六年级奥数第四讲几何平面部分教师版

aa学习必备aa

欢迎下载平知点一等模①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

S

S

B如右图:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，可知直线AB平行于CD．ACDBCD④等底等高两平四形面积相长方形和正方形可以看作特殊的平行四边)；

CD⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它的高之比．二鸟定两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应(等角或互补)夹边的乘积之比．如图在，D分别是,AC上点如图⑴或D在的长线上，E在AC)，则:AB):(ADAEABCADEADEB

C图⑴

图⑵三蝴定任意四边形中的比例关系(“蝴定理”：

D①S::或S②OC12蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系“梯形蝴蝶定理：①S:②:S:S:b::；③S的应份数为

AD

B

b

C四相模(一)金塔模型二沙漏模型

A

学习必备

欢迎下载EAD

EB

G

C

BG①

ADAEDE；ABACBC②:AG．ADEABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五燕定在三角形ABCAD相于同一点O么S:SBDDCAABO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段ABO和的形状很象燕子的尾巴以这个定理称为燕尾定理定理在许多几何题目中都有着广泛的运用它的特殊性在于它可以存在于任何一个三角形之中三角形中的

E三角形面积对应底边之间提供互相联系的途.典例

O【】如，方ABCD的边为，5CF长形EFGH的

B

D

C面为．

【解析】连DEDF则长方形EFGH的积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

DEF

1.5

,所长方形面为33【固如所，方ABCD的边为厘米长方EBGF的长G为厘，么长形宽几米

【解析】本主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相(长方形和正方形可以看特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．我通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一)．∵在正方形ABCD中

G

AB

边上的高，

BB学习必备BB

欢迎下载∴

S△ABG

12

S

ABCD

(三角形面积等于与它等底等高平行四边形面积的一)同理，

eq\o\ac(△,)ABG

12

．∴正方形ABCD与方形EFGB面相．方形的宽厘米．【】长形ABCD面为36，、F、G为边点H为AD边上意点问阴部面是少AHDE【解析】解法：寻找可利用的件，连接BH、HC，下图：A

HDE可得：

EHB

AHB

、

FC1S、CHB

，而

S36ABCDCHD即

DHG

1()362

；而

BHF

DHG

，阴影EBF

111BF)BC)4.5222

．所以阴影部分的面积是：

S阴

4.513.5解法二：特殊点法．找H的殊点，把点与D点合，那么图形就可变成右图：ADHEB

FC这样阴影部分的面积就是DEF的积，根据鸟头定理，则有：阴影

BEF

CFD

111111363613.5222222

．【固在长6厘的方ABCD内任一，将方的组边等，一对三分，别P点连,阴部分积

学习必备

欢迎下载()D

C

C

C【解析】（法1特殊点法．由于P是方形内部任意一点，可采用特殊点法，假P点与A点合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，以阴影部分面积为6

1)平厘米．6（法）连接PA、．由于PAD与PBC的积之和等于正方形ABCD面的一半以上两个阴影三角形的面积之和1等于正方形ABCD面的，理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面的，46所以阴影部分的面积为6

1)平厘米．4【】如所，方ABCD的影分面积和，AB，AD，四形的面为．AE

B

C【解析】利用形中的包含关系以先求出三角形AOE、DOG和边形的积之和，以及三角形和DOG的积之和，进而求出四边形EFGO的积．1由于长方形ABCD面积为15120，以三角形BOC的面积为1，所以三角形和43DOG的积之和为120；41又三角形AOE、DOG四边形EFGO面积之和为，以四边形的积为．另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积角形积角形BFD面白色部分的面积，而三角形面三角形面为长方形面积的一半即60色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1，所以边形的面积为6050【固如，方的面是，是的等点AEED，则阴部的积A

