新教材苏教版选择性必修第一册第5章导数及其应用专题强化练12导数与函数的单调性及其应用作业

专题强化练12导数与函数的单调性及其应用一、选择题1.(2020江苏徐州三校高二下联考,)已知f(x)=12x2-cosx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是()2.(2020广西百色高二上期末,)定义域为R的函数f(x)满足f(-3)=6,且f'(x)>x2+1对x∈R恒成立,则f(x)>13x3+15的解集为 ()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,3)D.(3,+∞)3.(2020江苏南京秦淮中学高二下阶段测试,)已知函数f(x)的导函数为f'(x),在(0,+∞)上满足xf'(x)>f(x),则下列结论一定成立的是 ()A.2019f(2020)>2020f(2019)B.f(2019)>f(2020)C.2019f(2020)<2020f(2019)D.f(2019)<f(2020)4.(2020江苏扬州大学附属中学高二下阶段测试,)若函数f(x)=x+asin2x在0,π4上单调递增,则a的取值范围是 (A.-12C.-12,5.(多选)(2020江苏镇江吕叔湘中学高二下月考,)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex(x-1),则下列判断正确的是 ()x<0时,f(x)=-e-x(x+1)B.f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)f(x)有3个零点6.(多选)()已知函数f(x)=xlnx,若0<x1<x2,则下列结论正确的是 ()A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.f(xD.当lnx>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)二、填空题7.(2020江苏江阴高级中学高二下月考,)已知函数f(x)=3x-2sinx,若f(a2-3a)+f(3-a)<0,则实数a的取值范围是.?8.(2021江苏南通如皋中学高二上阶段测试,)已知函数f(x)=(x2-a)e-x的图象过点(3,0),若函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,则实数m的取值范围为.?三、解答题9.(2020江苏连云港高二下期末,)已知函数f(x)=xln(x+1)-ax2+1(a∈R).(1)若h(x)=f'(x)在(-1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若f(x)在(-1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值集合.10.(2020山东德州高三上期末,)已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性;(3)若a为正整数,且函数f(x)恰有两个零点,求a的值.答案全解全析专题强化练12导数与函数的单调性及其应用一、选择题1.A依题意得f'(x)=x+sinx,令h(x)=x+sinx,则h'(x)=1+cosx.由于f'(0)=0,因此排除C选项.由于h'(0)=1+1=2>0,因此f'(x)在x=0处的导数大于零,故排除B,D选项.故选A.2.A构造函数F(x)=f(x)-13x3则F'(x)=f'(x)-x2,由f'(x)>x2+1对x∈R恒成立得,F'(x)>1>0,∴F(x)是R上的单调递增函数.又f(-3)=6,∴F(-3)=f(-3)-13×(-3)3=15∴f(x)>13x3+15?f(x)-13x3>15?F(x)>由F(x)的单调性知此不等式的解集为(-3,+∞),故选A.3.A令g(x)=f(x)x(x>0),则g'(由已知得,当x>0时,g'(x)>0,故函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,所以g(2020)>g(2019),即f(2020)2020>f(2019)2019,所以20194.C若函数f(x)=x+asin2x在0,π4上单调递增,则f'(x)=1+2acos2x≥0在所以2a≥-1cos2x在又当x∈0,π4时,0<cos2x≤1,所以-1cos2x≤-1,即-1cos2x有最大值-1,则a≥-5.BD当x<0时,-x>0,所以f(-x)=e-x(-x-1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=e-x(x+1),故A错误;易得f(x)=e令f(x)<0,可得x<0,e-x(x+1)<0或x>0,ex(x-1)<0,解得x<-1或0<x<1,所以f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),故B正确;当x>0时,f(x)=ex(x-1),f'(x)=ex(x-1)+ex=xex>0,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,但当x>0且x→0时,f(x)→-1;当x<0且x→0时,f(x)→1;当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在R上不单调递增,故C错误;令f(x)=0,6.AD对于A,令g(x)=f(x)x=lnx,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x1)<g(x2),即f(x1)x1<f(x2)x2,所以x2对于B,令h(x)=x+f(x)=x+xlnx,则h'(x)=1+lnx+1=2+lnx,当x∈(0,e-2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以x1+f(x1)<x2+f(x2)不恒成立,故B错误;对于C,由f(x)=xlnx可得f'(x)=lnx+1,当x∈(0,e-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(e-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x1)-f(x对于D,当x∈(e-1,+∞),即lnx>-1时,f(x)单调递增,由e-1<x1<x2得f(x2)>f(x1),所以x1[f(x1)-f(x2)]-x2[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),由A中分析可知x2f(x1)<x1f(x2),利用不等式的传递性可得x1f(x1)+x2f(x2)>2x2·f(x1),故D正确.故选AD.二、填空题7.答案(1,3)解析易知f(x)=3x-2sinx的定义域为R,∴f(-x)=-3x+2sinx=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,易得f'(x)=3-2cosx>0,∴函数f(x)在R上单调递增,∵f(a2-3a)+f(3-a)<0,即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),∴a2-3a<a-3,解得1<a<3.8.答案[-1,2]解析因为函数f(x)=(x2-a)e-x的图象过点(3,0),所以3-a=0,解得a=3,所以函数f(x)=(x2-3)e-x,f'(x)=-(x-3)·(x+1)e-x,令f'(x)≥0,可得-1≤x≤3,所以函数f(x)的单调递增区间为[-1,3],因为函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,所以m≥-1,m+1≤3,解得-1≤m三、解答题9.解析(1)因为f(x)=xln(x+1)-ax2+1,所以f'(x)=ln(x+1)+xx+1-2又h(x)=f'(x)在(-1,+∞)上是单调递增函数,所以h'(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,且无连续区间使h'(x)恒为0,即h'(x)=1x+1+1(x+1)2-2所以1x+1+1(x+1)2≥2a在(-1,+∞)上恒成立,因为t+t2>0,所以2a≤0,即a≤0.故实数a的取值范围为(-∞,0].(2)因为f(x)=xln(x+1)-ax2+1,所以f'(x)=ln(x+1)+xx+1-2又f(x)在(-1,+∞)上是单调递减函数,所以f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,且无连续区间使f'(x)恒为0.因为f'(0)=0,所以f'(0)是f'(x)的一个极大值,令g(x)=f'(x),则g'(x)=1x+1+1(x=-2则g'(0)=0,即2-2a=0,解得a=1.当a=1时,有g'(x)=1x+1+1(当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,则f'(x)在(-1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,g'(x)<0,则f'(x)在(0,+∞)上单调递减.所以f'(x)≤f'(0)=0,所以当a=1时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减.故实数a的取值集合为{1}.10.解析(1)由题意知x>0,f'(x)=1x+2ax-(a+2)=(ax-1)(2由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,所以f'(1)·-1所以f'(1)=a-1=3,解得a=4.(2)因为a>0,所以1a>0①若0<a<2,则1a>1当0<x<12或x>1a时,f'(当12<x<1a时,f'(所以函数f(x)在0,12和1a,+②若a=2,则1a=12,此时f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)③若a>2,则1a<1当0<x<1a或x>12时,f'(当1a<x<12时,f'(所以函数f(x)在0,1a和12,+综上,当0<a<2时,f(x)在0,12和1a,+∞上单调递增,在12,1a上单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x(3)因为a为正整数,所以若0<a<2,则a=1,f(x)=lnx+x2-3x+2,由(2)知此时函数f(x)在0,12和(1,+∞)上单调递增,在又f(1)=0,所以函数f(x)在区间12,+∞内有且仅有一个零点,f又f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e