离散数据的置信区间和假设检验

第6部分:离散数据

的置信区间和假设检验离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第1页!目的:目标:用Pareto图确定少数几个关键类型的缺陷。强调离散数据分析图的使用。理解缺陷比例的置信区间的用法，并计算单样本和双样本的置信区间。理解多个X变量卡方分析的用法（双向表）。使用Minitab绘图并进行分析。在上一部分，我们借助图形、置信区间和假设检验对连续数据的分析进行了讨论。下面，我们将运用图形、置信区间和几种比例的统计检验方法对离散数据进行分析。第6部分:离散数据的置信区间

和假设检验离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第2页!

工具 用途1.Pareto -找出少数关键的缺陷类型2.图形 -找出变化规律以确定哪些X影 响缺陷3.比例的置信区间 -量化变差，以确定变化是和假设检验 否具有统计显著性四种类型： 单样本，p接近.5 双样本，p接近.5 单样本，p<.1

双样本，p<.1 4.比例的卡方(2)检验 -具有多水平独立变量的比较。 -研究两个变量间的关系。离散数据导图离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第3页!如果工序产生的数据是离散的，Pareto图表可以帮助我们将注意力集中在研究关键因数上。合并那些不重要的缺陷有助于简化图形并使其对分析更有益处。关闭所有打开的工作表和图形。打开工作表文件Pareto.mtw路径为L:\SixSigma\minitab\training\ minitab\pareto.mtw打开:Stat>QualityTools>ParetoChart在pareto对话框中，有两种数据格式选项：ChartDefectsdatain:

(用于原始缺陷数据，栏C4和C5)ChartDefectsTable:

(用于汇总的缺陷数据栏C1和C5)Minitab可生成Pareto图离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第4页!Pareto图形左边显示最大频数的缺陷，右边显示较小频数的缺陷。图中的曲线显示了累计的缺陷百分比。图形应该可以说明：查找造成80%缺陷的缺陷类型。在上例中，15种缺陷类型中的4种占总缺陷数量的66%，剩余35%的缺陷分别由其余的11种类型的缺陷产生。查找栏高度出现较大差异的位置。如果次品数量之间存在很小的差异，那么，就不能缩小您项目的重点范围。（尝试换一种方式考虑问题，即，考虑财务上的影响，而不是缺陷的数量。）Pareto图形离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第5页!问题:降低客户培训服务电话的比例(百分比)。处理离散的响应变量时，您想知道的是缺陷比例如何随潜在X变量的变化而变化。注释:n

是样本容量k

是样本的缺陷数量p=k/n是样本中的缺陷比例p

总体的缺陷比例(未知)>离散数据的指引图离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第6页!p+z*p(1-p)/n>>>

z*p(1-p)*>>(p1-p2)+1

1n1n2+2(卡方)精确二项式检验Poisson置信区间正态泊松(Poisson)近似法 近似法大n(样本容量)p不接近0或1np>10和n(1-p)>10大n(样本容量)比例较小(p<0.10)>>下表总结了我们将在这一部分使用的方法。Z值得自正态分布表，取决于所要求的置信度。离散数据分析的统计方法1个比例比较2个比例多于2个比例(及双向表格)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第7页!另外，我们将使用以下重要的Z-值(来自正态表):-1.6451.64590%5%5% 双边 单边 Z 置信度 置信度1.282 80% 90% 1.645 90% 95% 1.960 95% 97.5%2.326 98% 99% 2.576 99% 99.5%正态分布值离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第8页!假设我们希望上页的置信区间为+.010,而不是+.020，我们需要多大的样本容量？激发想法离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第9页!GE商品质量举例:服务质量某厂商提供与GE相同的服务，其客户不满意的比例比GE的要高。该厂商声称造成这种现象的原因是样本容量太小，而并不承认是由于自己的服务质量低于GE。确定对该厂商的服务不满意的客户比例是否显著地高于GE，或者说，分析这种差异是否是由于偶然因素产生的。缺陷数量 k1=3281k2=48k1+k2=___样本容量 n1=36054n2=214n1+n2=___缺陷比例 p1=k1/n1p2=k2/n2p=(k1+k2) =___ =___(n1+n2) =___

