北师大版选择性必修第一册2.4.1直线与圆锥曲线的交点作业

§4直线与圆锥曲线的位置关系4.1直线与圆锥曲线的交点选题明细表知识点、方法题号直线与椭圆的交点1,2,11,12直线与双曲线的交点5,6,7,8,10直线与抛物线的交点3,4,9基础巩固1.已知集合A={(x,y)x29A.1 B.2 C.3 D.4解析:由题,联立方程组x消去y得13x2-36=0,则Δ=4×13×36>0,即椭圆x29+选B.2.已知直线l:x+y-3=0,椭圆x24+yA.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交解析:由x+y-3=0,化简得5x2-24x+32=0.因为Δ=242-4×5×32=-64<0,所以方程无解,所以直线与椭圆的位置关系是相离.故选C.3.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是(D)A.0 B.1 C.2 D.3解析:易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外,过点(0,1)可作抛物线的两条切线,过点(0,1)与抛物线的对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点,共有3条.故选D.4.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”,是充分条件;而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”,不是必要条件,如图所示.直线和抛物线的对称轴平行时只有一个公共点,但不相切.故选A.5.直线y=2x+m与双曲线y28-x2解析:双曲线y28-x2答案:(-∞,0)∪(0,+∞)6.平面上一台机器人在运行中始终保持到点P(-2,0)的距离比到点Q(2,0)的距离大2,若机器人接触不到过点M(3,3)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的右支,由a=1,c=2可得b2=3,所以机器人的运动轨迹方程为x2-y2直线方程为y-3=k(x-3),即y=k(x-3)+3,联立方程组y得(3-k2)x2+(23k2-6k)x+63k-3k2-12=0,当3-k2=0时,若k=3,则此时直线y=k(x-3)+3=3x恰好是双曲线的一条渐近线,符合题意;若k=-3,显然不符合题意.当3-k2≠0时,由Δ<0得(23k2-6k)2-4(3-k解得3<k<23.综上可得,k的取值范围是[3,23).答案:[3,23)能力提升7.过点P(4,3)与双曲线x216-A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:因为双曲线的方程为x216-y29=1,所以a=4,b=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±当过点P(4,3)的直线与直线y=-34所以这样的直线有2条.故选B.8.(多选题)(2021·江苏苏州高二期末)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y24=1与直线y=kx+m(k≠A.2 B.6 C.22 D.3解析:由x2整理得(4-k2)x2-2kmx-m2-4=0.因为双曲线x2-y24=1与直线y=kx+m(k≠所以只需Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4)=0,整理得m2+4-k2=0,即m2+4=k2.因为k≠±2,所以m≠0.因此动点P(k,m)与定点Q(0,2)的距离为|PQ|=k2+=2m2-4m当且仅当m=1时,取得最小值6.B,C,D选项都满足|PQ|≥6,A选项不满足.故选BCD.9.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4,则直线AB的斜率为解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B为曲线C:y=x24则y1-y2=x124-x又A与B的横坐标之和为4,即x1+x2=4,因此直线AB的斜率为kAB=y1-y答案:110.(2021·江苏省镇江第一中学高二期中)已知双曲线C的方程为x24-y(1)求与双曲线C有公共渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程;(2)当过点(2,1)的直线l与双曲线C有两个公共点时,求直线l斜率的取值范围.解:(1)由已知可设双曲线方程为x24-y2=λ(λ≠0),又双曲线过点(2,2),即224-22=λ,解得λ=-3,故双曲线方程为x24-y(2)由题意知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立y=kx-2k+1,x2则k≠±12,Δ=(16k2-8k)2-4(1-4k2)(-16k2解得k<12且k≠-1综上所述直线l斜率的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,111.(2021·天津耀华中学高二期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为63,点T(1)求椭圆的方程;(2)已知直线y=2x+m与椭圆交于A,B两点,点P的坐标为(22,0),且PA→·PB解:(1)因为椭圆的离心率为e=ca=6所以a2-b2a2=因为点T(22,33)在椭圆上,所以83b解得b2=3,则a2=9,所以椭圆的方程为x29+(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立y=2x+m,x所以Δ=(62m)2-4×7×(3m2-9)>0,即0<m2<21,所以x1+x2=-627m,x1x2=因为PA→·PB所以PA→·PB→=(x1-22,y1)·(x2-22,y2)=3x1x2+(2m-22)(x1+x8+m2=3×3m2-97+(2m-22)×(-62整理得m2+6m+9=0,解得m=-3,满足Δ>0,故m=-3.应用创新12.已知3x12+4y12-12=0,x2+2y2-8=0,记M=A.235 B.45 C.125解析:因为M=(x1-x2)2+(y1则M可视为椭圆3x2+4y2=12上的点P(x1,y1)到直线x+2y-8=0上的点Q(x2,y2)的距离的平方,如图所示.平移直线x+2y-8=0,可得当点P在第一象限且椭圆在点P处的切线与直线x+2y-8=0平行时,切线与直线x+2y-8=0的距离即为|PQ|的最小值.设椭圆在点P处的切线方程为x+2y