内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷（3月）（含答案解析）

2019年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷（3月份）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.下列实数中，有理数是（）

7T0.

A.V2B.^4

c.~2D.3.21

2.下列各式计算正确的是（）

A.2abViab=5abB.(-&l处2=a%5

C.近xV3=V5D.(a+1)2=a2+l

3.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径脑V上一动点，的半

径为1,则AP+BP的最小值为（）

返

A.1B.2c.aD.V3-1

4.在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24,20,

19,20,22,23,20,22.则这组数据中的众数和中位数分别是（）

A.22个、20个B.22个、21个C.20个、21个D.20个、22个

5.如图，已知圆。的半径为10,ABLCD,垂足为P,且AB=C£>=16,则OP的长为（）

6.二次函数yua^+Ox+c的图象如图所示，则一次函数y=or+c的图象可能是（)

7.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（）

A.120°B.180°C.240°D.300°

8.若二次根式圾五有意义，则x的取值范围是（）

A.工>工B.x^—C.D.

555

9.下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是（）

A.（-3,-1）B.（1,1）C.（3,2）D.（4,3）

10.已知二次函数y=or2+bx+c（々W0）的图象如图所示，有下列4个结论：①aVO；②b>0；③b

Va+c；（4）2a+h=0；其中正确的结论有（）

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作

12.分解因式：〃2-2n+l-m2=.

13.如图，将一个边长分别为4,8的长方形纸片43。折叠，使。点与A点重合，则折痕EF的长

D

14.如图，在边长为6a”的正方形ABC。中，点E、F、G、”分别从点A、B、C、。同时出发，均

以加的速度向点8、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动

过程中，当运动时间为s时，四边形EFG”的面积最小，其最小值是cm2.

BFfC

15.如图，线段AC=〃+1（其中〃为正整数），点8在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABWV

及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到当AB=1时，的面积记为Si；当48

=2时，△/1〃后的面积记为S2；当AB=3时，ZVIME的面积记为S3；则S3-$2=.

16•点A、C为半径是8的圆周上两动点，点B为余的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCZ）,

顶点。恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为.

B

三.解答题(共8小题)

17.(1)i-|-®V8+lV2-H-n0+(y)

(2)(4>0);

,,其中心零

(3)先化简，后计算:L+L一

a+bba(a+b)

x-1

18.已知不等式组42的解集为-6<x<3,求tn,n的值.

2x+5>6mT

19.《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章.国际上，法

国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机.为了解学生手机使用情况,

某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每

周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40

人.

使用手机的目的每周使用手机的时间

图①图②

(07表示大于0同时小于等于1,以此类推)

请你根据以上信息解答下列问题:

(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为.,圆心角度数是.度;

(2)补全条形统计图;

(3)该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.

20.如图，RtZsABC中，ZABC=90°，点。，F分别是4C,AB的中点，CE//DB,BE//DC.

(1)求证：四边形O8EC是菱形;

(2)若AO=3,DF=\,求四边形。BEC面积.

21.不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一

个小球后放回，再随机地摸取一个小球，(用列表或树形图求下列事件的概率)

(1)两次取的小球都是红球的概率；

(2)两次取的小球是一红一白的概率.

22.如图，一次函数y=fcv+b与反比例函数>=处的图象交于A(1,4),B(4,〃)两点.

X

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)直接写出当x>0时，丘+6〈皿的解集.

X

(3)点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+P8最小.

23.如图，48是。0的直径，AC平分交于点C,过点C的直线垂直于交4B的延

长线于点P，弦CE交AB于点尸，连接8E.

(1)求证：PO是。。的切线；

(2)若PC=PF,试证明CE平分乙4cB.

24.如图，P是半圆弧第上一动点，连接PA、PB,过圆心。作0C〃8P交PA于点C,连接C8.已

知AB=6cm,设。，C两点间的距离为xa",B,C两点间的距离为ya”.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

xlcmo0.511.52253

ylem3313.54.05.3d

（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）

（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△08C周长C的取值范围是.

2019年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷(3月份)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.【分析】直接利用有理数以及无理数的定义分析得出答案.

【解答】解：A、近,是无理数，不合题意；

B、加,是无理数，不合题意；

TT

C、色是无理数，不合题意；

。、3.1；,是有理数，符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数，正确把握有理数以及无理数的概念是解题关键.

2.【分析】根据合并同类项法则、暴的运算及二次根式的乘除运算法则及完全平方公式计算可得.

