人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

灵活方医方致偎影

@选题明细表

基础巩应用创

知识点、方法综合运用练

固练新练

平面向量数量积的基本运算1,7

平面向量数量积的应用2,3,5

平面向量的综合运用4,8,9,11

综合问题6,1012,13,14,15,1617,18

A级基础巩固练

1.(2021•湖北武汉高三调研)在等腰直角三角形ABC中，ZACB=p

—»—>—>—>

AC=BC=2,点P是斜边AB上一点,且BP=2PA,那么CP•CA+CP•CB等

于(D)

A.-4B.-2C.2D.4

—>—>—>—>—>.—>—>

解析：法一由已知得|。1|=匕创=2,乙4•CB=0,/P、(CB-C/),所

T—T—TT—>

以CP-CA+CP•CB=(G4+4P)-CA+(CA+AP)-CB=\CA\2+AP•

CA+CA•CB+AP-CB=\CA\2+^CB-CA)•(CB+CA)=\CA\2+^\CB\2^

|CA|2=22+|X2-|X2M.故选D.

法二由已知,建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0,0),A⑵0),

B(0,2),设P(x,y),因为BP=2PA,所以丽=2易，所以(x,y-2)=

(4

2(2—x,—y),所以《\所以CP-G4+CP*CB=(±。・(2,0)+

y=33

V3

(p|)•(0,2)=4.故选D.

2.已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若入a-b与b垂直,则实数人等

于(D)

A.-lB.1C.-2D.2

解析：由已知得入a~b二(入一4,一3入+2),因为入a~b与b垂直，所以

(入a_b)•b=0,即(入~4,_3入+2)•(4,-2)=0,所以4人-16+6入-4=0,

解得人=2.故选D.

3.已知向量a与b的夹角为也且|a|=l,|2a-b|=^,则|b|等于

(C)

A.V3B.V2

C.1D.—

2

解析:12a-b解(2a-b)J41a12-41a||b|,cos<a,b>+b)~=4~21b|+

|b|2=3,解得|b|=l.故选C.

4.(多选题)在日常生活中，我们经常会看到两个人共提一个行李包的

情况.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为

F2,且|F/=|F21,%与F2的夹角为。.给出以下结论,其中正确的是

(AD)

A.9越大越费力，9越小越省力

B.9的取值范围为[0,汨

C.当时,

D.当0=詈时,|F』=|G|

解析：对于A,因为|G|=|F|+F2]为定值，所以|G|2=|FJ2+H|2+

2IF.I|F|COSO=2|FJ2.(1+COS0),解得|F/=由题意知

2°，

2(l+cos6)

。£[0,n)时,y=cos。单调递减，所以|F』2单调递增，即。越大越费

力,。越小越省力,A正确;对于B,由题意知，。的取值范围是[0,打)，

2

故B错误;对于c,当e音时，IFF告，所以|F』=?|G|,故c错误;对

于D,当0号时，|F||2=|G|2,所以|FJ=|G|,故D正确.故选AD.

5.若ei,e?是夹角为三的两个单位向量,而a=2ei+ez,b=-3ei+2e2,则向量

a和b的夹角为(C)

A.-B.-

63

C.—D.—

33

解析：因为|ej=l,电|=1,<eb62>三,所以ei•e2=1,因为a=2e>+e2,

b——3CI+2C2,所以

|a|=^5+4x|=V7,|b|=J13+2X(-3)X2X|=V7,

22

a•b=-61ei1+21e21+ei,e2,所以|a||b|cos〈a,b>=-61e1|之+21e2|?+

ei,e2,所以bX夕cos<a,b>=-6+2+|=-|,所以cos<a,b>=-1,因为

<a,b>£[0,n],所以向量a与b的夹角为g.故选C.

6.已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上,

—>—>—>—>—>

且满足(PB+PC)*AD=442,若AD=V2,贝iJPB•PC的值为(A)

A.2B.3C.4D.6

解析:设NDPC=a,NDPB=6,

由{PB+PC}•?n)=4V2,AD=V2,

得|加•V2cosB+\PC\•Vicosa=4短

所以|而|•罂+应I.鬻4,

所以|PD|=2,

因为AD是直角三角形ABC斜边BC上的高,

所以|CD|•|BD|=|AD|2

—>—>—>—>—>—>

所以PB・PC=|PB|TPC|cos(a+B)=|PBI•\PC\(cosacosB

-sinasinB)=|PB•\PC(―^—,=4-1AD12=

IPC\PB\\PCPB\

4-2=2.

