3-2-3-3-高中数学资料

1.(2020·山东卷)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．[解](1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D为坐标原点，分别以eq\o(DA,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(DP,\s\up15(→))的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz.则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，eq\o(DC,\s\up15(→))＝(0,1,0)，eq\o(PB,\s\up15(→))＝(1,1，－1)．由(1)可设Q(a,0,1)，则eq\o(DQ,\s\up15(→))＝(a,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DQ,\s\up15(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,y＝0.))可取平面QCD的一个法向量n＝(－1,0，a)．所以cos〈n，eq\o(PB,\s\up15(→))〉＝eq\f(n·\o(PB,\s\up15(→)),|n|·|\o(PB,\s\up15(→))|)＝eq\f(－1－a,\r(3)\r(1＋a2)).设PB与平面QCD所成角为θ，则sinθ＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(|a＋1|,\r(1＋a2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(1＋\f(2a,a2＋1)).因为eq\f(\r(3),3)eq\r(1＋\f(2a,a2＋1))≤eq\f(\r(6),3)，当且仅当a＝1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为eq\f(\r(6),3).2．(2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A—EF—A1的正弦值．[解]设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，分别以eq\o(C1D1,\s\up15(→))，eq\o(C1B1,\s\up15(→))，eq\o(C1C,\s\up15(→))的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系C1—xyz.(1)证明：连接C1F，则C1(0,0,0)，A(a，b，c)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(2,3)c))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(EA,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(C1F,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，得eq\o(EA,\s\up15(→))＝eq\o(C1F,\s\up15(→))，因此EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内．(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，eq\o(AE,\s\up15(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(A1E,\s\up15(→))＝(0，－1,2)，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝(－2,0,1)．设n1＝(x，y，z)为平面AEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up15(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y－z＝0，,－2x－2z＝0，))可取平面AEF的一个法向量n1＝(－1，－1,1)．设n2为平面A1EF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1E,\s\up15(→))＝0，,n2·\o(A1F,\s\up15(→))＝0，))同理可取平面A1EF的一个法向量n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，1)).因为cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝－eq\f(\r(7),7)，所以二面角A—EF—A1的正弦值为eq