E

O

B

C

【解析】如图连接．

2253．2828CBF学习必备2253．2828CBF

欢迎下载根据蝴蝶定理，

1ON:ND:SS:1:1

，所以

1SOEN

；OMMAS:S4BAE

，所以

1S

OEA

．又

1矩形A

，

2SOEAOED

，所以阴影部分面积为：

113．25【】已ABC等三形面为，DE、F别三的点已甲、、丙积为，求影边的积(是角)A甲DIJB

HE

N丙

C【解析】因为D、E、F分为三边的中点，所以DEDF、是角形的位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和角形AMC的面积都于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有

S

ABC

丙

，即，以丙AMHN又，所以阴影ADF甲乙AMHN

丙AMHNS阴影甲乙丙

14

43

．【】如，知，DE，，FG，线将图形分两分左部面是38右部面是，么角的面积．A

AD

EF

D

EF

GB

B【解析】连接AF．根据题意可知，CF27；所以，

BEF

CBF

，

SS

7，SS，CBFAEGADGAED

，于是：

211565ADGCBF

；

3827

；可得

SADG

．故三角形ADG的积是．【】如在ABC，D别是AC上的点且:，:4:7，平方eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)米求ABC面．

学习必备

欢迎下载D

D

C

C【解析】连，S:SAD:AB:5(24)(5，:S::(7，所以S4):，设S份，则eq\o\ac(△,)S35份S16平厘米，所是厘米就是平厘米，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)的面积是eq\o\ac(△,)平方厘米．由我得到一个重的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应等或补角)两夹边的乘积之比．【固如，角ABC中，AB是的5倍是AE的3倍，果角的面等1那么角ABC的面是少A

D

E

B

C

C【解析】连．∵∴又∵AD∴S

，∴S

S

．【固如，角ABC被成甲阴影分、两分，BD，BE，，部面是部面的倍A

AB

E甲

乙

C

B

E

C【解析】连AD．∵BE，∴BE，S又∵DC，∴S，∴SS

，．【】如在ABC，D在BA的长线，E在AC上，AB5:，AE:，平厘米求ABC的面．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)DC

C

学习必备

欢迎下载【解析】连，S:SAD:2:AEAC(32):(3，所以:(32)25，S份则25，方厘米，所以份2方厘米，份就是50平厘米，ABC的积是方厘米．由我得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【】如，行边ABCD，，CF，GDDC，HA，行边ABCD的积，求平四形与四形EFGH的面比H

H

G

D

C

G

D

F【解析】连接AC、BD．据共角定理

F∵在ABC和△BFE中，ABC与FBE互，AB1∴eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．BE3又，以．同可S，S．△所以S15+3+236．eq\o\ac(△,2)eq\o\ac(△,)△所以．36【】如所的边的积于少

O

D

【解析】题中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形顶点逆针旋转，使长为13两条边重合，此时三角形OAB将转到三角形的位置这，通过旋转后所得到的新图形是一个边长12正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积因此，原来四边形的面积为12.(也可以用勾股定)【】如图示中，AB，BC，以为边外作方ACDE，中为O，求的面积

(cm学习必备(cmEOA3B

D

欢迎下载EOA3B5C

DF【解析】如图OAB沿O顺时针旋转90，到达的．由于ABC，90，以OCB180．而，所以，么B、C、三一条直线上．由于OBOF，，是腰直角三角形，且斜边BF为38，它的面积为82

14

16．5根据面积比例模型，的为1610．8【11如图，正形边AB为边正方内直三形，，AC、BD交于．已知、BE的分为5cm，求角的积CB

CO

O

FE

EDA

D

A【解析】如图接DE，点为心将顺针旋转90到位置．那么EAFEAB90也四边形AFBE是梯形，且AFAE3，所以梯形AFBE的面积为：135312(cm2

)又因为ABE是角三角形，根据勾股定理，AB12SAB17)．(ABD2

AE

BE

2

5

34所以那么所以

SS

BDE

SABD1S2

S

SABEADE2.52

)．

S

ABD

S

AFBE

125

(cm

)【12如下图，六边ABCDEF中，EDAFCD，EF，且AB平于ED，AF行CD，BC平于EF，对线FD垂直BD，已FD24厘，厘米，问边的面是少方米

BDFeq\o\ac(△,)ABCDCEFeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABC△△△eq\o\ac(△,)ABCFEFExyyBCCBDFeq\o\ac(△,)ABCDCEFeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABC△△△eq\o\ac(△,)ABCFEFExyyBCCBCDB

