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文档简介
2022年吉林省四平市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.
2.
3.
4.A.A.∞B.1C.0D.-1
5.A.
B.
C.
D.
6.交换二次积分次序等于().A.A.
B.
C.
D.
7.交变应力的变化特点可用循环特征r来表示,其公式为()。
A.
B.
C.
D.
8.
9.当x一0时,与3x2+2x3等价的无穷小量是().
A.2x3
B.3x2
C.x2
D.x3
10.A.exln2
B.e2xln2
C.ex+ln2
D.e2x+ln2
11.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对12.设在点x=1处连续,则a等于()。A.-1B.0C.1D.213.设Y=x2-2x+a,贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关14.A.A.
B.
C.
D.
15.
16.下列各式中正确的是
A.A.
B.B.
C.C.
D.D.
17.
18.
19.
20.
二、填空题(20题)21.
22.
23.
24.25.
26.
27.
28.设=3,则a=________。
29.
30.设f(x)=sin(lnx),求f(x)=__________.
31.设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则该切线方程为______.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.设函数y=x3,则y'=________.
39.
40.
三、计算题(20题)41.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.42.证明:43.
44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
45.
46.47.求微分方程的通解.48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
51.
52.53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.54.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
57.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则58.59.
60.求曲线在点(1,3)处的切线方程.四、解答题(10题)61.
62.63.求函数y=xex的极小值点与极小值。64.
65.
66.设f(x)=x-5,求f'(x)。
67.68.设x2为f(x)的原函数.求.69.求,其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0,x=0,x=1所围成.70.五、高等数学(0题)71.若f(x一1)=x2+3x+5,则f(x+1)=________。
六、解答题(0题)72.
参考答案
1.C
2.B
3.D解析:
4.C本题考查的知识点为导数的几何意义.
5.B
6.B本题考查的知识点为交换二次积分次序.
由所给二次积分可知积分区域D可以表示为
1≤y≤2,y≤x≤2,
交换积分次序后,D可以表示为
1≤x≤2,1≤y≤x,
故应选B.
7.A
8.B
9.B由于当x一0时,3x2为x的二阶无穷小量,2x3为戈的三阶无穷小量.因此,3x2+2x3为x的二阶无穷小量.又由,可知应选B.
10.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时,f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x)=e2xln2.
11.D极限是否存在与函数在该点有无定义无关.
12.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。
由于y为分段函数,x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于
当x=1为y=f(x)的连续点时,应有存在,从而有,即
a+1=2。
可得:a=1,因此选C。
13.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为:先求出函数的一阶导数,令偏导数等于零,确定函数的驻点.再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a,可由y'=2x-2=0,解得y有唯一驻点x=1.又由于y"=2,可得知y"|x=1=2>0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点,故应选B。如果利用配方法,可得y=(x-1)2+a-1≥a-1,且y|x=1=a-1,由极值的定义可知x=1为y的极小值点,因此选B。
14.B
15.B
16.B本题考查了定积分的性质的知识点。
对于选项A,当0<x<1时,x3<x2,则。对于选项B,当1<x<2时,Inx>(Inx)2,则。对于选项C,对于选读D,不成立,因为当x=0时,1/x无意义。
17.C
18.C
19.B
20.A
21.
22.12x12x解析:
23.24.本题考查的知识点为定积分的基本公式。
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.y=f(1)本题考查的知识点有两个:一是导数的几何意义,二是求切线方程.
设切点为(x0,f(x0)),则曲线y=f(x)过该点的切线方程为
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
由题意可知x0=1,且在(1,f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴,因此应有f'(x0)=0,故所求切线方程为
y=f(1)=0.
本题中考生最常见的错误为:将曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程写为
y-f(x0)=f'(x)(x-x0)
而导致错误.本例中错误地写为
y-f(1)=f'(x)(x-1).
本例中由于f(x)为抽象函数,一些考生不习惯于写f(1),有些人误写切线方程为
y-1=0.
32.
33.
解析:
34.
35.36.1/6
本题考查的知识点为计算二重积分.
37.
解析:
38.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3,所以y'=3x2
39.
40.1
41.
列表:
说明
42.
43.
则
44.函数的定义域为
注意
45.
46.
47.48.由二重积分物理意义知
49.
50.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
51.
52.
53.
54.
55.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
56.
57.由等价无穷小量的定义可知
58.
59.由一阶线性微分方程通解公式有
60.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
61.
62.
63.64.本题考查的知识点为两个:定积分表示-个确定的数值;计算定积分.
这是解题的关键!为了能求出A,可考虑将左端也转化为A的表达式,为此将上式两端在[0,1]上取定积分,可得
得出A的方程,可解出A,从而求得f(x).
本题是考生感到困难的题目,普遍感到无从下手,这是因为不会利用“定积分表示-个数值”的性质.
这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中.
65.
66.f'(x)=x'-5'=1。
67.68.解法1
由于x2为f(x)的原函数,因此
解法2由于x2为f(x)的原函数,因此
本题考查的知识点为定积分的计算.69.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1,0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分,选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分,将变得复杂,因此考生应该学会选择合适的积分次序。
70.
71.∵f(x一1)=x2+3x+5令x一1=t+1x=t+2;f(t+1)=(t+2)2+3(t+2)+5
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