【解答】解:A、2ab+3ah=5ah,此选项正确；

B、(-a2/?3)2=-a4b6,此选项错误；

C、此选项错误；

D、(a+1)2—a2+2a+l,此选项错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查整式的运算与二次根式的乘除法，解题的关键是掌握合并同类项法则、¥

的运算及二次根式的乘除运算法则及完全平方公式.

3.【分析】本题是要在MN上找一点P,使PA+P8的值最小，设*是A关于MN的对称点，连

接A'B,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=A'8是最小值，可证△04'B是等腰直角三角

形，从而得出结果.

【解答】解：作点A关于"N的对称点4，，连接A'B,交MN于点、P,则PA+PB最小，

连接OV,44'.

•点A与A'关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，

.♦./A'ON=/AON=60°,PA=PA',

•••点8是弧AN八的中点，

:.NBON=30°,

.♦.NA'OB=/A'ON+/BON=90°,

又：OA=OA，=1,

；.A'B=g.

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=&.

【点评】正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强

课本题目的训练至关重要.

4.【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中

位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；

把数据按从小到大的顺序排列：19,20,20,20,22,22,23,24,

处于这组数据中间位置的数20和22,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21.

故选：C.

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）

重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数

的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

5.【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得

以解决.

【解答】解：作交48与点E,作交。于点尸，如右图所示，

贝CF=DF,ZOFP=ZOEP=90°,

又•••圆。的半径为10,ABLCD,垂足为P,且AB=C£>=16,

；.NFPE=90°,。8=10,BE=8,

.••四边形OEPF是矩形，OE=6,

同理可得，0尸=6,

：.EP=6,

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

6.【分析】根据二次函数的开口向下得出。<0,根据二次函数图象和y轴的交点得出c>0,再根

据一次函数的性质得出即可.

【解答】解：从二次函数的图象可知：a<0,c>0,

所以直线y=or+c的图象经过第一、二、四象限，

即只有选项2符合题意；选项A、C、。都不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质和一次函数的图象和性质，能熟记二次函数和一次函

数的性质是解此题的关键.

7.【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面

展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数.

【解答】解：设母线长为R，底面半径为『，

二底面周长=2nr,底面面积=皿/，侧面面积=加火，

；侧面积是底面积的2倍，

:・R=2r,

设圆心角为小

则1^=2m=nR，

解得，”=180°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决

本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

8.【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由题意得,5x-120,

解得，在占

5

故选：B.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关

键.

9.【分析】先用待定系数法求出函数解析式，将点的坐标分别代入即可求出.

【解答】解：可把(-3,-1),(1,1)代入一次函数)，=依+匕，

得-3k+b=-1,k+b=1,

解得仁0.5,6=0.5,

.,.y=0.5x+0.5.

当x—3时，y—2,

：.(3,2)在y=0.5x+0.5上.

当x=4时，y=2.5,

(4,3)不在y=0.5x+0.5上.

故选：D.

【点评】本题需注意可把任意两点代入一次函数得到解析式.然后把其他两点代入看是否合适.

10.【分析】由抛物线开口向下，知aVO,对称轴-《-=1,可知%>0,由抛物线与y轴交于正半

轴知c>0,再根据特殊点即可判断.

【解答】解：由抛物线开口向下，知”<0,对称轴一2=1,..北>0,2a+b=0,

由抛物线与y轴交于正半轴知c>0,

当X--1时，y—a-b+c<0,

.".b>a+c,

故正确的为：①②④，

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是掌握根据图象获取信息的

能力.

填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为4X10”,与较大数的

科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数基，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的

0的个数所决定.

【解答】解：把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作3.6X10-3.

故答案为：3.6X10-3.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为4X10,其中1W间＜10,〃为由原

数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题中有〃的二次项，n

的一次项，有常数项.所以要考虑后三项〃2-2〃+1为一组.

【解答】解：层-2n+l-nr—(n2-2n+1)-m2—(n-1)2-m2=(n-1+m)(M-1-m').

故答案为：Cn-l+/n)(zi-1-m).

【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组.比如本题有

〃的二次项，〃的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组.

13.【分析】先过点尸作尸GL8C于G.利用勾股定理可求出AE,再利用翻折变换的知识，可得到

AE=CE,ZAEF=ZCEF,再利用平行线可得/AEF=/AFE,故有AE=AF.

求出EG,再次使用勾股定理可求出EF的长.

【解答】解：过点尸作尸GLBC于G

,:EF是直角梯形AECD的折痕

；.AE=CE,NAEF=NCEF.

又,：ADHBC

：.NAEF=NAFE.：.AE=AF.

在Rt/XABE中，设BE=x,AB=4,AE=CE=S-x.x2+42=(8-x)2解得*=3.