学习必备G

欢迎下载BA

A

CF

D

F

DE

E【解析】如，我们将BCD平使得与AF重，将平使与重，这样、BC都合到图中的了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然方形BGFD的积平方厘米，所以六边形ABCDEF的积为平厘米．【】如图，三形的积，是AC的中点点D在BC上，:，与于点F．则四形DFEC的积于．

A

D

F

B

F2D

E

C

BDS【解析】方一：连接CF，据燕尾定理，ABF，eq\o\ac(△,),DC2ECACF△CBF设S份则2份S，△ABFAEFEFC5所以S1212

份，如图所标方法二：连接，由题目条件可得到

eq\o\ac(△,)

1133

，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

121BF1，以eq\o\ac(△,)ABD，2FEeq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)ADE1122

，而

1

．所以则四边形DFEC面积等于．【固如，方ABCD的面是平厘，DEF是DG的点阴部的积多平厘?A

D

A

A

D

DB【解析】设

△

13F23xBGC份，则根据燕尾定理其他面积如图所示

5S12

平方厘.【】四边ABCD对线与BD交于点(图示)果角的面积等三形BCD的1积，且AO，DO那CO的度是DO的长的_________倍3

3BGC那么．GCE学习必备3BGC那么．GCE

欢迎下载

C

C【解析】在本中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不四边形外两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出件S:S3这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解．又观察题目中给出的已知条ABD件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改这个”不良四边形是可以作AH垂BD于H，CG垂BD于G，积比转化为高之．再应用结论：三角形高相同则积之比等于边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法生会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵:OC3∴OC，OC6:32:1．ABD解法二：作AHBD于，CGBD于．∵

1SSABD

1，∴AH，3

S

DOC

，∴AOCO，OC，∴:6:32:1．【固如，边被条角分个角，中个角的积知求⑴角BGC的面；:GC？

【解析】⑴据蝴蝶定理，S，么SBGC⑵根据蝴蝶定理，AG:GC

；【】如图平四形的角交O点，CEF、△OEF、△、△的面积次2、和．求：求的面；求的面．A

FB

C【解析】⑴据题意可知BCD的积为那么△BCO和CDO的面积都是16所△的积为⑵由于△BCO的积为，△BOE的积为6所以△OCE的积，根据蝴蝶定理，:FG:2COF113

，所以

S:EG2GCEGCF

，

长方ABCDS:3阴影长方ABCDS:3阴影阴影正方形

欢迎下载【】如图长形ABCD，BE:EC，DF:FC2，角的积方米求方形ABCD的面．A

G

A

G

B

E

C

B

E

C【解析】连AE，FE．因为BE:，DF:FC2，以

DEF

3)510

长方ABCD

．因为

AED

S

长方

，:GF:5:1，所以10

S10方厘米，所以GDDFS

AFD

12

平方厘米．因为

S

AFD

S

长方形ABCD

，所以长方形ABCD的积是方厘米．【17】如图正形ABCD面为平厘，M是AD边上中．图阴部分面．CG

M

D【解析】因M是边的中点，所以:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道:::S22::4，S份则eq\o\ac(△,)AMGeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABGeq\o\ac(△,)MCG△BCG△份，所以正方形的面积1份份所以，所以阴影

