天津市河东区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

天津市河东区2021-2022学年高二上学期

期末考试数学试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.

答卷时，考生务必将（答案』答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.请同学们把K答案》按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的1答案II

无效！

2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

92

三-二=1

1.双曲线34的焦点坐标为（）

A（±"，。）B（±5,0）c（±1,0）D（±7,0）

K答案》A

K解析W由题意得双曲线的焦点在工轴上，且"2=3,〃=4,

...c=力2+。2=百，：.双曲线的焦点坐标为（±屿，°）.

故选：A.

2.如果抛物线）’=依的准线是直线x=l,那么它的焦点坐标为（）

A（1，°）B（2，°）C（一2，°）D（T，°）

R答案HD

K解析W由于抛物线的准线是直线％=1,所以它的焦点为（T'°）.

故选：D

3.已知双曲线的一条渐近线为X-0y=°,且一个焦点坐标是（一工°）,则双曲线的标准

方程是（）

2222

yy2

y2-%---X---2yx2--------x

A.3=1B.3=1C.3=1D.3=1

（答案XB

K解析】由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为x-6y=°,

2

%2_i

-----y=1

...双曲线的标准方程是3

故选：B

4.已知抛物线4”的焦点为尸尸为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q,

若"PQ=60。，则附=（j

A.1B.2C.3D.4

K答案HD

K解析》根据题意作出简图，如图所示：

根据抛物线的定义可知附<PQ,结合々尸。=60。，

可得△QQ为等边三角形，所以NPQF=NQFN=60。，

在RtMNF中，因为⑼=2,所以|Q月=4,所以附=4

故选：D.

22

pFC:—~^-=l（a>0,b>0）

5.已知巧，'2分别为双曲线b-的左，右焦点，双曲线°上的点A

满足IA用=296|,且A4的中点在y轴上，则双曲线C的离心率为（）

6+1

A.2B.6c,2D.百+1

K答案XB

K解析申设耳（一小°）,KG°）,双曲线C上的点A满足I明1=21伍I,做的中点D在

y轴上，可得。闾=口用引物.•.A/U£E,

即有AE‘x轴，A的横坐标为c,如图所示:

在直角三角形""中，4隹=6。°,

t♦anZZ.FZ7,AA居C=2=c-l-a-c--=，r3z

"也c-a~

可得。，

2e_rr

即为e?—］一-，即小？一2e—6=0,e>l,

e___1_

解得e=石，或6（不合题意，舍去）；

二双曲线的离心率是G.故选：B.

6.已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，若％=5,且S7=42（〃eN*）,设"an-a^,

则数列｛2｝的前〃项和$"为（）

n11n

A.3〃+9B,3〃+9c.〃+3D,〃+3

K答案2A

K解析］］数列｛4｝是公差不为零的等差数列，设公差为d,

q+2d=5

=5

57=42=7q+Nd=42<4=3

2，解得Id=l

1

b—1—

所以（"+2）（〃+3）〃+2〃+3

），=------1------F…d-------------=---------=------

所以数列的前〃项和3445〃+2〃+33〃+33〃+9.

故选：A.

7.在正项等比数列｛4｝中，4a7=3,则数列｛唾34｝的前9项和为（）

H91513

A.2B.2C.2D.2

K答案》B

29

2

log3«t+log3a,+…+log3a9=log3（qa,•••a8«9）=log33=-

K解析力由题意知''2.

故选：B.

8.已知数列｛"J满足24，+i=4+a,"用且"3=1,则4。22的值为（）

A.1B.2C.4D.-4

K答案XA

K解析1因为数列｛"/满足2a向=4+%"用且%=1,

所以2。3=4+2%=4+%%所以生=-2,g=4

乂2a2=4+2%=4+所以4=4，%=-2

又2a6=4+%4,所以“6=1

所以％=4,七=一2M3=1，%=4,Q5=—2,=]

所以数列｛""｝是周期为3的周期数列，所以4。22="674x3=%=1

故选：A.

