正余弦定理（学案）

6.4.1正余弦定理（学案）知识自测知识自测一．解三角形的概念一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.余弦定理定义：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2.公式：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.3.公式变形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).4.使用条件：①两边一角求边②三边求角（三边一角）三．正弦定理（大边对大角）1.定义在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2.公式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)=2R（该比值为该三角形外接圆的直径.）3.使用条件：①两角一边求边或角②两边一对应角求角4.正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（边化角）(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).（角化边）(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)=2R四．三角形的面积公式1.在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.知识简用知识简用题型一余弦定理【例1-1】（2022·广东）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于【答案】3【解析】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）【例1-2】（2022·河北）在中，若，则__________．【答案】3或【解析】因为C是三角形的内角，且，所以．当时，由余弦定理得?=9，则同理，当时，得故答案为:或．【例1-3】（2022·江西）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以．故选：B【例1-4】（2022·上海）在中，角??所对边分别是??，若，则_____.【答案】【解析】，，，.故答案为：.【例1-5】（2022·湖南）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则_________．【答案】5【解析】由题知，由余弦定理，可得：，则．故答案为：5.题型二正弦定理【例2-1】（2022·青海）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（????）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，由正弦定理得.故选：B.【例2-2】（2020·河北）在中，已知，则（????）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】因为在中，，由正弦定理有：，所以，解得或，又因为可得所以不符合题意，舍去.可得，故A，B，D错误.故选：.【例2-3】（2022·湖北）在中，若，，，则角的值是（????）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，，，，，或，或.故选：D【例2-4】．（2022·黑龙江）在中，，则外接圆的半径为（????）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因为，可得，由正弦定理得外接圆的半径．故选：C.题型三面积公式【例3-1】（2022·上海崇明）在中，，，，那么的面积等于______．【答案】【解析】由三角形面积公式得.故答案为：【例3-2】．（2022·重庆）在中，三个内角的对边分别是，若，，，则此三角形的面积为___．【答案】【解析】因为，，且可得,所以，故答案为：【例3-3】（2022·湖南）在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则【答案】【解析】依题意，解得，由余弦定理得.【例3-4】（2022·霍邱县）在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为【答案】【解析】，，，，得；所以由余弦定理可得，则；因此，由正弦定理可得，的外接圆直径为.题型四边角互换【例4-1】（2022·山东）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则【答案】【解析】由正弦定理可得，则，，又，则.【例4-2】（2022·广东）在中角A、、的对边分别为、、，且满足，角=__【答案】【解析】由，可得,因为，故，,则，故答案为：【例4-3】（2022·北京）已知锐角的内角的对边分别为，若，则_____.【答案】【解析】在锐角中，因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以，故答案为：.【例4-4】（2022·山东东营）在中，，则角是【答案】【解析】由，根据正弦定理得即化简得即【例4-5】（2022·江苏）在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.【答案】【解析】由正弦定理有：???故答案为：.【例4-6】（2022新疆）已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为