题意知，由123,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为''凸数”的有12543,13

542,14532,23541,24531,34521,共6个，所以恰好为“凸数”的概率为「=符=5.

6.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的

上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣

于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，

共比赛三场.每场比赛中胜者得1分，否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则

比赛结束时，田忌得2分的概率为.

6.答案|解析设齐王的上、中、下三个等次的马分别记为a,h,c,田忌的上、中、下三个等次的

马分别记为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，所有的可能为A”，Bb,

Ccf田忌得0分；Aa,Be,Cb,田忌得1分；Ba,Ab,Cc,田忌得1分；Ba,Ac,Cb,田忌得1分；

Ca,Ab,Be,田忌得2分；Ca,Ac,Bb,田忌得1分，田忌得2分的概率为尸=:.

7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分

为阳爻“——”和阴爻“——"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个

阳爻的概率是（）

..5,11〃21C11

------A.76Bl32C,32D-16

7.答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数〃=26=64,恰有3个阳爻的基本事件

数为C-20.故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率片版=看

8.“六艺”出自《周礼•地官司徒•保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数.已知某人觉得“君子不学礼无

以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四

艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概

率为（）

1c3八5r4

A.5B.WC.gD.§

8.答案B解析依题意，所选四艺要令该人和两个孩童都满意，则四艺中必选“礼”，"数”，两个

孩童再分别从剩余的四艺“乐”、"射“御"、"书''中选两艺，共有〃=Cia=36（种）等可能选法，其中

两孩童都不选"御''共有C£C*=9（种）等可能选法，其概率为2=；,则两孩童至少有一个选到“御”的概

”,13

率尸，=7

9.甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A,B,C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约.已知

4医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，8医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C

医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不

接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）

A.1B.|C.D.

9.答案C解析甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A,B,C三家医院接种新冠疫苗的情况有A3?

3I

=6种，符合题意的情况有3种，故所求概率为故选C.

10.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星

自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开

阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天

权至少一颗被选中的概率为（）

10.答案B解析从七颗星中随机选两颗，共有C,2=21种可能的结果，玉衡和天权至少一颗被选中

共有C21c5l+C22=ll种可能的结果，所以所求概率故选B.

题型二相互独立事件与独立重复试验

II.（2021・新高考全国I）有6个相同的球，分别标有数字123,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1

个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2"，丙

表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，贝4（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

11.答案B解析事件甲发生的概率P（甲）='，事件乙发生的概率P（乙）=\，事件丙发生的概率P（丙）

=康=总事件丁发生的概率尸（丁尸念=：•事件甲与事件丙同时发生的概率为0,尸（甲

丙）#P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为康=玄，尸（甲丁户P（甲）代丁），故B

正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为念=表，P（乙丙冲P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁

是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.

12.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下

一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是得，I，且各轮

考核能否通过互不影响，贝女)

A.该软件通过考核的概率为《B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为《

oO

、.2

c.该软件至少能够通过两轮考核的概率为AD.在此次比赛中该软件平均考核了皆轮

12.答案ABD解析设事件Aj(i=l,2,3,4)表示“该软件能通过第i轮考核”，则P(Ai)$

3311

315-X-X---

5438

。(4)=］，尸(4)=?该软件通过考核的概率为P(A1A2A3A4)=P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)X

——531

项A正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P(A\AiAA1选项

3)=P(AI)P(A2)P(3)=O7X3TX-=O",

1521

-X--

B正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1-P(Ai)-P(4A2)=16-652选项c不正

一

确；设在此次比赛中，该软件考核了y轮，的可能取值为i,2,3,4,P(Y=D=P(A不P(Y=2)

____c21____1caa01

=P(AiA)=TXT=T,尸(P=3)=P(AIA2A3)=&,户(丫=4)=2(4自汹3)=^*三乂1=/；.E(y)=lX^+

2O3JOO34oO

365

2x1+3x1+4X1=--

824故选项D正确.

Jo

13.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场

球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6,

客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互独立，则甲队以3：2获胜的概率为.

13.答案0.18解析由题意知，甲队以3：2