3-2-4-2-高中数学资料

1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2 B．3C．6 D．9[解析]设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|＝x0＋eq\f(p,2)，∵点A到y轴的距离为9，∴x0＝9，∴9＋eq\f(p,2)＝12，∴p＝6.故选C.[答案]C2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)[解析]如图，∵|PQ|＝|OF|＝c，∴PQ过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，0)).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(c,2))).又∵|OP|＝a，∴a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝eq\f(c2,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故选A.[答案]A3．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝2a－2x由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x在△BF1F2|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2在△AF1F2|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2因为∠BF2F1＋∠AF2F所以由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.[答案]B4．(2020·北京卷)已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________．[解析]由双曲线的方程eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得a2＝6，b2＝3，故c2＝9，∴C的右焦点的坐标为(3,0)，易知渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，∴双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线eq\f(\r(2),2)x－y＝0的距离d＝eq\f(\f(3\r(2),2),\r(\f(1,2)＋1))＝eq\r(3).[答案](3,0)eq\r(3)5．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．[解析]点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，点A的坐标为(a,0)，∵AB的斜率为3，∴eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，即eq\f(c2－a2,ac－a)＝eq\f(c＋a,a)＝e＋1＝3，