在RtZ\FEG中，EG=BG-BE=AF-BE=AE-BE=5-3=2,FG=4,

【点评】本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题

意得出方程7+4?=(8-x)

14.【分析】设运动时间为f(0W/W6),则AH=6-t,由四边形EFGH的面积=正方形

ABC。的面积-4个△AE”的面积，即可得出S四边形EFGH关于/的函数关系式，配方后即可得出

结论.

【解答】解：设运动时间为f(0Wf<6),则AH=6-t,

根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD-4s△AEH=6X6-4X*f(6-z)=2?-12r+36=2(/-3)

2+18,

二当f=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.

故答案为：3;18

【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出5

四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键.

15.【分析】根据连接BE,则B£〃AM,利用△AME的面积=的面积即可得出%=/落

%/=25-1)2=*〃2_〃+/,再代值计算即可得出答案.

【解答】解：连接8E.

；在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

J.BE//AM,

：.AAM£与AAMB同底等高，

：./\AME的面积=的面积，

/.当AB=n时，的面积记为S„=-1n2,

&-1=1(〃-1)2=#-rt+y,

二当心2时，5„-5„.1=^^=2X^~1=-1.

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点是三角形面积求法以及正方形的性质,

根据已知得出正确图形，得出S与〃的关系是解题的关键.

16.【分析】过B作直径，连接AC交8。于E,如图①，根据已知条件得到BD=*0B=4,如图

②，BD=\2,求得0。、0E、DE的长，连接0。，根据勾股定理得到结论.

【解答】解：过B作直径，连接AC交8。于E,

..•点8为窟的中点,

：.BDLAC,

如图①，

；点。恰在该圆直径上，。为。8的中点,

：.BD=—XS=4,

2

.•.00=08-80=4,

•••四边形A8CO是菱形，

：.DE=­BD-2,

2

；.OE=2+4=6,

连接0C,

,•*C£=VOC2-OE2=782-62=277'

在RtZ\DEC中，由勾股定理得：OC=VCE2+DE2=7（2V?）2+22=W2;

B

OD=4,80=8+4=12,DE^—BD=6,0E=6-4=2,

2

由勾股定理得：^=VOC2-€E2=V82-22=2V15-

OC=VDE2+CE2=762+(2V15)2=W6-

故答案为：4近或网丐.

【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的

关键.

三.解答题(共8小题)

17.【分析】(1)根据零指数幕的意义以及负整数的意义;

(2)根据二次分式即可求出答案.

(3)根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：(1)原式=25/^+<^"^-1-1+2=3*$/^

(2)原式=34+1••返+且但

_3a2a

=3日

(3)当.=立+.1.,6=遥T时,

22

原式=/、+"+/',、

a(a+b)ba(a+b)

ab

_a+b

ab

=加

【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型.

18.【分析】由不等式组的解集，确定出，〃与"的值即可.

'x〈2n+l

【解答】解：不等式组整理得：、，即3m-3<xV2〃+l,

x>3m-3

由不等式组的解集为-6<x<3,可得3,"-3=-6,2〃+1=3,

解得：tn--1,n—1.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果;

（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；

（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果.

【解答】解：（1）根据题意得：1-（40%+18%+7%）=35%,

则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°X35%=126°,

故答案为：35%,126；

（2）根据题意得：40・40%=100（人），

A3小时以上的人数为100-(2+16+18+32)=32(人)，

补全图形如下:

使用手机的目的每周使用手机的时间

（0~1表示大于0同时小于等于1,以此类推）

（3）根据题意得：2100X区孕=1344（人），

100

则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人.

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题

的关键.

20.【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形。2EC为平行四边形，然后由直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD,得证；

（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得48边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公

式进行解答.

【解答】（1）证明：BE//DC,

/.四边形DBEC为平行四边形.

又•.•□△ABC中，NABC=90°,点。是AC的中点，

：.CD=BD=—AC,

2

平行四边形DBEC是菱形；

（2）,二点D,尸分别是AC,AB的中点,AD=3,DF=\,

二。厂是AABC的中位线，AC=2AO=6,S^BCD=^S^BC

：.BC=2DF=2.

又；/ABC=90°,

*'-AS=VAC2-BC2=V62-22：=4V2-

•.•平行四边形。BEC是菱形，

S叫边彩DBEC~^/\BCD=S^ABC~~^^*BC-X4^/2X2-4-y2.

【点评】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理,

熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等.

21.【分析】（1）用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案，

（2）由（1）的图表，可得要求的情况，与总情况作比即可得答案.

