几种重要的随机过程

关于几种重要的随机过程第1页，共55页，2023年，2月20日，星期三

定义3.1.1

对任意的正整数n及任意的为独立过程.相互独立,称随机过程随机变量第一节独立过程和独立增量过程一、独立过程第2页，共55页，2023年，2月20日，星期三独立随机过程的有限维分布由一维分布确定注

Ex.1

高斯白噪声实值时间序列的自相关函数为称为离散白噪声(序列).两两不相关序列.第3页，共55页，2023年，2月20日，星期三又若X(n)都服从正态分布,称是高斯白噪声序列.对于n维正态随机变量有相互独立不相关故高斯白噪声序列是独立时间序列.若过程是正态过程,且第4页，共55页，2023年，2月20日，星期三高斯白噪声是典型的随机干扰数学模型,普遍存在于电流的波动,通信设备各部分的波动,电子发射的波动等各种波动现象中.称其为高斯白噪声过程，它是独立过程.如金融、电子工程中常用的线性模型—自回归模型（AR(p)）理想模型要求残差序列εt是(高斯)白噪声.第5页，共55页，2023年，2月20日，星期三第6页，共55页，2023年，2月20日，星期三二、独立增量过程

定义3.1.2

称,T=[0,∞)为独立增量过程,若对,及t0=0<t1<t2<…<tn,增量序列

X(t1)－X(0),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn-1)相互独立.0t1t2…tn－1tn第7页，共55页，2023年，2月20日，星期三注不失一般性,设X(0)=0或P{X(0)=0}=1.有

X(t1),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn－1)相互独立.

定义3.1.3

若独立增量过程{X(t),t≥0}对及h>0,X(t+h)

－X(s+h)与X(t)

－X(s)有相同的分布函数,称{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.0tss+ht+h第8页，共55页，2023年，2月20日，星期三

增量的分布仅与τ有关,与起始点t无关,称{X(t),t≥0}的增量具有平稳性(齐性).注

Ex.2若{X(n),n∈N+}是独立时间序列,令则{Y(n),n∈N+}是独立增量过程.又若X(n),n=1,2,…

相互独立同分布,则{Y(n),n∈N+}是平稳独立增量过程.第9页，共55页，2023年，2月20日，星期三证

若n1<n2<…<nm{X(n),n∈N+}相互独立各增量相互独立.第10页，共55页，2023年，2月20日，星期三

性质3.1.1{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程,X(0)=0,则1）均值函数m(t)=mt(m为常数);2）方差函数D(t)=σ2t(σ为常数);3）协方差函数C(s,t)=σ2min(s,t).分析因均值函数和方差函数满足第11页，共55页，2023年，2月20日，星期三命题：若可证得1)和2).则对任意实数t,有证3)X(t)－

X(s)与X(s)相互独立.第12页，共55页，2023年，2月20日，星期三一般,C(s,t)=σ2min(s,t).

性质3.1.2

独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定.

分析

对于独立增量过程{X(t),t≥0},任取的t1<t2<…<tn∈T,Y1=X(t1),Y2=X(t2)－X(t1),…,Yn=X(tn)－X(tn-1)相互独立性,利用特征函数法可证明结论.第13页，共55页，2023年，2月20日，星期三思考题：1.白噪声过程是否一定是独立过程？2.独立过程是否是独立增量过程？反之？第14页，共55页，2023年，2月20日，星期三1．定义为n维正态分布，其密度函数为也称高斯过程。则称第二节正态过程第15页，共55页，2023年，2月20日，星期三其中且C为协方差矩阵，第16页，共55页，2023年，2月20日，星期三注由正态过程的n维概率密度表达式知，正态过程的统计特性，由它的均值函数及自协方差函数完全确定。第17页，共55页，2023年，2月20日，星期三Ex.3证可得注逆命题也成立。第18页，共55页，2023年，2月20日，星期三一、维纳过程的数学模型及应用维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运动规律时建立的随机游动数学模型.第三节维纳过程第19页，共55页，2023年，2月20日，星期三维纳过程应用广泛：电路理论、通信和控制、生物、经济管理等.维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融商品价格的研究。第20页，共55页，2023年，2月20日，星期三二、定义则称或布朗运动过程。称为标准维纳过程。特别第21页，共55页，2023年，2月20日，星期三三、维纳过程的分布1.一维分布：W(t)～N(0,σ2t)；2.

增量分布：W(t)－W(s)～N(0,σ2|t－s|);设t＞s

，因W(0)=0,且W(t)是平稳独立增量过程，故有相同分布N(0,σ2(t－s)).第22页，共55页，2023年，2月20日，星期三3.维纳过程是正态过程.证设维纳过程{W(t),t≥0}的参数是σ2，相互独立，且有第23页，共55页，2023年，2月20日，星期三正态随机向量的线性变换服从正态分布。四、维纳过程的数字特征1.E[W(t)]=0;D[W(t)]=s2t2.C(s,t)=R(s,t)=σ2min(s,t)维纳过程是平稳独立增量过程第24页，共55页，2023年，2月20日，星期三下证同理故第25页，共55页，2023年，2月20日，星期三3．证由于增量是相互独立的正态变量。所以第26页，共55页，2023年，2月20日，星期三第27页，共55页，2023年，2月20日，星期三4．具有马氏性证因此所以所以维纳过程是马氏过程。第28页，共55页，2023年，2月20日，星期三例4试求的协方差函数。且解第29页，共55页，2023年，2月20日，星期三可得所以第30页，共55页，2023年，2月20日，星期三一、计数过程与泊松过程

