2-6 导数和三角函数交汇解答题-读者版

学习数学领悟数学秒杀数学导数专题6导数和三角函数交汇之解答题第一讲关联最紧密，泰勒帮你办例1.验证下列函数的麦克劳林公式：(1)(2)；例2.写出的麦克劳林公式．秒杀秘籍：泰勒展开式的任意形式例4.（2014•新课标Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；（Ⅲ）已知，估计的近似值（精确到．例5.\o"此年份及地区表示：该试题最新出现所在的试卷年份及地区"\t"/math2/ques/_blank"（2018•新课标Ⅲ）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．秒杀秘籍：泰勒展开式的极值界定法对于任意一个能用泰勒公式在处展开的函数：例6.（2019•浙江五华校级月考）已知函数，若是的一个极小值点，且，则B.C.D.例7.（2019•乌鲁木齐二模）若直线与曲线相切于点，则的值为．秒杀秘籍：泰勒展开式的切线界定例8.（2019•吉安期末）函数在处的切线与直线垂直，则该切线在轴上的截距为．例9.（2019•大连二模）函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为A． B． C． D．例10.（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若时，，求的取值范围．例11．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．例12.（2013•辽宁）已知函数，，当时，求证：；若恒成立，求实数的取值范围．例13.（2008•全国卷Ⅱ）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．例14.（2006•湖南）已知函数，数列满足：，，，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．证明：先用数学归纳证明，，2，3，例15.（2020•淮南一模）已知函数，在区间有极值．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）证明：．例16.（2020•肇庆一模）设函数．（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若对任意的，成立，求的取值范围．例17.（2019•东湖区校级月考）已知函数．（Ⅰ）求函数的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；例18.（2019•路南区校级月考）已知函数，且曲线与直线相切于点，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．例19.（2019•武汉模拟）（1）求证：时，恒成立；（2）当时，，证明不等式恒成立．例20.（2019•义乌市月考）已知函数，且在处切线垂直于轴．（1）求的值；（2）求函数在上的最小值；（3）若恒成立，求满足条件的整数的最大值．（参考数据，例21.（2019•天津期中）已知，．（Ⅰ）若，判断函数在的单调性；（Ⅱ）设，对，，有恒成立，求的最小值．（Ⅲ）证明：，．第二讲三角函数邂逅分而治之根据上一讲我们提到的几个常见函数，等，一般抓住其在的单调性，必要时候进行泰勒展开式的放缩.例22.（2019•河南期末）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的实数，，（其中，都有恒成立求实数的取值范围．例23.（2019•陕西模拟）已知函数，它的导函数为．（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：．例24.（2020•茂名月考）已知函数，，曲线在点处的切线方程为（1）求实数，的值（2）当，证明：例25.(2019•崂山区校级月考）已知函数，．（1）讨论的单调区间（2）若，求证：例26.（2019•龙凤区校级期末）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数第三讲还是参变分离和找点三角函数找点通常在位置进行找点，某些时候需要用到辅助角公式以及之前提到的泰勒展开式进行放缩，甚至可以估算出零点的大致位置.例27.（2020•武汉模拟）（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在上有且仅有一个极大值点，且．例28.（2020•淮北一模）已知函数，，是的导函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若在上可单调递增，求的取值范围；（3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点．例29.（2020•陕西一模）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，且，求证：．例30.（2020•开封一模）已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．例31.（2020•开封一模）已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．例32.（2020•佛山一模）已知函数，．（1）求的最小值；（2）证明：．例33.（2019•荔湾区校级月考）已知函数，．（1）判断函数在区间上零点的个数；（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，，，，证明：；对一切，成立．例34．（2019•天津）设函数，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．例35.（2019•开福区校级月考）已知函数（1）若在上单调递增，求实数的取值花围（2）设，若，恒有成立，求的最小值达标训练1.（2019•河南月考）已知函数在点处的切线方程为，则的值为．2.（2019•小店区月考）函数的图象在处的切线方程为，则的值为A． B． C． D．3.（2018•孝感期末）函数，，若，，则的取值范围为A． B． C． D．4．（2013•浙江）已知为自然对数的底数，设函数，则A．当时，在处取得极小值 B．当时，在处取得极大值 C．当时，在处取得极小值 D．当时，在处取得极大值5．（2019•新余二模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为A． B． C． D．6．（2016•泉州二模）已知函数，若是的一个极大值点，则实数的取值范围为．7.（2019•桂平市期末）函数在处取得极大值，则．8．设函数，是的一个极大值点，求的取值．9.函数，（1）若是的一个极值点，求的值；（2）设直线和将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，若的图象恰好位于其中一个区域，试判断其所在区域并求出对应的的范围．10.（2017•山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．（2017•北京）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．12.（2014•北京）已知函数，.（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值．13.（2012•福建）已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数的解析式；（2）判断函数在内的零点个数，并加以证明．14.（2019•济南期末）已知函数的极大值为，其中为自然对数的底数．（1）求实数的值；（2）若函数，对任意，恒成立．求实数的取值范围；证明：．15.（2019•襄阳期末）已知．（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：当时，．16.（2019•天津期末）已知函数．（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）证明：当时，．17.（2019•山阳县校级月考）已知函数（1）求函数在上的最值：（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围18.（2019•益阳模拟）已知函数；．（1）判断在上的单调性，并说明理由；（2）求的极值；（3）当时，，求实数的取值范围．19.（2019•秦淮区三模）已知函数．（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求的取值范围．20.（2019•北辰区模拟）已知函数，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）当，时，证明：．21.（2019•广东月考）函数，．（1）求函数的极值，并证明，当时，；（2）若，证明：当时，．22.(2019•荔湾区校级月考）已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若存在极小值点与极大值点，求证：．23.（2019•金牛区校级期中）函数，（1）讨论函数在区间上的极值点的个数；（2）已知对任意的，恒成立，求实数的最大值．24.（2019•福州期末）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，．25.（2020•青羊区校级模拟）设函数，，．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当时，求证：．26.（2019•西安月考）已知函数在区间上单调递减．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若函数的图象在原点处的切线也与函数的图象相切，求的值．27.（2019•东湖区校级月考）已知函数．（1）若函数在定义域上为增函数，求的取值范围；（2）证明：．28.（2019•佛山二模）已知函数，．（Ⅰ）若时，取得极小值，求实数及的取值范围；（Ⅱ）当，时，证明：．29.(2019•运城期末）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．30.（2019•常德期末）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，．31.（2019•湖北期末）已知函数，，其中为自然对数的底数．（1），，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（2）若，求证：．32.（2019•佛山期末）已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同切线．（1）求和的解析式，并求的单调区间；（2）设为的导数，当，时，证明：．33.（2020•金安区校级模拟）已知函数在点处的切线方程为．（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围．34.（2019•文峰区校级月考）已知函数在上的最大值为（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求在区间上的零点个数35.（2019•未央区校级期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）判断方程在内的解的个数，并加以证明．36.（2019•淄博期末）已知函数，为的导函数．证明：（1）在区间存在唯一极小值点；（2）有且仅有2个零点．37.（2019•湖南期末）已知（1）求函数在的极值．（2）证明：在有且仅有一个零点.38.（2020•开封一模）已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，；39.（201