故选A.

7.(多选题)(2021・湖南长沙高三模拟)设a,b,c是任意的非零平面

向量,且相互不共线，则下列选项中正确的是(BCD)

A.(a,b)c-(c,a)b=0

B.|a|-|b|<Ia-b|

C.(b♦c)a-(a•c)b与c垂直

D.(3a+2b)•(3a-2b)=91a|2-41bl2

解析：由于b,c是不共线的向量，因此(a・b)c与(c-a)b相减的结果

应为向量,故A错误；由于a,b不共线,故a,b,a-b构成三角形，因此B

正确；由于[(b,c)a-(a•c)b],c=(b•c)(a•c)-(c,a)(b,c)=0,

故C正确;根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选BCD.

8.已知向量a=⑵-6),b=⑶m),若|a+b|=|a-b|,则m=.

解析:法一因为a=解-6),b=(3,m),所以a+b=解m-6),a-b=

(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)解得m=l.

法二由|a+b|=|a-b|,两边平方得a•b=0,因为a=⑵-6),b=(3,m),

所以2X3+(-6)Xm=0,解得m=l.

答案：1

9.已知法与命的夹角为90°,|^|=2,\AC\=1,AM=XAB+^ACU,

u£R),且/M•BC=。,则人的值为

解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(0,2),

C(1,0),所以耘=(0,2)，品'=(1,0),品=(1,-2).设M(x,y),则薪=

(x,y),所以•BC=(x,y)•(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又ZM=入

AB+V.AC,即(x,y)=人(0,2)+u(1,0)=(u,2人)，所以x=u,y=2人,

所以△卫子总

gx2y4

答案3

4

10.已知单位向量a与b,满足(a+b)2=1,则a与b的夹角为;

若向量c满足3a+(2-3)b=c(3£[0,2]),则|c|的取值范围是

解析:依题意知|a|=|b|=l,

由(a+b)2=l得

a2+2a•b+b2=l,

解得a•b=-|,

贝!Icos<a,b>=a'b

\a\•|b|2

又<a,b>£[0,，所以<a,b>号;

将3a+(2-3)b=c两边平方，

得c2=3'a?+2a(2-3)a•b+(2-3)"b2=332-63+4,

因为aG[0,2],

所以|C|二V332—63+4£[1,2].

答案号[1,2]

11.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).

⑴求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

⑵设实数t满足G4B-tOC)-OC=0,求t的值.

解：(1)由题设知n=(3,5),品1),

贝正+前=(2,6),AB-AC=(4,4),

所以|通+启=2国,\AB-AC\=442,

故所求的两条对角线的长分别为4V2,2V10.

⑵法一由题设知益=(-2,-1),AB-WC=(3+2t,5+t).

由(AB-WC)•OC=Q,得

(3+2t,5+t)•(-2,-1)=0,

从而5t=-ll,

所以t=-y.

法二AB•OC=tOC2,AB=^,5),

B级综合运用练

TTT—>—»_

12.已知0是4ABC内部一点，且满足。4+。8+。。=0,又43•力。=28,

NBAC=60°,则△(»(；的面积为(C)

A.—B.3

2

C.1D.2

—>—>—>T—>T

解析：由•AC=2®ZBAC=60°,可得力B•AC=\AB\\AC\

.—>—>—>—>

cosZBAC=||SB||力C|=2百，所以|4B||力C|=4B，所以S^ABC=

^\AB\\AC\sinNBAC=3,又O4+OB+OC=0,所以0为4ABC的重心，所

以SA0BC=]SZ\4BC=L故选C.

13.在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA=MB=MC=MD=1,

—>—>

ZCMD=120°,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则N4•NB的

取值范围是(B)

A.[-1,0)B.[-*0)

C.[-1,1)D.1)

—

解析:连接MN(图略).由题意得M4•NBEMA-MN)•(MB-MN)=

MN2-MA2=IMN12-l,itAMCNMC=1,NMCN=30。，所以卜施=/+

NC-2-NC•1X^=NC-V3NC+1,所以MN2-1=NC2-V3NC=(NC--)由

224

MC=MD=1,ZCMD=120°,可得CD=W,又点N在线段CD(端点C,D除外)

上运动，所以0<NC〈次，

所以即M4­病的取值范围是［T0).故选B.

44

14.在四边形ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点，设G-BC=x,

—>—>

AC•BD=y,若AB=V2,EF=1,CD=V3,贝ljxy的最小值为.

