十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题17坐标系与参数方程（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课

标理科卷)

专题17坐标系与参数方程

©真题汇总

，_2+£

1.【2022年全国甲卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为“=工(/为参数)，曲线C2的

y=&

Y-___2+_s

参数方程为60为参数).

、y=一乖

(1)写出Ci的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2cos0-Sind=0,求C3与

Ci交点的直角坐标，及与交点的直角坐标.

【答案】(l)y2=6x-2(y>0)；

(2七3，。1的交点坐标为&1)，(1，2)，QC的交点坐标为(一表T)，(-1,-2).

【解析】

(1)因为彳=竽，y=Vt,所以x=*,即Ci的普通方程为y2=6x—2(y20).

(2)因为==-管=—,，所以6%=-2—y2,即C2的普通方程为V=—6x—2(y<0),

由2cos8—sin0=0=2pcos8—psinQ=0,即C3的普通方程为2%—y=0.

联立，2=2鼠_/2020),解得：";或｛；：；，即交点坐标为81)，(1,2)；

联立脚4°)，解得：?二:或二;，即交点坐标为(-1,-2).

2.【2022年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜二,(，为参数)，以

坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为psin(。+§+巾=0.

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求〃7的取值范围.

【答案】(1+y+2m=0

(2)-m<I

【解析】

⑴因为/：psin(。+§+m=0,所以gp•sin。+日p•cos。+m=0,

又因为p•s\n6=y,p-cos。=x,所以化简为/+苧x+TH=0,

整理得l的直角坐标方程：V3x+y+2m=0

(2)联立/与C的方程，即将％=gcos2t,y=2sint代入

V3x+y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0,

所以3(1—2sin2t)+2sint+2m=0,

化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0,

要使l与C有公共点，则27n=6sin2t-2sint-3有解，

令sint=a,则aG[—1,1]，令/(a)=6a2—2Q—3,(—1<a<1),

对称轴为Q=；,开口向上，

o

所以/⑷max=/(-1)=6+2-3=5,

a-3

/()min=/(O7)=7O7O-=一/O，

所以一:<2m<5

加的取值范围为一色SmW.

3.【2021年全国甲卷理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

曲线C的极坐标方程为p=2A/2COS0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点/的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足加祈，写出P的轨迹G的参数方程，

并判断C与Ci是否有公共点.

【答案】(1)(x—鱼)2+必=2；(2)2的轨迹G的参数方程为=(。为参数)，。与J

没有公共点.

(1)由曲线C的极坐标方程p=2在cos。可得p2=2&pcos9，

将x=pcos6,y=psin。代入可得/+y2=2及x,即(Y-V2)2+y2=2.

即曲线C的直角坐标方程为(％-V2)z+y2=2；

(2)设P(x,y),设M(VI+v^cos。,VIsinO)

•••AP=72A

:.(x—1,y)=V2(V2+yfZcosO—1,V2sin0)=(2+2cosJ—V2,2sin0),

则产―1=2+2cos0—>J2即产=3—V2+2cos0

、'y=2sin0'、'y=2sin0

故尸的轨迹Cl的参数方程为产=(。为参数)

,・・曲线。的圆心为(低,0),半径为鱼，曲线C1的圆心为(3-四,。)，半径为2,

则圆心距为3-2在，•••3-2在<2-71，；•两圆内含，

故曲线C与6没有公共点.

4.【2021年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，OC的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点F(4,l)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

的极坐标方程.

【答案】⑴(a为参数)；⑵2pcos(8+g)=4-6或2pcos(8*)=4+后

v—1।sin。3J

(1)由题意，OC的普通方程为(久一2)2+0-1)2=1,

所以OC的参数方程为(a为参数)

y-J.十Dincc

(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y-l=k(x-4),即kx-y+l-4Zc=0,

由圆心到直线的距离等于1可得詈3=1，

vi+fcz

解得k=±y,所以切线方程为6x-3y+3-4V3=0或百x+3y-3-4V3=0,

将靠=pcos6,y=psinS代入化简得

2pcos(0+g)=4-板或2pcos(6-“=4+遍

5.【2020年全国1卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为(t为参数).以坐标原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos。-16psin0+3=0.

(1)当/c=l时，Ci是什么曲线？

(2)当k=4时，求6与Cz的公共点的直角坐标.