GE(1)其它提供商(2)总计>>>比较2个比例

(差异的取值范围是什么)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第10页!例:延迟付款的供应商比例

n=42个样本(被审计的发票数量) k=1个缺陷(延迟付款)缺陷比例的最可能估算值是：

p=k/n=1/42=.024,或2.4%在缺陷率很低的情况下，正态近似是不准确的。使用Poisson近似法计算一个比例的置信区间。^Poisson近似法:1个比例

(大n,缺陷次数少)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第11页!假设您抽取10倍多的样本，发现10倍多的缺陷。现在的置信区间是：

下限=6.169/420=.0147or1.47%

上限=16.96/420=.0404or4.04%比较两个置信区间：

最可 90%2-边样本 故障 能的 置信容量(n)

数量(k) (k/n)

估算值 区间42 1 2.4% (.85,11.3)420 10 2.4% (1.4,4.04)样本容量的增加导致新的置信区间(1.4%,4.04%)比原来的小得多。较大样本容量的影响离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第12页!例:涂漆表层的黑斑涂漆部门希望通过变更油漆供应商，来减少由于黑斑导致的缺陷数量。确定是否有足够的证据证明，在置信度为95％的情况下，供应商1比供应商2生产的次品少（单边检验）。由于涉及到的是大样本容量、小缺陷次数的两个比例之间的比较，我们需要使用“精确二项式”方法。此方法请详见附录。精确二项式检验：比较2个小比例

（大n,失败次数很少）缺陷数量 k1=3 k2=10样本容量 n1=100 n2=100缺陷比例 p1=k1/n1 p2=k2/n2 p1=.03 p2=.1 供应商1供应商2>>>>离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第13页!>Stat>BasicStatistics>2Proportionsp2p1两个样本的检验和置信区间样本XN样本p1482140.22429923281360540.091002p(1)-p(2)估值:0.133297p(1)-p(2)的95%CI:(0.0773320,0.189261)检验p(1)-p(2)=0(或0):Z=4.67P-值=0.000用Minitab计算比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第14页!拟合好坏检验(多比例的互等性):Ho

:p1=p2=p3=

...=pn

Ha

:

至少一个等式不相等 (此方法可详见附录)

拒绝准则：当p.05时，无法拒绝Ho;当p<.05时，接受Ha比较2

的计算值和表中的临界值。用于双向表格的卡方等式:Ho

:

独立 (总体间无关系)Ha

:

非独立 (总体间有关系) 缺陷类型班次 1 2 3 4 总计

1 15 21 45 13 942 26 31 34 5 963 33 17 49 20 119卡方检验...离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第15页!*如果预期频率小于5，那么计算得出的卡方值将随fe的改变而发生显著的变化。此时计算值是不太可靠的，需要小心处理。Ho

:

独立 (总体间无关系)Ha

:

非独立 (总体间有关系)

拒绝准则：当p.05时，无法拒绝Ho;当p<.05时，接受Ha比较2

的计算值和表中的临界值。双向表的卡方等式:2f其中:f0=观测频率fe=预期频率r=行数c=列数g=组数=r*c自由度=(r-1)*(c-1)所有fe应>＝5*=(fo-f)eej=1g2卡方检验...离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第16页!Graph>Plot在显示框中填写数据将其绘图!离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第17页!Stat>Tables>CrossTabulation列联表离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第18页!卡方分布(r-1)(c-1)=df（自由度）其中r=行数 c=栏数离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第19页!将数据制图，并加以说明计算自由度运行交叉制表得出结论分析步骤:离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第20页!下图显示何时使用正态法、何时使用Poisson法。合理方法的选择取决于样本容量和缺陷比例。注：使用卡方检验法比较两个以上的比例，或具有2个变量的情况。大样本容量缺陷比例不过小也不过大[np>10和n(1-p)>10]使用正态近似法p=10/np=.10UsePoissonApproximation0n=20501001502002501.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0比例样本容量使用Poisson近似法p=1-10/n收集更多的数据，或采用精确二项式方法离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第21页!关键概念-第6部分离散数据的置信区间和假设检验使用Pareto图形确定哪种类型的缺陷出现的频率最高，最应加以重视。对于那些不接近0.0或1.0的比例，可以使用正态近似法计算1个样本和2个样本差值的置信区间和假设检验。对于较小的比例（p<.10)，可以使用Poisson近似表或精确二项式方法计算1个样本的置信区间和2个样本的假设检验。如果你具有一个双向表，首先将数据制图并寻找其间的关系，然后，运用显著性的卡方检验确定所观察到的差异是否是偶然产生。离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第22页!其它离散工具1.属性数据电子表格(AttributeDataSpreedsheet)

