人教版九年级数学知识点总结

#学问点3、弓形的面积（1） 弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2） 弓形的周长=弦长+弧长（3） 弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形0AmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。如图1所示,如图2所示,如图1所示,如图2所示,当弓形所含的弧是优弧时,如图3所示,（2）扇形与弓形的联系与区分圣摩=-私爾当弓形所含的弧是半圆时，留意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。2）扇形与弓形的联系与区分如图3所示,（2）扇形与弓形的联系与区分圣摩=-私爾当弓形所含的弧是半圆时，留意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。2）扇形与弓形的联系与区分学问点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面开放图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r那么这个扇形的半径为1,扇形的弧长为2故，圆锥的侧面积％=丁服=珈，圆锥的全面积為三笹fE+宀册（E）说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）争辩有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。学问点5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积开放图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r高为h,则圆柱的侧面积标a，圆柱的全面积S唆=牙爾+5庵=2网•內+2舟"=3伊0+r）学问小结:

圆锥与圆柱的比较名称图形圆锥圆柱名称图形圆锥圆柱由一个直角三角形旋转得到 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD图形的形成过程的，如RtASOA绕直线SO旋绕直线AB旋转一周。转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面侧面开放图的特征面积计算方法 图形的组成 一个底面和一个侧面侧面开放图的特征面积计算方法扇形Spg=但1=11TI4-nr2 两个底面和一个侧面矩形SB=2航&= +WS底=2nrh+2in-2 其次十五章概率初步25.1随机大事与概率 1.随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：试验可以在相同的条件下重复地进行； - 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验全部可能的结果；每次试验前不能确定哪一个结果会消灭.其次十六章二次函数 1、定义：一般地，假如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范 围是全体实数。2、二次函数y=ax2的性质：(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴;函数y=ax2的图像与a的符号关系：当a>0时O抛物线开口向上O顶点为其最低点；当a<0时=抛物线开口向下=顶点为其最高点。 顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax2(a。0)。(P21-12)3、 二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线。 4、 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h*+k的形式，5、6、其中h5、6、其中h=-b，k=2a4ac-b24a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax2.，②y=ax2+k；@y=a(x-h*；@y=a(x-h*+k.⑤y=ax2+bx+c。 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①a的符号打算抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、外形相同。 ②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特殊地，y轴记作直线x=0。(P23-9,10) 7、顶点打算抛物线的位置。几个不同的二次函数，假如二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。

8、求抛物线的顶点、对称轴的方法(b)(1)公式法:y=ax2+bx+c=ax(b)(1)公式法:y=ax2+bx+c=ax+一[2a丿+ ,「•顶点是(—^~， ),对称轴是直线4a 2a 4ax=—-。（P26-9）2a（2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x—h）2+k的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是直线x=h。（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。留意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。9、抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c的作用(P29■例2,1,10)（1） a打算开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样。（2） b和a共同打算抛物线对称轴的位置。由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线。b b bx=——，故：①b=0时，对称轴为y轴；②一>。（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③一<0

2a a a（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。（3） c的大小打算抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。当x=0时，y=c•.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0,c）：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴。b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则一v0。a10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2当a>0时开口向上当av0时开口向下x=0(y轴)(0,0)y=ax2+kx=0(y轴)(0,k)y=aG—h)2x=h(h,0)y=a(x—h)2+kx=h(h,k)y=ax2+bx+cbx=———2ab4ac—b2( , )2a 4a11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：y=ax2+bx+c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。（2） 顶点式：y=a（x—h*+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x、x，通常选用交点式：y=a（x—x）（x—x）。1 2 1 21 （用函数观点看一元二次方程1.假如抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x°,那么当x=x°时，函数的值是0,因此x=x就是方程ax2+bx+c=0的一个根。0二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种状况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。2实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