【答案】(1)曲线6表示以坐标原点为圆心，半径为I的圆；(2)仁彳).

【解析】

(1)当九=1时，曲线G的参数方程为(t为参数)，

两式平方相加得好+产=1,

所以曲线Q表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当k=4时，曲线C1的参数方程为｛；;；器：：（t为参数），

所以*20,y20,曲线Cl的参数方程化为｛嚏;：：：；；（t为参数）,

两式相加得曲线C1方程为a+4=1,

得6=1-\[x,平方得y=x-2y[x+1,0<x<l,0<y<l,

曲线C2的极坐标方程为4pcos。-16psin0+3=0,

曲线C2直角坐标方程为4x-16y+3=0,

联立CiQ方程｛汇;6y2集1

整理得12x-32«+13=0,解得依=:或C=”（舍去），

26

•••x=i,y=g,C2公共点的直角坐标为（：*）.

久=4COS2,(0为参数)，C2：

6.【2020年全国2卷理科22】已知曲线G，。2的参数方程分别为G：

.y=4sinz0

元=£+工

V（，为参数）.

y=t-7

（1）将G，C2的参数方程化为普通方程;

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Ci，C2的交点为P,求圆心在极轴上，且经过

极点和P的圆的极坐标方程.

22

【答案】(1)Ct:x+y=4；C2>x—y=4；(2)p=《cos0.

【解析】

(1)由cos?。+siMe=1得Ci的普通方程为：x+y=4；

两式作差可得Cz的普通方程为：x2-y2=4.

：+得:

（2）由

刀-y=4

设所求圆圆心的直角坐标为（a,0），其中a>0,

则伍一丁+(0-5)2=/，解得：a=W.•.所求圆的半径r=3,

\it/\//XU£U

•••所求圆的直角坐标方程为:卜一常2+俨=落）2,即/+y2=g,

•••所求圆的极坐标方程为p=ycose.

7.［2020年全国3卷理科22】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为［(，为参数且伊1)，

C与坐标轴交于/、8两点.

(1)求|4B|；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线48的极坐标方程.

【答案】(1)4V10(2)3pcos0-psin0+12=0

【解析】

(1)令x=0,则/+1—2=0,解得t=-2或t=1(舍)，则y=2+6+4=12,即4(0,12).

令y=0,则f2-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍)，则x=2-2-4=—4,即8(-4,0).

\AB\=J(0+4产+(12—0)2=4V10；

(2)由(1)可知"相二言;二？，

则直线48的方程为y=3(x4-4),即3x-y+12=0.

由九=pcosO,y=psin。可得，直线48的极坐标方程为3pcos6-psin©4-12=0.

8.【2019年新课标3理科22］如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),B(V2,-),C(V2,—),D(2,n),

44

JI

弧砂，BC,而所在圆的圆心分别是(1,0),(1,(1,it),曲线"i是弧丽，曲线跖是弧死，曲线

必是弧丽.

(1)分别写出Mi,Mi,的极坐标方程；

(2)曲线/由A/i，区，河3构成，若点尸在朋1上，且|0尸|=百，求P的极坐标.

【答案】解：(1)由题设得，弧通，BC,而所在圆的极坐标方程分别为p=2cos0,p=2sin。，p=-2cos0,

则Mi的极坐标方程为p=2cos。，(0<0<J),皱的极坐标方程为p=2sin。，<6<^),

37r

M3的极坐标方程为「=-2COS0T(―<0<TT),

(2)设尸(p,0),由题设及(1)值，

若OWg全由2cos0=g得cos6=等，得。=看

若:<0<苧，由2sin0=g得sin0=^―,得。=今或g，

若4由-2cos0=g得cos8=—孚，得8=普，

jrrr27r57r

综上尸的极坐标为（百，或（8，T）或（V5,-）或（V5,—）.

6336

9.【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，。为极点，点〃（po,9o）（po>O）在曲线C：p=4sin0

上，直线/过点/（4,0）且与OM垂直，垂足为P.

（1）当。0=即寸，求po及/的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求尸点轨迹的极坐标方程.