在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如：

盖格记数器上的粒子流；电话交换机上的呼唤流；计算机网络上的（图象，声音）流；编码（密码）中的误码流；第四节泊松过程第31页，共55页，2023年，2月20日，星期三交通中事故流；细胞中染色体的交换次数，…均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,…

定义3.4.1随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程(CountingProcess),如果N(t)表示在(0,t)内事件A出现的总次数.计数过程应满足：(1)

N(t)≥0;第32页，共55页，2023年，2月20日，星期三(2)N(t)取非负整数值；(3)如果s<t，则N(s)≤N(t)；(4)对于s<t,N(t)－N(s)表示时间间隔(s,t)内事件出现的次数.)s)tPoisson过程是一类很重要的计数过程.第33页，共55页，2023年，2月20日，星期三Poisson过程数学模型：

电话呼叫过程

设N(t)为[0,t)时间内到达的呼叫次数,其状态空间为E={0，1，2，…}此过程有如下特点：1)

零初值性

N(0

)=0;2)

独立增量性

任意两个不相重叠的时间间隔内到达的呼叫次数相互独立;第34页，共55页，2023年，2月20日，星期三3)

齐次性在(s,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔长度t－s有关，而与起始时间s无关;

4）普通性在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有其中λ＞0.第35页，共55页，2023年，2月20日，星期三

定义3.4.2设计数过程{N(t),t≥0}满足：(1)N(0)=0;(2)是平稳独立增量过程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ>0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).

称{N(t),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次泊松过程.第36页，共55页，2023年，2月20日，星期三

EX.1

在数字通信中误码率λ是重要指标，设{N(t),t≥0}为时间段[0,t)内发生的误码次数,{N(t),t≥0}是计数过程,而且满足(1)初始时刻不出现误码是必然的,故N(0)=0;(2)在互不相交的区间出现的误码数互不影响,故N(t)独立增量过程.

在系统稳定运行的条件下,在相同长度区间内出现k个误码概率应相同,故可认为N(t)是增量平稳过程.第37页，共55页，2023年，2月20日，星期三{N(t),t≥0}是平稳独立增量过程；(3)认为Δt时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的,即有P{N(Dt)=1}=λDt

+o(Dt),λ>0；(4)假定对足够小的Δt时间内,出现两个以上误码的概率是关于Δt的高阶无穷小也是合理的,有P{N(Dt)≥2}=o(Dt).第38页，共55页，2023年，2月20日，星期三

定理3.4.1齐次泊松过程{N(t),t≥0}在时间间隔(t0,t0+t)内事件出现n次的概率为终上所述,可用Poisson过程数学模型描述通信系统中误码计数问题.

可认为

{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松计数过程.第39页，共55页，2023年，2月20日，星期三定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：定义3.4.2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件：(1)

N(0)=0；(3)对一切0≤s<t,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即(2)

N(t)是独立增量过程；第40页，共55页，2023年，2月20日，星期三注有问题若N(t)的一维分布是泊松分布,能否推出第(3)条成立?

第41页，共55页，2023年，2月20日，星期三

EX.2

设{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程,事件A在(0,τ)时间区间内出现n次，试求:P{N(s)=kN(τ)=n},0<k<n,0<s<τ第42页，共55页，2023年，2月20日，星期三二、齐次泊松过程的有关结论1.数字特征N(t)～P(λt).均值函数方差函数第43页，共55页，2023年，2月20日，星期三称λ为事件的到达率λ是单位时间内事件出现的平均次数.协方差函数

C(s,t)=λmin(s,t)，相关函数

R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.证因泊松过程{N(t),t≥0)是平稳独立增量过程，不妨设t>s>0

R(s,t)=E{N(t)N(s)}=E{N(s)[N(t)－N(s)+N(s)]}第44页，共55页，2023年，2月20日，星期三=E{N(s)[N(t)－N(s)]}+E[N2(s)]

=E{N(s)}E{N(t)－N(s)}+E[N2(s)]C(s,t)=λmin(s,t)R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.一般地有第45页，共55页，2023年，2月20日，星期三

定理：泊松过程的特征函数为证明：第46页，共55页，2023年，2月20日，星期三1)令Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,求Y(t)的均值函数和相关函数.2)证明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是强度为λ1+λ2的泊松过程.3)证明Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,不是泊松过程.

EX.3

设N1(t)和N2(t)分别是强度为λ1和λ2的相互独立的泊松过程,第47页，共55页，2023年，2月20日，星期三第48页，共55页，2023年，2月20日，星期三2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,3)X(t)=N1(t)－N2(t)的特征函数为独立和的特征函数由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知X(t)不是泊松过程.服从参数为λ1+λ2的泊松分布.自证问题:如何证明?第49页，共55页，2023年，2月20日，星期三2.时间间隔与等待时间的分布tW1W2W3W4…N(t)轨道是跃度为1的阶梯函数

用Tn表示事件A第n－1次出现与第n次出现的时间间隔.第50页，共55页，2023年，2月20日，星期三Wn为事件A第n次出现的等待时间(到达时间).

定理3.4.2设{Tn,n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的时间间隔序列，则{Tn,n≥1}相互独立同服从指数分布，且E{T}=1/λ.证(1)因{T1>t}={(0,t)内事件A不出现}P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt第51页，共55页，2023年，2月20日，星期三即T1服从均值为1╱λ的指数分布.(2)由泊松过程的平稳独立增量性,有

P{T