(小心使用小比例的样本容量计算)计算比例的置信区间

路径:AP1FS01\users\pcmon\6_sigma\m2\library\attribut.xls2.后勤回归（LogisticsRegression)因变量为离散变量时的回归分析

路径:(InMinitab)Stat>Regression>BinaryLogisticRegression3.判别分析(DiscriminanteAnalysis)根据独立变量(X‘s)将观测值(Y)分类到两个或多个组中。

路径:(InMinitab)Stat>Multivariate>DiscriminateAnalysis4.分类和回归树(CART) -ClassificationandRegressionTrees) 根据独立变量(X‘s)将观测值(Y)分类到两个或多个组中。

参考资料:Breiman,Friedman,Olshen,Stone,Classificationand

RegressionTrees,Chapman&Hall,1984.5.数据采集(DataMining) 根据独立变量(X‘s)将观测值(Y)分类到两个或多个组中。参考资料:

参见SteveDelaney,I.T.

离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第23页!精确二项式检验：比较2个小比例（大n,小缺陷次数）例:涂漆表面的黑斑涂漆部门希望通过变更油漆供应商，来减少由于黑斑导致的缺陷数量。确定是否有足够的证据证明，在置信度为95％的情况下，供应商1比供应商2生产的次品少（单边检验）。当缺陷比例较低时，使用“精确二项式”方法对两个工序中的缺陷比例进行比较。缺陷数量 k1=3k2=10k1+k2=___样本容量 n1=100n2=100n1+n2=___缺陷比例 p1=k1/n1p2=k2/n2p=(k1+k2) =___ =___(n1+n2) =____供应商1供应商2总计>>>离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第24页!精确二项式检验：比较2个小比例（大n,小缺陷次数）我们希望确定以3/10划分（相对于6.5/6.5）是否具有统计显著性每个小组的数量将以“二项式”概率分布使用Minitab来计算3/10或更高的比例划分偶然发生的概率，零假设（p=.50）是否为真？重新启动Minitab给C1取名“缺陷数量”，并输入0，1，2，3，…,12,13产生一个累积概率：Calc>ProbabilityDistributions>Binomial离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第25页!拟合好坏检验举例(多比例互等性)

有90只老鼠，一个接一个地经过下降通道进入三扇门中的一扇。我们想检验假设：老鼠对其中的任何一扇门没有偏好。 Ho:p1=p2=p3=1/3假设每只老鼠经过下降通道一次，观测所得数据如下： n1=23,n2=36,以及n3=31.每个门道所观察的预期频数应该相等，预期频率=90×(1/3)=30=.05DF=2(k-1)2table=5.991

门

1 2 3观测值 23 36 31预期值 30 30 302calc=(23-30)2+(36-30)2+(31-30)2=2.87 303030由于2.87小于5.991，所以，我们不能拒绝H0。从而得出结论：没有证据显示老鼠对其中的任何一扇门具有偏好。Ho:p1=p2=p3Ha:至少有1个等式不成立2