【答案】解：（1）当a=轲,p（）=4si吟=2遮,

在直线/上任取一点（p,9）,则有pcos（。一搭）=2,

故I的极坐标方程为有pcos（8-号）=2；

（2）设P（p,。），则在RtZi。/尸中，有p=4cos。，

在线段上，.••。1：%

n7i

故尸点轨迹的极坐标方程为p=4cos。，0G[-,-].

r=i-t2

10.【2019年新课标1理科22】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为]"-'（/为参数）.以

坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos6+V3psin0+ll=0.

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到/距离的最小值.

【答案】解：（1）由|“一子了’（r为参数），得一号产，

）”_4ty_2t

V~1+?\2-,

两式平方相加，得尤2+4=1

；.C的直角坐标方程为好+4=1（xr-l）,

4

由2pcos0+V3psin0+11=0,得2x+V3y+11=0.

即直线l的直角坐标方程为得2x+V3y+ll=0；

(2)设与直线2x+V3y+11=0平行的直线方程为2%+V3y+m=0,

..vf2x4-V3y+m=0犯入2…，2―八

联ffV乂＜°/，得16x+4加什加-12=0.

(4x2+y2-4=0

由△=16〃/-64(m2-12)=0,得加=±4.

111-41

・・・当m=4时，直线2%+By+4=0与曲线C的切点到直线2%+V3y4-11=0的距离最小，为、*=

依+3

5.

11.【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xQy中，曲线Ci的方程为夕=碓|+2.以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos6-3=0.

（1）求Q的直角坐标方程；

（2）若G与C2有且仅有三个公共点，求。的方程.

【答案】解：（1）曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.

转换为直角坐标方程为：X2+/+2X-3=0,

转换为标准式为：（x+1）2+/=4.

（2）由于曲线。的方程为丁=«闵+2,则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0,2）.

由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.

所以：必有一直线相切，一直线相交.

则：圆心到直线y=fcv+2的距离等于半径2.

..12一川.一|2+川

故：/---彳=2,或「---=2

Vi+fc2Vi+fc2

解得：或0,

当％=o时，不符合条件，故舍去,

同理解得：左=g或。

经检验，直线y=gx+2与曲线C2没有公共点.

故。的方程为：y=-»|+2.

12.【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为1:二及既，（。为参数），直线

—irSLTlU

/的参数方程为3:江篙京—为参数）•

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.

【答案】解：⑴曲线c的参数方程为忧::需（。为参数），

2x2

转换为直角坐标方程为：77+—=1.

直线/的参数方程为忧I;;;:;（f为参数）.

转换为直角坐标方程为：xsina-ycosa+2cosa-sina=O.

（2）把直线的参数方程匕：；：；：鬻G为参数），

（y一乙十CoiTlu.

八、-口…（2+tsina）2（1+tcosa）2

代入椭圆的方程得到：-一一-^-4--——-―--=1

164

整理得：（4cos2a+sin2a）沁（8cosa+4sina）t-8=0,

则：ti+t2=—等苧岁竽，（由于八和，2为/1、8对应的参数）

"4cos£a+stn£a

由于（1,2）为中点坐标，

所以利用中点坐标公式S答=0,

则：8cosa+4sina=0,

解得：tana=-2,

即：直线/的斜率为-2.

13.【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，。。的参数方程为二;禽：，（。为参数），过点

（0,-V2）且倾斜角为a的直线/与。。交于4B两点.

（1）求a的取值范围；

（2）求4?中点尸的轨迹的参数方程.

【答案】解：（1）的参数方程为（0为参数），

-siiiu

.•.0。的普通方程为x2+6=l,圆心为0（0,0）,半径r=l,

当。=・时，过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/的方程为x=0,成立；

当aH齐寸，过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/的方程为了=12110（“一鱼,

:倾斜角为a的直线/与。。交于4,8两点,

二圆心O（0,0）到直线1的距离d=函

Jl+£a712a

/.tan2a>1,/.tana>1或tana<-I,

n7T7T37r

VaV-或一＜aV—，

4224

综上a的取值范围是G平）.

（2）/的参数方程为｛；二关；tsimf"为参数，汴书

设4B,尸对应的参数分别为〃，加，公则tp=^S，

且打，力满足产一2或tsina+1=0,

/.tA+5=2y/2sina,tP=V2sinaf

=tpcosa

,:P(x,j)满足

=—\[2-I-tpSina9

(42.