【解答】解：（1）根据题意，有

到

4\/KA\

软白白红白白打白白

两次取的小球都是红球的概率为看；

(2)由(1)可得，两次取的小球是一红一白的有4种；

故其概率为

9

【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22,【分析】(1)将点4(I,4)代入y=则可得机的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例

X

函数解析式求得点B坐标，再由A、3两点的坐标可得一次函数的解析式；

(2)根据图象得出不等式"+bV皿的解集即可；

x

(3)作2关于无轴的对称点8',连接A8',交x轴于P,此时最小，根据3的

坐标求得B'的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB'的解析式，进而求得与x轴的交点P

即可.

【解答】解：(1)把A(1,4)代入y=皿，得：m=4,

X

.♦•反比例函数的解析式为尸工;

X

把8(4,n)代入y=9,得：n—\,

.x

：.B(4,1),

把4(1,4)、(4,1)代入y=fcv+ZJ,

得:产4,

I4k+b=l

解得：［k=T,

lb=5

一次函数的解析式为y=-x+5；

(2)根据图象得当0＜尤＜1或x＞4,一次函数y=7+5的图象在反比例函数、=巴的下方；

X

...当x>0时，fcv+b<皿的解集为OVxCl或x>4；

x

(3)如图，作8关于x轴的对称点夕，连接AB',交x轴于P,此时PA+PB=A8'最小,

,:B(4,1),

：.B'(4,-1),

设直线AB，的解析式为y=*+q,

.fp+q=4

\4p+q=_l

'5

解得，

_17

lq=T

直线AB'的解析式为y=-■|x+?，

令y=0，得-•|^+与=0,

Jo

解得x=g,

【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称-最短

路线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键.

23.【分析】(1)连接OC,如图，先证明/2=/3得到OC〃AQ,然后利用平行线的性质得到

OC1CD,从而根据切线的判定定理得到PD是。。的切线；

(2)先证明N1=NPC8,再根据等腰三角形的性质得NPC尸=NPFC,然后利用NPb=NPC8+

NBCF,ZPFC=Z\+ZACF,从而可判断NBCF=NACF.

【解答】证明：(1)连接OC,如图，

♦；AC平分ND4B,

AZ1=Z2,

・・・QA=OC

AZ1=Z3,

・・・N2=N3,

OC//ADf

VAD1CD,

A0C1CD,

・・・PO是。。的切线；

(2)VOC±PC,

AZPCB+ZBCO=90°,

VAB为直径,

AZACB=90°,即N3+NBCO=90°,

：.Z3=ZPCBf

而N1=N3,

:・N1=NPCB,

♦；PC=PF,

：.ZPCF=ZPFCf

而NPCF=NPCB+NBCF,ZPFC=Zl+ZACF1

：./BCF=ZACF,

即CE平分NAC8.

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条

直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理.

24.【分析】解答本题需要动手操作，在细心测量的基础上，描点、连线画出函数图象，再根据观

察找到函数值得取值范围.

【解答】解：(1)经过测量，x=2时，y值为4.6

(2)根据题意，画出函数图象如下图：

(3)根据图象，可以发现，y的取值范围为：

3WyW6,

△OBC的周长C：3<C<12.

故答案为：3<C<12.

【点评】本题通过学生测量、绘制函数，考查了学生的动手能力，由观察函数图象，确定函数的

最值，让学生进一步了解函数的意义.

中老想学总复习施念资身

代裁都令

第一本,实出

基础知识点：

一、实数的分类：

[(正整数〕

整数零

有理数负整数有限小数或无限循环/」数

实数，'正分数

分数，

.负分数

‘正无理数

无理数<无限不循环小数

负无理数

1、有理数：任何一个有理数总可以写成"的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特

q

征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、历、返；特定结构的不限环无限小数，

tn1.101001000100001...；特定意义的数，如加、sin45°等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(1)实数a的相反数是-a；(2)a和b互为相反数。a+b=0

2、倒数：

(1)实数a(ar0)的倒数是,；(2)a和b互为倒数oab=l；(3)注意0没有倒数

a

3、绝对值：

(1)一个数a的绝对值有以下三种情况：

a,aA0

|«|=<0,a=0

-a,aY0

(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到

原点的距离。

(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认，再去掉绝

对值符号。

4、n次方根

(1)平方根，算术平方根：设a》0,称土&叫a的平方根，右叫a的算术平方根。

(2)正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

(3)立方根：布叫实数a的立方根。

(4)一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0：一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要

素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴

上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。

四、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。

五、实数的运算

1、加法：

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法

交换律、结合律。

2、减法:

减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：

(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0,积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个