平方厘米．【固在图正形ABCD中是BC边的点AE与BD相交F点三形的面为1平厘米那正形ABCD面积方米AB

E

【解析】连接DE，根据题意可知:2，根据蝶理得

(平方厘米)，S

△ECD

(平方厘米，么

ABCD

(平厘米)．

所以根据蝴蝶定理，，故学习所以根据蝴蝶定理，，故

欢迎下载【】已知ABCD是行边，BC2，三形的积平厘．阴部的积是平厘．A

D

DOBE

OE【解析】连接AC．由于ABCD是行四边形，:CE3:2，以:AD2:3，根据梯形蝴蝶定理，S:::SCOEAOC方厘米，(平方厘米)，SAOD(平方厘米．

A

:3::6:，以S(平AOC69(平厘米)，阴影部分面积为AD【固右中ABCD是形是行边，知角面如所(单位：方米，阴影分的积平方米

B

C【分析】连接AE．于AD与是行的，所以也是梯形，那么

OCD

OAE

．根据蝴蝶定理，OCD(平方厘米．OCD

OCE

，故

2

，【固右中ABCD是形是行边，知角面如所(单位：方米，阴影分的积平方米A

A

O

CBCBE【解析】连接AE．于AD与是平行的，所以也是梯形，那么216OCDOAEOCEOAD

．SOCD

16

，所以S4(平方厘米．另解：在平行四边形中

ABED

(平方厘米，所以S(平方厘米，AOEADEAOD根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8(平方厘米．

学习必备

欢迎下载【】如图长形ABCD被、DF分成块已知中3块面分为、、平方米那余下四形面为__________平方米AE

F

BE

F

B2

25

?

5

?8

8【解析】连DE边为梯形以根蝴定理S，所以以(方厘)412(平方厘米)么长方形ABCD的积为平方厘米，四边形面积为(平方厘米)【】如图ABC是等直三形DEFG正形，段AB与CD相于K．已正形DEFG的面，:1:3，BKD的面积多？D

AGK

B

C

B【解析】由于DEFG是方形，所以DABC平，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，和11的面积相等的AK:KB1:3所ACK的积ABC面积的那么11面积也是面的．4由于ABC是腰角三角形，如果过A作的线为足，那么M是BC的点，而且AMDE可见的积都等于正方形DEFG面的一半所以的面积与正方形DEFG的积等，为．那么的积为．【】下图，边ABCD都边为的方形E、F、G、H分是，，，的点如左中影分右中影分面之是简数于．HDHD

n

，么()的值EGFCFC【解析】左右个图中的阴影部分都是不规则图形方便直接求面积观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG．AG与DE的交点为M．1左图中为方形，可知AMD的积为长方形AEGD面的，所以三角形的积为4

111．又左图中四个空白三角形的面积相等的，所以左图中阴影部分的面积1．248

学习必备

欢迎下载AADEG

N

GBBFC如上图所示，在右图中连接、EF．、的点为．可知∥且．么三角形BEF的面积为三角形ABC面的，以三角形的积为12

1111，梯形的积为．24828在梯形AEFC中，由于:AC，根据梯蝴蝶定理，其四部分的面积比：31，以三角形FN的积8124

，那么四边形的积1为．右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面1．8246那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为那么．

13:2，，3n2【】如图中，，FG，BC相行AD，则

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADE

S四边形DEGF

四边形FGCB

．

F

G

【解析】设S

份根据面积比等于相似比的平方，所以::AF，:SAD:AB9，因此S，S份进而，S份所以:S:D四边F四【固如，DE平，且AD，，，AC的．

3:5

【解析】由金塔模型得:AEDE:BC2:5，所以

AAC

D

E【固如，ABC中，DE，FG，，，互平，

F

GM

N

QB

C

Beq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABDBDF学习必备Beq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABDBDF

欢迎下载ADFMMP，:S::△ADE四边形DEGF形GNM四边形M

:四边形

．【解析】设S份△ADE同理有四边FGNM

:AD:AF24因eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)AFG份7份，S四边形NQP边形PQCB

4△份．

份进而有

四边形DEGF

份，所以有

△

:四边形D

:四边形FGNM

:四边形M

:S四边形PQCB

3:5:7【】如图已知方ABCD的长4，F是的中点是边上点且DE:1:3，AF与相于G，SA

AB

G

F

G

D

E

D

E

M

D

【解析】方法连接延，两条线交于点M构出两个沙漏以有CM:1:1，因此CM，根据有CE，根据另一个沙漏有::EM4:7，所以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)BG