Ix=-^-stn29an37r

・・・48中点尸的轨迹的参数方程为：｛2,(a为参数,＜a＜一).

727244

Iy=——-----2~coso2a

14.【2017年新课标1理科22】在直角坐标系x0，中，曲线C的参数方程为｛；二:籍,，（。为参数），直线

/的参数方程为[二;（/为参数）.

（1）若。=-1,求。与/的交点坐标;

（2）若C上的点到/距离的最大值为旧，求a.

2

【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（。为参数），化为标准方程是：三+炉=1；

—siTiuy

a=-1时，直线/的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；

联立方程片+必=1,

（%+4y—3=0

（__21

解啜口或二F

V=25

7124

所以椭圆C和直线/的交点为（3,0）和（一为—）.

（2）/的参数方程（,为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0,

椭圆C上的任一点尸可以表示成P（3cos0,sin。），6G[0,2n）,

所以点P到直线/的距离〃为：

仁|3但。+常"a-4|=圆迎整厂年满足tamp。，且的〃的最大值为旧.

①当-a-4W0时，即a2-4时，

|5sin（0+（p）-a-4|W|-5-〃-4|=|5+a+4|=17

解得a=8和-26,4=8符合题意.

②当-a-4>0时，BPa<-4时

|5sin（e+<p）-a-4|<|5-a-4|=|5-a-4|=17,

解得a=-16和18,a=-16符合题意.

15.【2017年新课标2理科22】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线C1的极坐标方程为pcos6=4.

(1)"为曲线Ci上的动点，点P在线段上，且满足尸1=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方

程；

(2)设点/的极坐标为(2,g),点8在曲线C2上，求△048面积的最大值.

【答案】解：(1)曲线Ci的直角坐标方程为：x=4,

设尸(x,y},M(4,_po)>则一=Z,vo=

4yox

：|OM|OP|=16,

/.+y2j16+y()2=16,

即(/+小)(1+^2)=16,

/.x4+2x2y2+J?4—16x2,即(x2-^)2=16x2,

两边开方得：一+产;叙，

整理得:(x-2)2+/=4GK0),

二点户的轨迹。2的直角坐标方程：(x-2)2+y2=4(xWO).

(2)点”的直角坐标为月(1,V3),显然点/在曲线C2上，|。川=2,

，曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d=V4-1=V3,

的最大面积(2+VI)=2+71

16.【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xQy中，直线人的参数方程为;京；IC为参数)，直线

(x=­2+m

/2的参数方程为、,_血，(机为参数).设/1与/2的交点为P，当左变化时，P的轨迹为曲线C.

Ly-T

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，3：p(cos0+sin0)-e=0,〃为/3与C的

交点，求”的极径.

【答案】解：⑴♦.•直线/1的参数方程为「二丁，(，为参数),

・・・消掉参数，得：直线4的普通方程为：歹=左(x-2)①;

(x=­2+m

又直线/2的参数方程为”，(m为参数)，

rT

同理可得，直线/2的普通方程为：x=-2+0②：

联立①②，消去〃得：x2-y2=4,即C的普通方程为』-产=4(产包)；

(2)；/3的极坐标方程为p(cos0+sin0)—y/2=0.

...其普通方程为：x+y-&=0,

372

x+y=%x=-

联立2_21f-

xy=4汽

y=­T

.*2=/+/=竽+,=5.

；」3与C的交点M的极径为p=V5.

17.【2016年新课标1理科23】在直角坐标系X0中，曲线。的参数方程为普$讥C为参数，a

>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4cos0.

(I)说明Ci是哪种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程;

(H)直线。3的极坐标方程为。=ao,其中ao满足tanao=2,若曲线。与Q的公共点都在。3上，求

【答案】解S%:慎献得/胃鼠/两式平方相加得，热密75

・・・。为以(0,1)为圆心，以。为半径的圆.

化为一般式：f+f-2yH-q2=o.①

由工2旷=「2,j；=psin0,得p2-2psin8+l-a2=0；

(II)Q：p=4cos0,两边同时乘p得p2=4pcos。，

/.X2-F^2=4X,②

即(x-2)2+y2=4.

由C3：e=ao,其中ao满足tanao=2,得y=2x,

V曲线Cl与Cl的公共点都在。3上，

：.y=2x为圆Ci与C2的公共弦所在直线方程，

①-②得：4x-2y+l-/=(),即为C3，

/.1-〃2=0,

：.a=\(40).