其次十七章相像1图形的相像概述判定1、假如两个图形外形相同，但大小不肯定相等，那么这两个图形相像。2、 假如两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相像。相像比3、 相像多边形的对应边的比叫相像比。相像比为 1时，相像的两个图形全等性质4、 相像多边形的对应角相等，对应边的比相等。相像多边形的周长比等于相像比。5、 相像多边形的面积比等于相像比的平方。2相像三角形判定：1.两个三角形的两个角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相像。相像三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相像比。相像三角形周长的比等于相像比。相像三角形面积的比等于相像比的平方3位似假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边相互平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为位似比。性质1、 位似图形的对应点和位似中心在同始终线上，它们到位似中心的距离之比等于相像比。2、 位似多边形的对应边平行或共线。3、 位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。依据一个位似中心可以作两个关于已知图形肯定位似比的位似图形 ，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。汪意1、 位似是一种具有位置关系的相像，所以两个图形是位似图形，必定是相像图形，而相像图形不肯定是位似图形；2、 两个位似图形的位似中心只有一个；3、 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、 位似比就是相像比.利用位似图形的定义可推断两个图形是否位似；5、 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。其次十八章锐角三角函数1锐角三角函数锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割esc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦(sin)等于对边比斜边， 余弦(cos)等于邻边比斜边正切(tan)等于对边比邻边； 余切(cot)等于邻边比对边正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sina,

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana.同角三角函数间的关系平方关系： tana=sina/cosa,sin2a+cos2a=1•积的关系：•倒数关系： tana・cota=l；sina・csca=l；cosa*seca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边三角函数值（1） 特殊角三角函数值（2） 0°〜90。的任意角的三角函数值，查三角函数表。（3） ④tanA的值越大，梯子越陡，匕A越大；ZA越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°〜90。间变化时,正弦值随着角度的增大余弦值随着角度的增大正切值随着角度的增大余切值随着角度的增大（或减小）（或减小）（或减小）（或减小）而增大而减小而增大而减小（ii）当角度在0°〜90。间变化时,正弦值随着角度的增大余弦值随着角度的增大正切值随着角度的增大余切值随着角度的增大（或减小）（或减小）（或减小）（或减小）而增大而减小而增大而减小或减小）或增大）或减小）或增大） （iii）当角度在0°WaW90。间变化时,0WsinaW1,1NcosaN0,当角度在0°<a<90。间变化时，tana>0,cota>0.特殊的三角函数值2解直角三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a"2+b"2=c"2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。三捎蠢40°3伊45°60°wsint?0£2JiICOSfif1T2i_20tariff0里T1不存在不存在I也T0勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如： 3,4，5。他们分别是3,4和5的倍数。 常见的勾股弦数有：3,4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半；⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在RtAABC中，若ZC=90°，则a2+b2=C2；⑸勾股定理的逆定理：假如三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形,即：在△ABC中，若a2+b2=C2，则ZC=90°；⑹射影定理：AC2=ADgAB,BC2=BDgAB,CD2=DAgDB.锐角三角函数的定义：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA，ZB，ZC所对的边分别为a,b,c,ab.a贝IsinA=-,cosA=—,tanA=-,ccb解直角三角形(Rt^ABC,ZC=90°)⑴三边之间的关系：a2+b2=c2.⑵两锐角之间的关系：匕A+ZB=90°..⑶边角之间的关系：sinA=/⑶边角之间的关系：sinA=/A的对边

斜边/A的邻边

斜边A/A的对边_aA/A的邻边_btanA= f心、丄=—,cotA= tt-—.、丄=—./A的邻边 b /A的对边a⑷解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角.②已知两边.③解直角三角形的应用.其次十九章投影与视图 29.1投影一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection）,照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。有时间线是一组相互平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallelprojection）.由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做 中心投影（centerprojection）。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。 物体正投影的外形、大小与它相对于投影面的位置有关。2三视图三视图是观测者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面对后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面外形，从物体的上面对下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面外形， 从物体的左面对右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面外形，还有其它三个视图不是很