“20＋21”抢分增分练3-高中数学资料

“20＋21”抢分增分练(三)(时间：35分钟满分：24分)1．(12分)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P，若|PF1|＝5，且3a＝b2.(1)求椭圆E的方程；(2)A，B是椭圆C上位于直线l两侧的两点．若直线AB过点(1，－1)，且∠APF2＝∠BPF2，求直线AB的方程．[规范解答及评分标准](1)由题意知，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝3.∵|PF1|＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，∴a＝4，b2＝3a＝12，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(4分)(2)由(1)可得c＝2.把x＝2代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得y＝3(负值已舍去)．∴点P的坐标为(2,3)．(6分)∵∠APF2＝∠BPF2，∴直线PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA的方程为y－3＝k(x－2)．联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3＝kx－2，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0.∴x1＋2＝eq\f(8k2k－3,3＋4k2).(8分)同理可得直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，x2＋2＝eq\f(－8k－2k－3,3＋4k2)＝eq\f(8k2k＋3,3＋4k2).∴x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2).(10分)kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(kx1－2＋3＋kx2－2－3,x1－x2)＝eq\f(kx1＋x2－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，∴满足条件的直线AB的方程为y＋1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－3＝0.(12分)2．(12分)已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋lnx(m∈R)．(1)当m＝－eq\f(1,2)时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)当x>1时，f(x)<(1－m)x2恒成立，求实数m的取值范围．[规范解答及评分标准](1)由题意得，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．当m＝－eq\f(1,2)时，g(x)＝alnx＋x2，所以g′(x)＝eq\f(a,x)＋2x＝eq\f(2x2＋a,x).①当a＝0时，g(x)＝x2(x>0)无零点．(2分)②当a>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．取x0＝e－eq\f(1,a)，则g(e－eq\f(1,a))＝－1＋(e－eq\f(1,a))2<0.因为g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此时函数g(x)恰有一个零点．(4分)③当a<0时，令g′(x)＝0，解得x＝eq\r(－\f(a,2)).当0<x<eq\r(－\f(a,2))时，g′(x)<0，即g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a,2))))上单调递减；当x>eq\r(－\f(a,2))时，g′(x)>0，即g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))，＋∞))上单调递增．要使函数f(x)有一个零点，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝alneq\r(－\f(a,2))－eq\f(a,2)＝0，解得a＝－2e.综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a＝－2e或a>0.(6分)(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋lnx，则h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－12mx－1,x).根据题意可知，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0恒成立．①若0<m<eq\f(1,2)，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)，＋∞))时，h′(x)>0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)，＋∞))上是增函数，且h(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)))，＋∞))，所以不符合题意．(8分)②若m≥eq\f(1,2)，则当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合题意．(10分)③若m≤0，则当x∈(1，＋∞)时，恒有h