18.【2016年新课标2理科23】在直角坐标系xOy中，圆。的方程为(x+6)2+/=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线/的参数方程是｛；二；；落（/为参数），/与c交与a8两点，\AB\=VTo,求/的斜率.

【答案】解：（I）•.•圆C的方程为（x+6）2+/=25,

1・12JCH1=0,

Vp2=x2+y2,x=pcosa,y=psina,

•*.。的极坐标方程为p2+12pcosa+11=0.

（II）•.•直线/的参数方程是眩二然;（f为参数），

益鼠代入y=/sina,得：直线/的一般方程n=1211。・工，

•：1与C交与A,8两点，\AB\=V10,圆C的圆心C（-6,0）,半径r=5,

圆心到直线的距离d=卜一（挈）2.

圆心C（-6,0）到直线距离公厂6tan：|二扇一？

Jl+tan2ayj4

解得tan2a=东；.tana=±=±三二

V15

."的斜率衣=土〒.

19.【2016年新课标3理科23】在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为俨=8的。改为参数），以

坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（。+/）=2或.

（1）写出。的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在Ci上，点。在C2上，求的最小值及此时尸的直角坐标.

【答案】解：（1）曲线Ci的参数方程为卜=Kc°sa（a为参数），

（y=sina

x2

移项后两边平方可得了+^2=cos2a+sin2a=1,

即有椭圆Cl：y+/-1；

曲线C2的极坐标方程为psin（6+^）=2也

即有p（~^-sin0+-^cosO）=2^2,

由x=pcos。，y=psin0,可得工到-4=0,

即有Ci的直角坐标方程为直线x+y-4=0；

（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，

|「。|取得最值.

设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t^0,

联立2:可得4X2+6ZX+3t2-3=0,

由直线与椭圆相切，可得△=36理-16(3/2-3)=0,

解得/=±2,

显然f=-2时，|尸。取得最小值，

即有早1=鱼，

V1十JL

Q

此时4/-12x+9=O解得

31

即为P(5，-).

另解：设尸(百cosa,sina),

由P到直线的距离为d=的纱甯咽二4J

v2

12s讥(a+^)-4]

=五'

当sin(a+J)=1时，|P0|的最小值为企，

31

此时可取a=*即有尸(-,-).

20.【2015年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，直线Ci：x=-2,圆C2：(x-1)2+(y-2)2=1,

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求Ci,C2的极坐标方程；

(II)若直线C3的极坐标方程为。=*(p€R),设C2与C3的交点为M,N,求aQ例N的面积.

【答案】解：(I)由于x=pcos。，y=psin。，Ci：x=-2的

极坐标方程为pcos9=-2,

故C2：(X-1)2+(y-2)2=1的极坐标方程为：

(pcosO-1)2+(psinO-2)2=L

化简可得p?-(2pcos0+4psin0)+4=0.

(II)把直线c3的极坐标方程。=今(PeR)代入

圆Q：(x-1)2+(y-2)2=1,

可得p?-(2pcos0+4psin0)+4=0,

求得pi=2VI,P2=42<

...|AfW=|pi-P2|=V2,由于圆C2的半径为1,：.C2MLCIN,

△CIMN的面积为》1•1=/

21.【2015年新课标2理科23】在直角坐标系x0y中，曲线Ci：1工；管:(f为参数，岸0),其中OWa

在以。为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Q：P=2sin0,C3：p=2V3cos0.

(1)求C2与。3交点的直角坐标；

(2)若。与C2相交于点Z,。与C3相交于点8,求|力用的最大值.

【答案】解：(/)由曲线C2：p=2sin0,化为p2=2psin6,

.*.x2+y2=2j\

同理由C3：p=2V3cos0.可得直角坐标方程：x2+y2=2V3x,

联立以二震「

解喉化:

...C2与C3交点的直角坐标为(0,0),(整，|).

(2)曲线。：匕二；：鬻G为参数，叱0),化为普通方程：尸xtana,其中OWaWn,W今a=?时，

—Lol/tCcLL

为x=0(y#0).其极坐标方程为：0=a(pER,pWO),

VJ,3都在G上,

••A(2sina,a),B(2y/3cosa,a).