9.我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难

次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.意为：某人步行到

378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的

路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的

地.请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（）

A.96B.48C.24D.12

K答案』C

(解析》由题意可知：每天所走的里程构成公比为2的等比数列.

=378,x=192/,

192x-=24

第一天走了》里,.第4天走了(21

故选：C.

第II卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将K答案》写在答题卡相应位置上.

2.本卷共11小题，共64分.

二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

10.设各项均为正数的等差数列｛叫的前〃(neN,)项和为S，j=20,且a1是出

与””的等比中项，则数列｛"/的公差d为.

K答案H1

R解析2设各项均为正数的等差数列｛""｝的公差为d3>°),

因为％T是%与与的等比中项，所以a-外,

5x4

Ss=205alH---------d=20

2_j_

(a-l)2=aa

仆6211](q+5d-l)=(q+d)(q+10。)，解得d=l或T7(舍)

经检验满足题意.

故K答案》为：I.

11.若数列｛%｝的通项公式4=2”,其前5项和S5=

K答案U26-2

K解析》数列｛%｝的通项公式4=2",

4+1W=2,)

则与2，故数列首项为2公比为2的等比数列,

$—2(14)

26-2

所以51-2

.故K答案』为：26-2.

12.已知数列｛叫的前n项和为S..若4=1°,4-*=-2,则5„的最大值为

K答案U30

"解析"由—41=-2可得数列｛""｝杲以4=10%昔后.

J付型列7E以为首项，-92为公差的等差数列,

所以%=10-2(〃-1)=12-2〃

令%=12-2〃20,解得〃W6

所以4,>0，%=°，%，/，…，可<0

SS5=叫=30

则"的最大值为T°2

故K答案》为：30.

13.已知S，，是数列｛q｝的前“项和，S,=14〃—〃2,则%=

7

若L=M+同+闷+…+㈤，则T20=

K答案”5—2〃218

《解析》ELM”/,则SI=14(〃-1)_(〃_I)2(〃“)

f

两式作差得到4=15-2〃(〃“)当〃=i叶a,=s=13

，当时।行成立，故得到%=15-2〃

当”47时，1-同+同+同+…+|叫=《+4+.…+q_(13+15-2/?)/;

〃2=(14-〃)〃

当…时，小同+同+同+…周-3+%+…+%)'

I-⑸-Of=98-电以98-(14-沙

2

=«-14/2+98；

TJ(14-

故得到：("T4〃+98,〃28北。=218

故K答案》为：4=15-2〃；(0=218

22

c:——+=i（。>/?>o）

14.已知椭圆b~过右焦点F且斜率为旧的直线与椭圆C相交于

AF=-FB

4,8两点，若2,则椭圆C的离心率为

2

K答案》3

工解析H如图,

作垂直右准线交右准线于点D,作5c垂直右准线交右准线于点C,

作AE垂直BC于点E,

AF=-FB府卜犯同=2m则陷=3加

由2,设

AF

由附叱3|明=图3

eee

\BE\=\BC\-\AD\

所以

又直线A8的斜率为6,所以NA8E=NA&=60°,

c“后=熠」」—2

所以阿3e23,

2

故R答案』为：3.

2,

」+工=1

15.若方程4-’t-\所表示的曲线为C,给出下列命题:

①若c为椭圆，则实数，的取值范围为（1可；

②若C为双曲线，则实数r的取值范围为34）"4收）；

③曲线C不可能是圆；

④若C为椭圆，且长轴在X轴上，则实数f的取值范围为I（由2）,

其中真命题的序号为.（把所有正确命题的序号都填在横线上）

K答案》②④

,2

——X2+二

K解析1方程4—ff-l所表示的曲线为C,

4T>01</<4

r-1>0=>5“0

t丰-7

4一1二/一12

①若C为椭圆，则需要满足故①不正确;

②若C为双曲线，则满足—=或，>4,故②正确;

4T>0l<r<4

5

r-1>0=>5=力=一

2

4-r=/-l2

③当曲线C为圆，则需要满足,故③错误;

4-r>0

z-l>0

4一fX，一1，中1

4-?>r-l

④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则需要满足,故④正确;

故K答案』为：②④.

