新教材北师大版必修第二册第2章66.1第3课时用余弦定理正弦定理解三角形学案

第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形学习任务核心素养1．熟练掌握正弦、余弦定理及其变形．(重点)2．能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．(难点)通过余弦、正弦定理及其变形的应用，培养数学运算及逻辑推理素养．在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，则这个区域的面积是多少？(精确到0.1m知识点三角形的面积公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高).(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．在△ABC中，边BC，CA，AB上的高ha，hb，hc怎样用对应的边和角表示？[提示]在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么ha＝bsinC＝csinB，hb＝csinA＝asinC，hc＝asinB＝bsinA．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为()A．18eq\r(3)B．9eq\r(3)C．18D．9B[由已知，得C＝180°－A－B＝30°，∴A＝C，∴BC＝AB＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×6×6×sin120°＝9eq\r(3).]类型1三角形中的几何计算【例1】在△ABC中，已知AB＝eq\f(4\r(6),3)，cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，求sinA的值．[解]如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(2\r(6),3).∵cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，∴cos∠BED＝－eq\f(\r(6),6).设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，即5＝x2＋eq\f(8,3)＋2×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),6)x.解得x＝1或x＝－eq\f(7,3)(舍去)，故BC＝2.在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝eq\f(28,3)，即AC＝eq\f(2\r(21),3).又sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(30),6)，∴eq\f(2,sinA)＝eq\f(\f(2\r(21),3),\f(\r(30),6))，∴sinA＝eq\f(\r(70),14).解决此类问题的着眼点：(1)找出已知边长或角的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段或角所在的三角形，确定所需条件．提醒：构造三角形时，要注意使构造的三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，求其中线AD的长．[解]在△ACD中，由余弦定理，得eq\f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cos∠ADC＝b2，在△ABD中，由余弦定理，得eq\f(1,4)a2＋AD2－a×AD×cos∠ADB＝c2，两式相加得，eq\f(1,2)a2＋2AD2－a×AD(cos∠ADC＋cos∠ADB)＝b2＋c2，因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠ADB))＋cos∠ADB＝－cos∠ADB＋cos∠ADB＝0，所以eq\f(1,2)a2＋2AD2＝b2＋c2，所以AD＝eq\f(1,2)eq\r(2b2＋2c2－a2).类型2三角形的面积问题【例2】(教材北师版P115例9改编)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，求证：S△ABC＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1y2－x2y1)).[证明]S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|sinA＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|eq\r(1－cos2A)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|))\s\up8(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|cosA))\s\up8(2))＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|))\s\up8(2)－（\o(AB,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→))）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))）（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))）－（x1x2＋y1y2）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（x1y2－x2y1）2)＝eq\f(1,2)|x1y2－x2y1|.三角形面积计算公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha为a边上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝2R2sinAsinBsinC(R为外接圆的半径)；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r为内切圆的半径)；(4)S＝eq\r(s(s－a)(s－b)(s－c))(s为三角形周长的一半).eq\a\vs4\al([跟进训练])2．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝5，则∠BAC＝()A．30° B．120°C．150° D．30°或150°C[由S△ABC＝eq\f(15,4)，得eq\f(1,2)×3×5sin∠BAC＝eq\f(15,4)，∴sin∠BAC＝eq\f(1,2)，又由eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]类型3正、余弦定理的综合应用【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋eq\f(2,3)ab，若△ABC的外接圆半径为eq\f(3\r(2),2)，求△ABC面积的最大值．1．在△ABC中，如何利用正弦定理进行边角转化？[提示](1)边转化为角：a＝2RsinA；(2)角转化为边：sinA＝eq\f(a,2R).2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？[提示]常用的变形技巧是整体代换，例如(1)a2＋b2－c2＝2abcosC；(2)a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b±c))eq\s\up8(2)－2bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1＋cosA))，此公式在已知b±c和bc的情况下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系．[解]由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,3)，得sinC＝eq\f(2\r(2),3)，由外接圆半径R＝eq\f(3\r(2),2)及sinC可得：c＝2RsinC＝4，所以a2＋b2＝16＋eq\f(2,3)ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋eq\f(2,3)ab≥2ab?ab≤12，所以S△ABC≤eq\f(1,2)·12·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(2).则△ABC的面积的最大值为4eq\r(2).本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有三组边角可供选择：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值．要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再利用均值不等式，可以建立“平方”与“乘积”的不等关系，从而可求出ab的最值．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，求角A的范围．[解]由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，得beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))，整理得b2＋c2－a2≥bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段()A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形B[设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cosθ＝eq\f(52＋62－72,2×5×6)＝eq\f(1,5)>0，所以能组成锐角三角形．]2．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小关系不确定A[设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵sinA>sinB，∴2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.]3．△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)D[eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)；当C＝120°时，A＝30°，此时，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).]4．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则△ABC外接圆的半径R等于________．1[由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝3∴b＝eq\r(3)，由正弦定理得，2R＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴R＝1.]5．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则∠C＝________．eq\f(π,4)[由S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，即sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴sinC＝cosC，即tanC＝1，又∠C∈(0，π)，∴∠C＝eq\f(π,4).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.根据已知条件，如何正确选择解题策略解三角形？[提示](1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知