A\AB\—\2sina—2yl3cosa\=4\sin(a—^)|,

当(？=猾时，|N5|取得最大值4.

22.【2014年新课标1理科23】已知曲线C：。+[=1,直线/：[=；+：,(f为参数)

(I)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程.

(H)过曲线C上任意一点P作与/夹角为30°的直线，交/于点4求|以|的最大值与最小值.

%2y2

【答案】解：(I)对于曲线C：—+—=1,可令x=2cos。、歹=3sin。，

49

故曲线C的参数方程为匕：及氏，(9为参数).

iy—osiiiu

对于直线/:产；+;幺，

{y=2-2t②

由①得：t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；

(II)设曲线C上任意一点P(2cos0,3sin6).

P到直线I的距离为d=恪\4cosd+3sin3-6|.

则上川=于票=卒|5$讥(9+&)-6|,其中a为锐角•

22V5

当sin(0+a)=-I时，|以|取得最大值，最大值为一^一.

2V5

当sin(0+a)=1时，|以|取得最小值，最小值为一丁.

23.【2014年新课标2理科23】在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

半圆。的极坐标方程为p=2cos。，9G[0,堂

(I)求C的参数方程；

(II)设点。在半圆C上，半圆C在。处的切线与直线/：丁=怎+2垂直，根据(1)中你得到的参数方

程，求直线CD的倾斜角及。的坐标.

【答案】解：(1)由半圆C的极坐标方程为p=2cos0,06[0,今，即p2=2pcos。，可得C的普通方程为(x

-1)2+)^—1(O0W1).

可得C的参数方程为£2：c°st('为参数，O&WTT).

(y—siTic

(2)设〃(1+cosf,sinf),由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，

•.•直线。的斜率与直线/的斜率相等，，tam=V5,t=J.

故。的直角坐标为(1+cos/sin?),即%,—

JJ22

24.【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为兽肥;(f为参数)，以坐标原点为极点，

(y=5+osint

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sine.

(1)把Ci的参数方程化为极坐标方程；

(2)求Ci与C2交点的极坐标(p'0，0^6<2n).

【答案】解：⑴将蓑黑;，消去参数/，化为普通方程(x-4)2+(厂5)2=25,

3十Doi/ic

即Cl：f+y2-8x-10八16=0,

将1瑞代入x*-8x-10刑6=0,

得p2-8pcos0-10psin6+16=0.

：.C\的极坐标方程为p2-8pcos6-10psine+16=0.

(2)曲线Ci的极坐标方程为p=2sin0.

曲线Ci的直角坐标方程为f+产-2y=0,

呜—俨+y2-8x-10y+16=0

(%2+y2-2y=0

解喉;或建,

•••Cl与C2交点的极坐标为(应，J)和(2,夕.

25.【2013年新课标2理科23】已知动点尸、。都在曲线C；仁然分邛为参数)上，对应参数分别为0

=。与0=20((0<a<2n),A/为尸0的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将“到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断"的轨迹是否过坐标原点.

【答案】解：(1)依题意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2案,

因此A/(cosa+cos2a,sina+sin2a).

M的轨迹的参数方程地：窸黑常为参数，0<«<2K).

(2)M点到坐标原点的距离d=J/+>2=+2cosa(0<a<2n).

当a=n时，<7=0,故A1的轨迹过坐标原点.

.・••，模拟好题］

1.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(a为参数)，直线/的参数方程为｛；二噂；

(f为参数)，设原点。在圆C的内部，直线/与圆C交于A/,N两点；以。为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系.

(1)求直线/和圆C的极坐标方程；

(2)求证：|0M『+|0N『为定值.

【答案】(1)。=彳(P6/?)；p2-(2acos0)p+a2-4=0.

(2)证明见解析.

【解析】

(1)将直线/的参数方程化为普通方程，得丫=，所以直线/的极坐标方程为O=：(peR)；

将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得(x-a)2+y2=4,所以圆C的极坐标方程为p2-(2acos8)p+a2-

4=0.

(2)证明：将6=会弋入p2—(2acos0)p+a?—4=0,得p?-aap+a?—4=0.

22=222

则Pi+P2=y/2a,p1p2=a—4»所以+\ON\=(Pi+P2)~2Plp2=(V2a)—2(a—

4)=8,

故|OM『+|ON|2为定值.