检验统计值(近似地)服从自由度为(k-1)的2分布，From:MathematicalStatisticswithApplications,3rdEdition-Mendenhall,Scheaffer,Wackerly离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第26页!Stat>Tables>CrossTabulation离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第27页!OthersNewAcctSetupPersonalAddressBookNotResolvedServerSpaceNotExchangeInstallationGeneralInquiryLockup/PerformancePasswordResetCustomAddressBug5318181921293254751071289.63.23.23.43.85.25.89.713.519.323.1100.090.487.283.980.576.771.565.756.042.423.15004003002001000100806040200DefectCountPercentCum%PercentCountExchangeHelpDeskCalls-FW36,FW38,FW39累计缺陷%Pareto图形左边显示最大频数的缺陷，右边显示较小频数的缺陷。Pareto图形离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第28页!151050DayCount151050EveningCount151050NightCount151050WeekendCountOtherSmudgePeelScratchFinishDefects可以使用对话设置将原始数据对几种不同的因数进行分析。在图形中保留缺陷的常规顺序。考虑累积缺陷线的高度，它表示特定因素总缺陷数量。在这种情况下，缺陷大多发生在“夜间”。在被分析的因素（周期）之间，查找缺陷水平的差异。在这本例中，傍晚和周末很少产生划痕。原始数据的Pareto图表离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第29页!正态泊松(Poisson)近似法 近似法1个比例比较2个比例多于2个比例(及双向表格)大n(样本容量)p不太

接近0或1np>10和n(1-p)>10大n(样本容量)比例较小(p<0.10)下表总结了我们在本部分中所使用的方法。(置信区间和假设检验)离散数据分析的类型离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第30页!下图显示何时使用正态法、何时使用泊松(Poisson)法。合理方法的选择取决于样本容量和缺陷比例。注：使用卡方检验法比较两个以上的比例，或2个X变量。0n=2050100150200250使用Poisson近似法大样本容量比率不是过小或过大[np>10和n(1-p)>10]使用正态近似法p=10/np=.10获得更多的数据，

或使用精确二项式方法1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0比例样本容量p=1-10/n离散数据指引图离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第31页!(大n,np>10,n(1-p)>10)例:保险索赔的精度不准确比例最可能的估计值是：p=缺陷数量/样本容量=k/n=600/2000=.30或30%在总共80,000个记录中，不准确比例置信度为95%的双边置信区间为：解释：(28%,32%)是在整个80,000个记录这个总体中缺陷（不准确）比例的取值范围。80,000 保险数据库中的记录2,000 为分析数据准确度而抽样的样本记录（n）1,400 （70%）是准确的600 （30%）是不准确的（缺陷数量，k）

p+z*p(1-p)/n.300+1.96*.3(1-.3)/2000.300+.020(.280,.320)or28%to32%>>>===>正态近似法:1个比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第32页!(大n,np>10,n(1-p)>10)课堂练习:抛币掷币50次。记录头面在上的次数。计算头面在上的比例的90%(双边)置信区间。p是什么？应使用什么Z?置信区间是多少?p=.50是否位于置信区间内?>正态近似法:单比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第33页!GE商品质量举例:服务质量缺陷数量 k1=3281k2=48样本容量 n1=36054n2=214缺陷比例 p1=k1/n1p2=k2/n2

=.091=.224

GE(1)其它供应商(2)>>计算置信区间：

1.96*

z*(p1-p2)+>>==.133+.056=(.077,.189)(7.7%,18.9%)(.224-.091)+.091(1-.091).224(1-.224)

36054214+p1(1-p1)p2(1-p2)

n1n2+解释:

最可能的估计是GE客户的满意率比另一厂商的高出13%。我们有95%的把握认为，对GE的服务满意的客户比例比对另一厂商的要高出8%-19%。该区间不包括0%,因此我们有95%以上的把握认为，差异的产生是确实存在的，而不是偶然出现的。比较2个比例

(差异的取值范围是什么)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第34页!要计算缺限比例的90%、双边置信区间：1.从表中查找1个缺陷的上限和下限值(.355和4.744).2.除以样本容量：

下限=.355/42=.0085,或.85%

上限=4.744/42=.113,或11.3%延迟付款的供应商的比例取值范围是(.85%,11.3%)。Poisson近似法:1个比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第35页!课堂练习:现场检验发动机故障一年中现场检验300台发动机，发现两个缺陷。计算这个总体中存在缺陷的发动机比例95%的双边置信区间。n是什么?K是什么?表格中的缺陷下限是多少？缺陷上限是多少？Poisson近似法:1个比例