44

eq\o\ac(△,S)

42．111方法二：连接AEEF分别求S4，S，△ABFAEF4据蝴蝶定理S:BG::，以．△ABF△AEF4【】如图示已知行边ABCD的面是1、是的点交于M求的积

F

D

I

A

H

E

C

BC【解析】解法：由题意可得，、是、AD的点，得EF/，FD:FH:HC，EB:CDBG:GD2所以CH:CF:2:3，并得G、H是BD三等分点，所以，所以:BM:MF2:3，以BM

BF，

11S22

ABCD

；又因为

BGBD，以

21

．解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，:BCAE:EB1:1，从而可以确定M的的位置，BM::IF，

25

，BG(鸟定)，可得

S

BMG

22153534

ABCD

130

622学习必备622

欢迎下载【】如图ABCD为方，NBFC且MN问边PQRS的面为少D

F

D

E

F

Q

S

M

A

PM【解析】(法)由AB/CD，

PCDC

MQMB，所以PM，又，以11MQMC，所以PQMCMCMC，以S占的，612所以2)(cm．61(法2)如图，连结，S(

)，RB2216而，所以，S(cm．ABEFEF331而S(

)，为，DC11所以MC则()，阴影部分积等于2S

42(cm

)．【】如右，角ABC中，:DC，CE:EA4:3，AF:．F

O

D

【解析】根燕尾定理得S:S:CD4:9::3:（都有AOB的积一所以找最小公倍数）所以:27:16AF:【点评】本题键把eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)AOB的积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【固如图三形ABC中，BD:DC3:，AE5:6，求AF:.F

O

D

【解析】根燕尾定理得S:BD15:20:AE:（都有AOB的积一所以找最小公倍数）

519学习必备519

欢迎下载所以S

:S

:18AF:FB【固如图三形ABC中，:DC，:CE4，求:FB.F

O

D

【解析】根燕尾定理得S:BD:CD:3:15:SAE:5::8（都有AOB的积一所以找最小公倍数）所以S:AF:FB【点评】本题键把eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)的积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【】如右三形中，:BD::3:2且角的积三形ABE的积_，三形AGE的积________三形GHI的面为_．

A

EF

GH

I

I

D

C

B

C【分析】连接、BI、CG．由于CE:AE2，以

2，故；根据燕尾定理，S:BD，S:CE:EA2所以:S:S::则，S；2248那么；59同样分析可得，则G:ES:S:EGEB::19，所以HE:::5:分可得:GI:ID10:5:4，555511所以S，S．101919【固如右三形，AF:DC:3:且角的面是1求三形的积AF

E

F

EI

G

I

GB

B

【解析】连，

份

学习必备

欢迎下载根据燕尾定理，:::4，SSBD2:eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)得(，()，则(份)，此eq\o\ac(△,),eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)S661同理连接、得eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,),,所以1919eq\o\ac(△,)三角形GHI的面积是1所三角ABC面积是19【固如图ABC中，CEEBAFFC那ABC面是影角面的

倍A

DG

F

I

H

IB

E

C

C【分析】如图连接．根据燕尾定理，:S:AD，:CF:2，2所以，S:S:S2:4，么，．172同理可知ACG的积也都等于面的，以阴影三角形的面积等于ABC面的7211，所以的积是阴影三角形面积的倍．77【固如在中，

DCFB,DBECA

△的面积△的面积

的．AE

E

F

FI

G

IGB

C

【解析】连接,设S根据燕尾定理S:SAF:,:S:DC:1,得S(份)，S4(份)则(，因此eq\o\ac(△,),同理连接AICH得S2271eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,),,所以S7【评果任意一个角形各边被分的比是相同的，那么在同样的位置的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我有对称法作辅助线【】如图三形ABC的面是，BD，，角ABC被成9部，写这9部的积是少?

5eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)四边M四边四边5eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)四边M四边四边154

欢迎下载AAG

F

PM

N

FB

DEC

B

DC【解析】设BGAD交点，BG交点QBF与AD交点与于点N．连接CP，CM．根据燕尾定理，S:::，:SBD:，(份，则eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)12(份，以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)232同理可得，,,而，以，．7735213123同理，,所以3521770

，3111S,,S3570363216【固如，面为1点D、E是BC边的等点点F、AC边的等点那四形JKIH的面是少C

C

J

J

G

E

G

EK

I

K

I

A

B

A

B【解析】连CK、、CJ．根据燕尾定理，S:S:BD，:S:CG，11所以:::那么，．73212类似分析可得S．1又SAF:CF，SSBDCD2:1，得S．那么，．2184根据对称性，可知四边形

的面积也为，那么四边形周围的图的面积和为

1761，以四边形的积为184153

61．7070【】右图ABC中G是中，D、E、F是BC边的等分，与交，AF与交，知△ABM的面积四形的面大7.2平方厘，的面是少平方米

528eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)528eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)521A

欢迎下载AN

G

N

GB

D

BDEFC【解析】连CM、CN．根据燕尾定理，S

:

△

:GC，S

:

1BD:CD，以；eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)再根据燕尾定理，:SAG:，所以::3，以△△142215AN:NF4:3，么eq\o\ac(△,)，所以S．4根据题意，有

15

eq\o\ac(△,)

57.2，得336平方厘)eq\o\ac(△,)【】如图面为l的三形中，、、F、G、I分是AB、BC、三分,阴影分积

D

I

D

I

H

M

HQ

F

【解析】三形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的点为MAF与的交点为BI与的点为PBI与CE的点为Q,连接AM、CP⑴求SABC中据尾定理:SAI:CIS:SAD:BD2DMI△△设S(份，则()S(份,S4(份,△eq\o\ac(△,)1所以，所以,,312所以

11),1212同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面的

⑵求

D

：在ABC中根据燕尾定理BF:2:AD:BD,eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)111所以,同理eq\o\ac(△,)33721在ABC中根燕尾定理:BF2,:S

△

AI2所以

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

1，以Seq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

形D

11S

同理另外两个五边形面积是积的

11113，所以S670【】如图面为l的三形中，、、F、G、I分是AB、BC、三分,中心边面.

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)

欢迎下载D

I

D

N

R

I

H

HM

S

G

C

F

C【解析】设黑色六个三角形的顶点分别为、R、P、、M，接在ABC中据燕尾定理，S:SBG:CG:1,:SAI2△222所以,同理77722所以，同理77

17根据容斥原理，和上题结果

11377010课练：练1.已DEF的面积7平方厘，CE,ADBD,AF，的积AFBE【解析】:BDBE):BC(11):(23)6:SCE:CA(1(24)3:8△:ADAF)((21):4)6份，则S4份4份S份△方米所以S平方厘米

247份恰好是平练2.

如，边EFGH的面是66平方，，DCCGHD，求边ABCD的积

C

C

F

F【解析】连接．共角定理得S::(CGCF)2，S△同理S:即Seq\o\ac(△,)所以S2()△△四边

△

△连接AC，同理以得到

形所以13.2平米四形

S

33515153351515'

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正形的面积平方厘，E是的中，是BC的中，边BGHF的积平厘．

D

AEGFBC

HFM【解析】欲求边形的积须求出和CHF的面积．由题意可得到：:EB:CD2，以可得：将、DF延交于M点可得：BM:DCMF:FD:FC

1S12而:HC:AB:，，251121而CFBC，所以S251AB12021177SS本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，定H的置也是FH:，同样也能解出．练4.

如，知ABAE，BCDC，，则

cm．CBC

A

E

D

A'

D

C'【解析】将三形绕A点C点别顺时针和逆时针旋转，构成三角AEC'和'DC，连接'，显然AC'，'C，'CAC'，以ACA''是方形．三角形AEC和三角形A'DC关于正方形的中心中对，中心对称图形'C中如等量关系：所以

；；．'

S50cm

．练5.

如，方ABCD面是120平方米E是AB的中，F是的点四形BGHF的面积_____平厘．

正方形学习必备正方形

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