2.在直角坐标系x。，中，曲线C的参数方程为昼(。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2pcos0-V3psin0+11=0

(1)求曲线C的普通方程和直线，的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线/距离的最大值.

【答案】(1)(%—1)2+(y+V3)2=4;2x—V3y+11=0

(2)16夕+14

【解析】

(1)曲线C的参数方程为(9为参数)，

则曲线C的普通方程为(％—1)2+(y+遮)2=4,

将:pshif代入直线1的极坐标方程为2pcosJ-V3psin6+11=0，

可得直线I的直角坐标方程为2x-V5y+11=0；

(2)曲线C的普通方程为(x-l)2+(y+b)2=4,其圆心为(1,一百)，

圆心(1,一6)到直线2乂-By+11=0的距离为：d==竽，

故曲线C上的点到直线，距离的最大值为鳍+2=竺豆竺.

77

3.在平面直角坐标系xOy中，直线/过点4(-2,-4),倾斜角为a.曲线C的参数方程为｛(f为参

数).

(1)设。=？，P,。分别为直线/和曲线C上的两个动点，求|PQ|的最小值；

(2)若直线/和曲线C交于M,N两点，且|4M|,|MN|,|4N|成等比数列，求tana的值.

【答案】(1后2；

(2)-,或1.

【解析】

(1)当。=牛时，直线/的斜率k=tana=-1,

则直线I的方程为y+4=-(x+2),即x+y+6=0,

设Q(2t2,2t),则Q到宜线(的距离为d=邑"坦，

V2

又2t2+2t+6=2(t+1)2+y>y,所以dmin=,=竽，

即|PQ|的最小值为竽；

(2)由(t为参数)，得曲线C的普通方程为y2=2X,

由题意得直线I的参数方程为匕MI:篙:(t为参数)，

iy——41十LSinu

代入曲线C的普通方程得sin2at2-(8sina+2cosa)t4-20=0(sinaH0),

A=(8sina+2cosa)2—80sin2a>0,

由cosaW0,得1+8tana—4tan2a>0,

设M(—2+mcosa,-4+msina)、N(—2+ncosa,—4+nsina)»

mi,8sina+2cosa20一小

则m+九=----；-----,mn=—厂>0,

sin'asin'a

-22z22

又14Ml=7(2+mcosa4-2)+(44-msina-4)=y/m(cosa4-sina)=|m|,

同理,\AN\=|n|,\MN\=\m-n\9因为|AM|、|MN|、|AN|成等比数列,

2

所以=\AM\\AN\fBP|m—n\=|m||n|,

所以(m+n)2-4mn=mn,BP(m+n)2=5mn,

即(8sina+；co、a)2_化简得9sin2a—8sinacosa—cos2a=0,

sin'asinza

即9tan2a—8tana-1=0,解得tanatana=1,

当tana=-1时,1+8tana—4tan2a=^->0,符合题意,

当tana=1时，1+8tana—4tan2a=5>0,符合题意，

所以tana=-或tana=1.

4.在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为“2+(y—i)2=i.P为曲线Ci上一动点，且丽=2而，点Q的轨

迹为曲线C2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G，C2的极坐标方程；

(2)曲线C3的极坐标方程为p2=潟句，点”为曲线C3上一动点，求|MQ|的最大值.

【答案】(l)p=2sin0：p=4sin0

(2)5

【解析】

⑴由题意可知，将「二黛:代入必+(y-1)2=1得2=2sin0,

则曲线Cl的极坐标方程为p=2sin。，

设点P的极坐标为(Po,6o),则po=2sin0o,

点Q的极坐标为(P，。)，由的=2历得即轲=5。，

将［P°-2P代入po=2sin8()得p=4sin0,

I8=。0

所以点Q轨迹曲线。2的极坐标方程为P=4sin。；

2

(2)曲线C3直角坐标方程为5+y2=1,设点M(V^cosp,sinw),

曲线C2的直角坐标方程为d+(y—2)2=4,则圆心为N(0,2),

iMQlmax=|MN|max+2,

即|MN|=J(V2cos(p)2+(sin(p-2)2=J—sin2(p—4sin(p+6

当sin9=-l时，|MN|max=3，所以|MQ|max=3+2=5.

5.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为：(，为参数，ae(0,§)，以