解析:如图所示,设ABnDC=O,

因为而=£1+成+而=外+空千，

TTTTT-AD+BC

DC=DE+EF+FC=EF+,

2

T—»

两式相加得后三丝岁.①

因为AB=V2,EF=1,CD=V3,把①两边平方可得

,AB2+DC2+2AB•DC2+3+2AB•DC

1=----------------------=----------------,

44

TT1

所以・DC=-|.

—>—>T—>—>—>—>TTT—>

又4D•BC=(。。一。4)•(OC-OB)=OD-OC-OD・OB-OA-

—>—>—>

。。+。力,OB=x,

—>—»—>—>—>—>—»—>

所以。。•。。+。力•OB=x+OD•OB+OA-0C.②

TT—>T—>—>

又4c•BD=(OC-OA)•(OD-OB)=

—T—>TT——>

OD•OC-OB•。。一。4•OD+OA-0B=

—»—>—»—>—>—»—>—>

(OD•。。+。力•OB)-OB•OC-OA-OD=y,

T-»—>—>—»—>—>—>

所以OD•OC+OA•OB=OB•OC+OA・OD+y.③

根据②③可得

—>—>—>TT—>—>T

x+OD•OB+OA•OC=OB•OC+OA•OD+y,

即x-y=-OD・OB-OA-OC+OB・OC+OA・OD,

即x-y=OB•DC+OA・CD=DC・(OB-OA)=DC・

即y=|+x,

所以xy=x(1+x)=x2+|x=(x+令W，

所以x=一；,y=：时，(xy)min=-2.

4416

答案V

15.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b),(2a+b)=61.

(1)求a与b的夹角9;

⑵求|a+b|;

(3)若几=a,BC=b,求AABC的面积.

解：⑴因为(2a-3b)•(2a+b)=61,

所以41al2-4a・b-3|b|2=61.

又|a|=4,|b|=3,

所以64-4a,b-27=61,所以a•b=~6,

a•b-61

所以COS。二

ab4x32

又oweWJI,所以。哼

(2)|a+b12=(a+b)2

=|a)2+2a,b+jbp

=42+2X(-6)+32=13,所以Ia+bI=YH.

(3)因为晶与晶的夹角0号，

2nIT

所以NABC=JI--=-1

33

—>

又IAB|—IaI=4,|BC|=|b|—3,

所以S/XABcgx4X3X^=3V3.

16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(y,-y),n=(sinx,

cosx),x£(0,]).

(1)若m_Ln，求tanx的值；

(2)若m与n的夹角为今求x的值.

解：(1)因为m=(产,-?)，n=(sinx,cosx),

m±n,

所以m•n=0,即日sinx-^cosx=0,

所以sinx=cosx,所以tanx=l.

(2)因为|m[=|n|=l,所以m•n=cos

BP—sinx--cosx=-,

222

所以sin(x-^)=|,

因为0〈x<9,所以-

2444

所以即x=M

4612

c级应用创新练

—>—>

17.在AABC中,AB=5,AC=10,AB・4C=25,点P是4ABC内(包括边界)

的一动点，且GqGq入品1(入£R),则|心|的最大值是(B)

A.—B.V37

2

C.V39D.V41

解析:法一在AABC中，AB=5,AC=10,又・品=25,所以5X10•

cosA=25,cos人=也又A£(0,北)，

所以A=pBC=J52+102-2x5x10x|=5A/3,因为AB2+BC2=AC2,所以

B=p以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直

角坐标系，

则A(0,0),B(5,0),C(5,5V3),设点P的坐标为(x,y),OWxW5,0W

yW5g,

因为力P二三力B—：人力C,

所以(x,y)⑸0)-1入(5,5V3)=(3-2X,-273人)，

所以|y-_2息所以y=g(x—3),直线BC的方程为x=5,

联立*二f，解得此时I筋I最大,为J52+(28产=

V37.故选B.

法二同解法一求得AqBg,在边AB上取点M,使AM=|AB=3,过M作

MN〃AC交BC于点N(图略)，由平行四边形法则，得点P在线段MN上,

故当点P与N重合时，|前|最大，此时BN=28，故|3|二

卜+(2A/3)2=V37.故选B.

18.已知平面单位向量&,e2满足|2e「e21W应.a=el+e2,b=3ei+e2,向

量a,b的夹角为9,则cos26的最小值是.

解析:法一因为平面单位向量ebe?满足|2e「ez|WVI所以

|2e~e1'=5-4ei,e^2,即ei,e^-.

2224

因为a=ei+e2,b=3ei