平面向量数量积运算专题

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欢迎下载平面向量量积运算题型一平面向量数量积的基本算例(1)(2014·天津)知菱形ABCD的长为2BAD＝120°点EF分别在边BCDC→→上，＝，DC.AEAF＝，则的值_→→已知圆O的径为为圆的两条切线为点的最小值为)－42C.－4＋

－＋－32→→→→→变式训练湖北已知向O⊥，|＝3则O＝题型二利用平面向量数量积求向量夹角例(1)(2015·重庆)非零向量ab足a＝为)ππ3πB.C.D.π2

，(ab)⊥＋2)，则与b的夹角π若平面向量平面向量b的角等于a＝2＝则2－与＋b的角的余弦值等于()学习好资料

欢迎下载11B.－C.12

－→→→→变式训练课标全国Ⅰ已知BC为上三点若＝(＋AC)则A与→的夹角为题型三利用数量积求向量的模例已平面向量a和b，a＝，b＝2且a与b的角为，ab等()A.25

B.4D.6已知直角梯形ABCDADBC∠＝AD2＝1P是上动点，→→则PA3PB的小值为变式训练(2015·江已知是面单位向量e＝.平面向量b满足be＝e1＝1则b＝

222222222222222222222学习好资料

欢迎下载高题精→→山东已知菱形的长为a∠ABC＝60°，则BDCD于)－a

2

－

2C.a

2

a

2浙江记max{x}＝x}min{|＋，－|}≤min{|a，|}min{|＋，－|}≥min{|，|}＋|，ab|}|＋b|max{|a＋|，－|}|＋|

设a为面向量)湖南已知点A在→→＋PB的大值为()

→＋y＝上动AB⊥BC若点P的标2,0)则PAA.6

B.7D.922学习好资料

欢迎下载如，等腰直中，＝OB＝，为AB上近点的等分点，过C作→→→的垂线lP为垂线上任一点，OA，＝，＝p，·(－)等于()－C.－

→→→→→→→→1→在面⊥AB＝＝AP＝AB＋AB.OP|<|的取范围是)12122，

]

B.(

7，]2C.(

，2]

D.(

，2]→→→→如所ABC中ACB＝90°且AC＝4满＝3MACM等于()A.2

B.3D.6徽)，为零向量，b＝，组向量，x，，和，，y均由12412个和个列而若y＋＋y＋y所有可能取值中的最小值为4|，a11234与b的夹角()2πππC.622学习好资料

欢迎下载→→→→苏如图，在平行四边形ABCD中已知＝，＝，CP3PDAPBP，→→则ABAD的值是设零量ab夹角为θ，记fa，)＝acos－bsinθ若，均为单位向量，且11＝

，则向量fe，)与fe，－)的夹角________.1221→→→10.如图△为BC中＝1＝3＝________.已知向量＝(sin，，＝x，－1).当∥b时求x－sinx值；→→12.在△，＝，过顶点C作的线，垂足为，AD，且满＝DB→→求|－；→→→→存在实数t≥，使得向量＝＋，＝＋AC令，求的最小值学习好资料

欢迎下载平面向量量积运算题型一平面向量数量积的基本算例(1)(2014·天津)知菱形ABCD的长为2BAD＝120°点EF分别在边BCDC→→上，＝，DC.AEAF＝，则的值_→→已知圆O的径为为圆的两条切线为点的最小值为)－42C.－4＋

－＋－32答案解析

(2)D(1)→→→→→→→→→→→→→→1→AF(AB)·(AD)(BC)·()ABADλλ33→→114410222×cos×2×××2×××cos120°＋，λλλ3λ33222222422222222222222222422222222222学习好资料

欢迎下载→→∵AF1∴

2＝∴33→→方法一PB∠APBθtanθtanx1θ1tan→→→→PAPBPA|·|PB|·cosθx

x1x11

1x1x1≥223x1x12→→x21APB23.方法二∠APBθ→→PA

tan

θ

→→→→PAPBPAPBθ(

tan

)θ

cos22222222222222222222222222222222222222学习好资料

欢迎下载θcos)θ2sin

θθθsinθxsin0<x≤→→PBx2－3≥3x2，.x2→→23.方法三Ox

2

1Ay(x)P(x10,→→PB(x)·(y)x2xx101→→OA⊥PA⇒OA(xy)·(x0111⇒xy1

0x11x1.10→→PA2xx10x1

2x(101

)222222222222学习好资料

欢迎下载2xx1

323.→→23.点评

(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选.意两向量ab的量积ab与数中，b乘积写法不同，不应该漏掉其中“”.向量的数量积运算需要注意的问题＝0时不到＝或＝0根据平面向量数量积的性质有a|＝，a·b≤|.→→→→→变式训练湖北已知向O⊥，|＝3则O＝答案→→→→→→→→→→→→→解析A⊥OA0.OOBOAOAAB)OA|OA0

2

9.题型二利用平面向量数量积求向量夹角例(1)(2015·重庆)非零向量ab足a＝为)ππππ

，(ab)⊥＋2)，则与b的夹角π若平面向量平面向量b的角等于a＝2＝则2－与＋b的角的余弦值等于()C.

