2020-2021学年高中数学-第二章-推理与证明-2.1.2-演绎推理跟踪训练（含解析）新人教A版

PAGE演绎推理[A组学业达标]1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是()A．矩形都是四边形B．四边形的对角线都相等C．矩形都是对角线相等的四边形D．对角线都相等的四边形是矩形解析：该推理是省略了大前提的演绎推理，用“三段论”形式推导一个结论是否成立时，大前提是结论成立的依据．因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形．答案：C2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了“三段论”，但大前提错误B．使用了“三段论”，但小前提错误C．使用了归纳推理D．使用了类比推理解析：大前提是全称命题，而小前提是特称命题．因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式．有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误．答案：A3．设n∈N*，则＝()解析：因为所以答案：A4．下列推理是演绎推理的是()A．由a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)，因为a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(1,4)，故有an＝eq\f(1,n)(n∈N*)B．科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇C．妲己惑纣王，商灭；西施迷吴王，吴灭；杨贵妃迷唐玄宗，致安史之乱，故曰：“红颜祸水也．”D．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中，刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”解析：A，C中的推理均是从特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；B中，科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇，是由特殊到特殊的推理，是类比推理，属于合情推理；D为“三段论”形式，是从一般到特殊的推理，是一个复合“三段论”，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用多次“三段论”，属于演绎推理．答案：D5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈eq\r(3,\f(16,3)V)，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈eq\r(3,\f(60,31)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(15,8)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)解析：由V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3，解得d＝eq\r(3,\f(6V,π))，①①代入选项A得π≈eq\f(31×6,60)＝3.1；①代入选项B得π≈eq\f(6,2)＝3；①代入选项C得π≈eq\f(6×8,15)＝3.2；①代入选项D得π≈eq\f(11×6,21)≈3.142857.由于选项D中的值最接近π的真实值，故选D.答案：D6．在求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r(a)有意义时，a≥0；小前提是eq\r(log2x－2)有意义；结论是________________________________________________________________________．解析：根据演绎推理求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，若大前提是eq\r(a)有意义时a≥0，小前提是eq\r(log2x－2)有意义，可知：结论应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥07．已知在三边不等的三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，若想得到A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件是a2________b2＋c2.(填“＞”“＜”“＝”)解析：不等边△ABC中，若∠A为钝角，则由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，∴b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案：＞8．讨论函数g(x)＝－eq\f(x3,3)＋2x的单调性．解析：对函数g(x)求导得g′(x)＝－x2＋2，如果f′(x)在指定区间上为正，那么f(x)在该区间上为增函数；如果f′(x)在指定区间上为负，那么f(x)在该区间上为减函数，……大前提当x∈(－eq\r(2)，eq\r(2))时，g′(x)＞0；当x∈(－∞，－eq\r(2))或x∈(eq\r(2)，＋∞)时，g′(x)＜0，………小前提所以g(x)在(－eq\r(2)，eq\r(2))上为增函数，在(－∞，－eq\r(2))，(eq\r(2)，＋∞)上为减函数．……9．已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明：因为三角形的中位线平行于底边，……大前提点E，F分别是AB，AD的中点，……小前提所以EF∥BD.……结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，……大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，……小前提所以EF∥平面BCD.……结论[B组能力提升]10．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是()A．甲、乙 B．乙、丁C．甲、丙 D．丙、丁解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖．答案：B11．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A，D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒职一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.答案：B12．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．解析：∵不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为∅.∴a＝0时，2＜0满足题意；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ≤0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,4a2－8a≤0.))解得0＜a≤2.综上，a的取值范围是0≤a≤2.答案：[0,2]13．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________．(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部的格点有1个，边界上的格点有6个，S四边形DEFG＝3.故所求的S＝3，N＝1，L＝6.(2)由待定系数法，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＝a·0＋b·3＋c，,1＝a·0＋b·4＋c，,3＝a·1＋b·6＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,2)，,c＝－1，))当N＝71，L＝18时，S＝1×71＋eq\f(1,2)×18－1＝79.答案：(1)3,1,6(2)7914．如图，在△ABC中，若CE是∠ACB的平分线，则eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE)，其证明过程为：作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F，因为CE是∠ACB的平分线，所以EG＝EH.又eq\f(AC,BC)＝eq\f(AC,BC)·eq\f(EG,EH)＝eq\f(S△AEC,S△BEC)，eq\f(AE,BE)＝eq\f(AE·CF,BE·CF)＝eq\f(S△AEC,S△BEC)，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).(1)把上面的结论推广到空间中：在四面体ABCD中(如图)，平面CDE是二面角A­CD­B的角平分面，类比三角形的结论，写出得到的相应空间中的结论；(2)证明(1)中得出的结论．解析：(1)结论：eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(AE,BE)或eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(S△AED,S△BED)或eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(S△AEC,S△BEC).(2)证明：设点E到平面ACD，平面BCD的距离分别是h1，h2，则由平面CDE平分二面角A­CD­B，知h1＝h2.又eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(h1·S△ACD,h2·S△BCD)＝eq\f(VA­CDE,VB­CDE)，eq\f(AE,BE)＝eq\f(S△AED,S△BED)＝eq\f(VC­AED,VC­BED)＝eq\f(VA­CDE,VB­CDE)，所以eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(AE,BE)，eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(S△AED,S△BED).同理可证eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(S△AEC,S△BEC)，问题得证．15．观察52－1＝24,72－1＝48,112－1＝120,132－1＝168，….继续试验下去，你能作出什么猜想？能证明你的猜想吗？试试看．解析：继续试验下去可得172－1＝288＝12×24,192－1＝360＝15×24,232－1＝528＝22×24，…猜想：不小于5的质数的平方与1的差是24的倍数