(大n,失败次数较少)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第36页!>Stat>BasicStatistics>1Proportion成功次数在此例中指缺陷。输入一个比例的检验和置信区间p=0.5与

p0.5对比检验精确样本XN样本p95.0%CIP-值160020000.300000(0.279972,0.320616)0.000用Minitab计算比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第37页!>Stat>BasicStatistics>1Proportion一个比例的检验与置信区间p=0.5与p0.5的对比检验精确样本XN样本p90.0%CIP-值1104200.023810(0.012973,0.040052)0.000Minitab的区间与我们原有的区间(.014,.404)稍有不同,这是因为Minitab使用了不同的近似方法。用Minitab计算比例离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第38页!举例:冰箱缺陷

我们希望依据以下变量对某一厂家生产的冰箱的缺陷进行分类：(1)缺陷类型(2)生产班次3个班次共有

n=309个冰箱缺陷记录。这些缺陷各属4类之一(1,2,3和4)。检验零假设Ho:缺陷类型与班次无关，而备择假设Ha:

缺陷类型与班次有关，置信度取95%。缺陷‘1’:凹痕缺陷‘2’:密封系统泄漏缺陷‘3’:制冰机开关故障缺陷‘4’:部件遗失缺陷类型班次 1 2 3 4 总计

1 15 21 45 13 942 26 31 34 5 963 33 17 49 20 119卡方检验...离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第39页!假设

Ho

:三个班次产生的四类缺陷比例相同Ha

:三个班次产生的四类缺陷比例不同拒绝标准是什么？

如果计算值：2=(fo-fe)2/fe大于自由度为(r-1)*(c-1)=(3-1)*(4-1)=6的表格中的临界值，则拒绝零假设。同样地，如果p值小于.05，则拒绝零假设。按下列格式在Minitab中输入数据：现在已有了数据，步该怎样做？列联表(ContingencyTables)离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第40页!说明：

在缺陷类型与班次之间似乎存在某种依赖关系：

缺陷2在班次2中比预期值大。

缺陷2在班次3中比预期值小。

缺陷4在班次2中比预期值小。将其绘图!离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第41页!fo,观测频率df=(3-1)(4-1)“StResid”（标准残差）大的单元不能与其它单元的型式不一致，对总卡方值产生很大的影响。标准残差标准残差的平方是该单元的2值。

.422=(13-11.56)2/11.562=(fo-fe)2 fe 与下页表格中的临界值比较fe,预期频率fe=(总行数)x(总栏数)

总计fe=94x38

=11.56309列联表离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第42页!你的任务是减少医院设备的服务呼叫次数。有5个医院都在使用3种型号相同的设备：MR(1),CT(2),和X-Ray(3)。现在设法确定在医院和需要服务的设备类型之间是否有什么关联。在Minitab中输入以下数据：

课堂练习:服务电话减少列联表离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第43页!p+z*p(1-p)/n>>>

z*p(1-p)*>>(p1-p2)+1

1n1n2+2(Chi-square)精确二项式

检验Poisson置信区间正态泊松（Poisson）近似法 近似法单比例比较2个比例超过2个比例(及双向表)大n(样本容量)p不太接近0或1np>10及n(1-p)>10大n(样本容量)较小的缺陷比例(p<0.10)>>下表总结了本部分中所用的方法。Z是为满足置信度要求而从正态分布中产生的值。离散数据分析的统计方法离散数据的置信区间和假设检验共51页，您现在浏览的是第44页!棕色和红色为可接受黄色、橙色、蓝色和绿色为缺陷样本1是一包10盎司装的普通M&M样本2是一包10盎司装的花生M&M1.分别画出以上两个样本的4种类型缺陷的Pareto图形（参见第4至7页）。2. 计算两个样本缺陷比例间差异置信度为99%的置信区间。先用手算（16页），然后，再借助minitab（24页）进行计算。3. 运用卡方检验检查两个样本的所