数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，力口、减是一级运算，如果没有括

号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括

号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

六、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N>0,则22乂10”(其中lWa<10,n为整数)。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这

个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精确到那一位；(2)保留几个有效数字。

例题：

例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且时上网。

化简：同

分析：从数轴上a、b两点的位置可以看到：a<0,b>0且时”网

所以可得：解：原式=-。+。+人一匕+。=。

例2、若a=(—()-3,8=—g)3,c=g)-3,比较a、b、C的大小。

分析：a=_(g)3YT；匕=一(£)且匕YO；c>0；所以容易得出:

a<b<c»解：略

例3、若|。一2|与人+2|互为相反数，求a+b的值

分析：由绝对值非负特性，可知|。一2|20,|。+220，又由题意可知：,一2|+忸+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=O解：略

例4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1,求竺2-cd+，〃2的值。

m

解：原式=0-1+1=0

例5、计算：(1)8l994x0.1251994(2)

解：⑴原式=(8x0.125y994=I994=1

代率部今

第二*「代照K

基础知识点：

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个

字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

3、代数式的分类：

'''单项式

整式，

有理式、多项式

［分式

.无理式

二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像X、7、2x2y,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常

数项。

升（降）塞排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，

叫做把多项式按这个字母升（降）幕排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2、运算

（1）整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号

前面是号，把括号和它前面的号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，括到括号

里的各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

(2)整式的乘除：

事的运算法则：其中m、n都是正整数

同底数基相乘：-诡=""+"；同底数募相除：a"'+a"=a""；寨的乘方：("")"=a""'积

的乘方：(ab)n=anbn()

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为

这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则

连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+A)(a—〃)="2一/；

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2-a2-lab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)运用公式法：

平方差公式：a?—b?=(a+b)(a—b)；完全平方公式：a2+2ab+h2=(a+b)2

(3)十字相乘法：x1+(a+b)x+ah-(x+a)(x+h)

(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

(5)运用求根公式法：若。必+"1+，=0(4/0)的两个根是匹、马，则有：

2

ax+bx+c=a(x-xt)(x-x2)

3、因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考虑用分组分解法。

四、分式

A

1、分式定义：形如一的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

B

(1)分式无意义：B=0时，分式无意义；BWO时，分式有意义。

(2)分式的值为0：A=0,BW0时，分式的值等于0。

(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分

母因式分解，再约去公因式。

(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若

是分式，一定要化为最简分式。

(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通

分。

(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的积。

(7)有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：

(1)4='"(Af是工0的整式)；(2)4=A."(M是牛0的整式)

BBMBB+M

(3)分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不

变.

3、分式的运算：

(1)力口、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们

通分成同分母的分式再相加减。

(2)乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子八(aNO)叫做二次根式。

(1)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式

的二次根式叫最简二次根式。

(2)同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就

说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化因式有：、石与&；+c汽与a加-eg)

2、二次根式的性质：

(1)(C)2=a(a20)；(2)V?=lai=<0("一。)；⑶(a'o,b

[—a(a<0)

[a_4a

20)；(4)(a>0,b>0)

3、运算：

(1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a20,b20)。

二次根式的除法：^=^|(a>0,Z>>0)

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

例题：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-y)+6Z?2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

［规律总结］因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往

需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)x4—5x~—36；(2)(x+y)'—4(x+y)—12

分析：可看成是Jr?和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

［规律总结］应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时

还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法：

例3、X3+2X2-x-2

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略

［规律总结］对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相

乘法或公式法解题。

4、求根公式法：

例4、/+5X+5解：略

二、式的运算

巧用公式

例5、计算：(1——)—)2—(1+—'—尸

a-ba-b

分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略

［规律总结］抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌

握运用公式的技巧，使运算简便准确。

2、化简求值：

例6、先化简，再求值：5/_(3/+5/)+(4y2+7xy),其中x=-ly=l—&

［规律总结］一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。

3、分式的计算：

例7、化简仁工+(卫一。一3)

2a-6tz-3

2-9

分析：-。-3可看成---a---^解：略

a-3

［规律总结］分式计算过程中：(1)除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；(2)注意负号

4、根式计算

例8、已知最简二次根式回工！和尸石是同类二次根式，求b的值。

分析：根据同类二次根式定义可得：2b+l=7-b。解：略

［规律总结］二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用

是中考的主要考查内容。

代超黎今

第三本:方程和方程俶

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解

也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的标准形式：ax+b=O(其中x是未知数，a、b是已知数，a¥0)

(2)一玩一次方程的最简形式：ax=b(其中x是未知数，a、b是己知数，aWO)

(3)解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

2、