三.解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知椭圆的方程为9，+4y2=36,写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标.

22—yL=i

椭圆的方程9/+4y2=36化为标准方程为4+9

解:

因为9>4,所以焦点在V轴上，/=9,^=4

所以。2=/_〃=5,a=3,b=2,所以c=逐,

所以长轴长为加=6,短轴长为%=4,焦点坐标为（°'6），（°'一”）.

\oSH=~(an+})~(neN

17.已知正项数列的前"项和为",4'

(1)求％、a2.

(2)求证：数列也｝是等差数列.

4=—(4+1)~_1

(1)解：由已知条件得：4

又有％+生=(3+1)2,即d一2-3=0

解得四=T(舍)或4=3

S,=；(。.+1)2

(2)证明：由4得

S„.=-(«,+1)2

此2时：八),

.S“-S“T=；[(<7“+1)2一(％+1)-]=5[a；-a；-i+2(a“-%_J]

••9

即4%=片一。3+2。,,一2a,1,

•d-。3+2”“-2%=0

••，

.(4+4.)3-4.1-2)=0

•,，

。-%-2=0即=2(〃>2),

经过验证”=1也成立，

所以数列｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列.

18.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A(4,2),尸为抛物线的焦

点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若8(4,1),一为抛物线上一动点,求忸月卡归目的最小值.

解：(1)①当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线：y2=2px(p>0),

又•.•抛物线过A(4,2),'4=8p即'2,

抛物线方程为V=x；

②当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线：/=203>0),

•••抛物线过A(4,2),，16=4p,；.p=4,

.••抛物线方程为f=8y,

综上抛物线方程：>2=苫或/=8)，.

(2)①当抛物线：x2=8y,如图

则当F、P、B三点共线时，P在F、8之间时，归耳十户同取得最小值,

此时I。目+1叫=「用，又尸(0,2),B(4,1)

二阀="7F=内...(忻尸|+1冏).=历

②当抛物线：V=x时，过P作准线/于M,

.-.\PM\^\PF\t,(|PF|+|P<n=(|PM|+|PB|)min)

当8、P、M共线时，1户耳十户到取得最小值，又准线/：%=-4,

17

此时忸盟+|冏=|尸制+忸耳=忸叫=彳

17

综上：最小值为炳或4.

5_3

19.已知中心在原点，焦点为月（一2，°）,"Q，0）的椭圆经过点2，-2

（1）求椭圆方程;

---------十----------

⑵若M是椭圆上任意一点，“6交椭圆于点A,加"交椭圆于点8,求阳M优却的

值.

-V2

r+大=1（。＞〃＞。）

解：（1）设椭圆方程为〃一夕

又c=2,.♦.。2=/_02=6,故椭圆方程为10+6

（2）法一：以左焦点为极点，耳鸟为极轴建立极坐标系，

epa**2

p------------p------c

则椭圆的极坐标方程为1-ecos6（e为离心率且c）.

设A（/?2，%+，），则悭娟，1一ecos。，巧"1+ecos。

|町|1+ecosO2]\MF\2\MF\

.田山1一ecos。1-ecos。即忻Hep

I惆2|"|i

同理，有怩却ep

眼用」一用二21M用1121M周i=2（|M制+|g|）2=4C/2=4X102J4

・出A|优却epepepb263

2

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Fx=----M4

法二：设w,A,“在左准线c上的射影分别为仅i,a,°,如下图,

..\ME\..a2b2..|AE|

|A/A/j|=-----\F\Q\=-----c=—jAA，!=-----

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|训|M|+忻M厂生_回=但不用=为"

由相似形及和分比定理得|A片cec'c

\MF\[=2\MF\\_\MF2\2\MF2\

|M|-eb^_忸周一eb^_'

c,同理，得c

W\MF2\4014

-----1-----=S（|M耳1+网）-2=*-2=---2二——

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狗\BF2\

20,已知等差数列｛%｝中，%