－－答案

(1)A2222222∵≤≤∴.222222222∵≤≤∴.22222解析

学习好资料欢迎下载(1)()a2)(a)·(3ab0a·bb0.∵a

babθa

a|·cosθb|

02∴b·cosb|∴cos

π2a2(2abπ43×2×3cosπb442××cos(2)·(ab223a891cosaa2|2a2点评求量的夹角时要注意(1)量的数量积不满足结合律数量积大于明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于两向量不能共线时两向量的夹角为钝角→→→→变式训练课标全国Ⅰ已知BC为上三点若O(＋AC)则A与→的夹角为答案90°→1→→解析∵AOABAC)2222222222学习好资料

欢迎下载∴OABCBC→→∴BCABC题型三利用数量积求向量的模例已平面向量a和b，a＝，b＝2且a与b的角为，ab等()A.25

B.4D.6已知直角梯形ABCDADBC∠＝AD2＝1P是上动点，→→则PA3PB的小值为答案解析

(1)A(1)a1|b2ab2×|2×b|cos120°

×1221×2.方法一DAyDP∴D(0,0)A(2,0)Ca)a(0x)→→PA)PBa)→→∴PA(5,3a4x22222222222222222222学习好资料

欢迎下载→→PA325x)≥25→→∴PA5.→→方法二DP(0<x→→∴)→→→→→PADADPDA→→→→→(1xDA→→5→→∴PADAx)DC→→→5→→→→PA3DA××4)DADC(34x25x)DC≥252→→∴PA5.点评

(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量＝(x，y，求向量的只需利用公a＝x

＋y

即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量的模进行如下转化：＝a.变式训练(2015·江已知是面单位向量e＝.平面向量b满足be＝e1＝1则b＝

2答案

解析e|ee60°.bbe1be1122121e0b·(0b⊥ee).e30°eb|·|2121211.b

222222222222222222222222222222学习好资料

欢迎下载高题精→→山东已知菱形的长为a∠ABC＝60°，则BDCD于)－a

2

－

2C.a

2

a

2答案D解析BC∠BCD120°.BD

BC

CD

a

2×a

2

∴a→→→→∴CDCD|cosa

3×a2

浙江记max{x}＝

}＝

y，x≥y，x，x<，

设a为面向量

)min{|＋，－|}≤min{|a，|}min{|＋，－|}≥min{|，|}＋|，ab

}|＋b|＋|，ab|}＋|答案D222222222222222222222222学习好资料

欢迎下载解析aabAB.ba|>|b|>||b|aab|>|a|ab||b|D.→湖南已知点A在＋＝上动⊥.若点的坐标(2,0)则→→＋PB的大值为()A.6

B.7D.9答案B解析∵ABCx1上AB⊥BC→→→→∴ACPA2(B(xy)∈(x2)→→→→→→∴PAx6yPBPCx37∴x如，等腰直中，＝OB＝，为AB上近点的等分点，过C作→→→的垂线lP为垂线上任一点，O＝，OB＝，OP＝p，·(b－a等于()－C.－

答案A解析OAx学习好资料

欢迎下载O1A(0,1)C()4ly＝x，xy＝Px)(2b(1,1)·(b)(x)→→→→→→→→1→在面⊥AB＝＝AP＝AB＋AB.OP|<|的取范围是)12122，

]

B.(

7，]2C.(

，2]

D.(

，2]答案D解析12→→→→→AB⊥AB12ABB1→P222422222242222学习好资料

欢迎下载→7POAD.→→→→如所ABC中ACB＝90°且AC＝4满B＝MAMCB于()A.2

B.3D.6答案→解析△∠ACB90°AC2BM→→3→→→→→→→→→→MABMBA.CMCB(CBBMCBCBBMCBCB

2

→→3BA16××4cos安徽)，为零向量，b＝，组向量，x，，和，，y均由12412个和个列而若y＋＋y＋y所有可能取值中的最小值为4|，a11234与b的夹角()2πππC.6答案B解析ay(i2Siii)ii①ab②a③aa222222322216222222322216学习好资料

欢迎下载∵b2|∴①10|a②8|acos③cos.②a

cosa

π∴cosθ，→→→→江苏如图，在平行四边形ABCD中已知＝，＝，CP3PDAPBP，→→则ABAD的值是答案→→→→1→→→→→1→→→→→1→解析DPDCAPADDPADAPABADAB4→→3→→→→1→→3→→→→→－.P2(＋)·(－)DAB416

2→→→→2.AAB64B22.设零量ab夹角为θ，记fa，)＝acos－bsinθ若，均为单位向量，且11＝

，则向量fe，)与fe，－)的夹角________.1221答案

π解析1

e3cos1e|||21ππeeπ1121ππ1feeecose121222feecos22

5ππ1(e)sin.16212feef(12

33e)·(eee1121(e⊥f12212222222222222222222222学习好资料

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→→→→→→1→1→→解析ACAB|·||cos60°×3＝)→→→1→→→→→113→13AO()(2)AO(139).已知向量＝(sin，，＝x，－1).当ab，求－2x的；设函数f()＝2(a＋bb