数学人教A版选修4-4学案第一讲坐标系三第1课时

/10/10/第1课时圆的极坐标方程学习目标1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．知识点一曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；③将列出的关系式整理、化简；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．知识点二圆的极坐标方程思考1在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案不一定．思考2圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？答案ρ＝2.梳理圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r,0)ρ＝2rcos_θ圆心在点(r，eq\f(π,2))ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcos_θ(eq\f(π,2)≤θ<eq\f(3π,2))圆心在点(r，eq\f(3π,2))ρ＝－2rsin_θ(－π<θ≤0)类型一求圆的极坐标方程例1求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρeq\o\al(2,0)＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．引申探究若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．解设P(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，即ρ2＝6ρcosθ－5.反思与感悟求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．跟踪训练1求圆心在C(2，eq\f(3π,2))处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sineq\f(5π,6))是否在这个圆上．解如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos(eq\f(3π,2)－θ)，∴ρ＝－4sinθ，经验证，点O(0,0)，A(4，eq\f(3π,2))的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.∵sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，∴ρ＝－4sinθ＝－4sineq\f(5π,6)＝－2，∴点(－2，sineq\f(5π,6))在此圆上．类型二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)x2＋y2＝1；(2)x2＋y2－4x＋4＝0；(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.解把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入方程化简，(1)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.(2)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－4ρcosθ＋4＝0，∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.(3)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.∴ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，∴ρ2－2eq\r(2)ρsin(θ＋eq\f(π,4))－2＝0.反思与感悟在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值．跟踪训练2把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0.解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，得(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.例3把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4))；(3)ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)；(4)ρ＝eq\f(1,2－cosθ).解(1)∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)∵ρ＝2cosθcoseq\f(π,4)＋2sinθsineq\f(π,4)＝eq\r(2)cosθ＋eq\r(2)sinθ，∴ρ2＝eq\r(2)ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ，∴化为直角坐标方程为x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y＝0.(3)∵ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴ρ(cosθ·coseq\f(π,4)－sinθ·sineq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴x－y－1＝0.(4)∵ρ＝eq\f(1,2－cosθ)，∴2ρ－ρcosθ＝1，∴2eq\r(x2＋y2)－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.反思与感悟由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．跟踪训练3把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cosθ－2sinθ；(3)ρ2＝cos2θ.解(1)∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcosθ＝0.∴ρ＝2cosθ.(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.类型三直角坐标与极坐标方程互化的应用例4若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线ρsin(θ－eq\f(π,4))＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|的值．解(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))∴ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由ρsin(θ－eq\f(π,4))＝0，得ρ(eq\f(\r(2),2)sinθ－eq\f(\r(2),2)cosθ)＝0，即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝eq\r(5)，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝eq\f(|2－1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝3eq\r(2).反思与感悟在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．跟踪训练4在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．答案(1,1)1．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是()A．3B.eq\r(2)C．1D.eq\f(\r(2),2)答案D2．将极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0化为直角坐标方程为()A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1答案B3．在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是()A．(1，π)B．(2，eq\f(π,2))C．(1，eq\f(π,2))D．(1,0)答案C解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，eq\f(π,2))．4．4ρsin2eq\f(θ,2)＝5表示的曲线是()A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线答案D解析4ρsin2eq\f(θ,2)＝5?4ρeq\f(1－cosθ,2)＝5?2ρ＝2ρcosθ＋5.∵ρ＝eq\r(x2＋y2)，ρcosθ＝x，代入上式得2eq\r(x2＋y2)＝2x＋5，两边平方并整理，得y2＝5x＋eq\f(25,4)，∴它表示的曲线为抛物线．5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(2，eq\f(π,6))，半径为1，求圆C的极坐标方程．解在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－eq\f(π,6))，化简可得ρ2－4ρcos(θ－eq\f(π,6))＋3＝0.当O，P，C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－eq\f(π,6))＋3＝0.1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)))可以表示为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)＋2π))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)－2π))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(5π,4)))等多种形式，其中，只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,4)))的极坐标满足方程ρ＝θ.2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．课时作业一、选择题1．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是()A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D．以点(3，eq\f(π,2))为圆心，3为半径的圆答案C2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A．ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4)) B．ρ＝2sin(θ－eq\f(π,4))C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)答案C3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆答案C4．极坐标系内，点(1，eq\f(π,2))到直线ρcosθ＝2的距离是()A．1B．2C．3D．4答案B5．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(π,3)) B．(－eq\f(1,2)，eq\f(2π,3))C．(eq\f(1,2)，－eq\f(π,3)) D．(eq\f(1,2)，－eq\f(2π,3))答案D二、填空题6．把圆的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．答案ρ＝4sinθ解析将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.7．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．答案x2＋y2－3y＝0解析由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.8．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.答案2eq\r(3)解析由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±eq\r(3)，则|AB|＝2eq\r(3).9．在极坐标系中，曲线C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析曲线C1的直角坐标方程为eq\r(2)x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为(eq\f(\r(2),2)，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a＝eq\f(\r(2),2).三、解答题10．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使eq\f(OP,PQ)＝eq\f(2,3)，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，eq\f(ρ0,ρ－ρ0)＝eq\f(2,3)，∴ρ0＝eq\f(2,5)ρ.∵ρ0＝2cosθ0，∴eq\f(2,5)ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ，它表示一个圆．11．若圆C的方程是ρ＝2asinθ，求：(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)关于直线θ＝eq\f(3π,4)对称的圆的极坐标方程．解设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ为所求．(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝eq\f(3π,4)对称的点为(ρ，eq\f(3π,2)－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(eq\f(3π,2)－θ)，即ρ＝－2acosθ为所求．12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ＝4cosθ＋2sinθ；(2)ρ2＝eq\f(20,4cos2θ＋5sin2θ).解(1)方程ρ＝4cosθ＋2sinθ两边同时乘以ρ，并把ρ＝eq\r(x2＋y2)，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)ρ2＝eq\f(20,4cos2θ＋5sin2θ)可化为4(ρcosθ)2＋5(ρsinθ)2＝20，把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得eq\f(x2