全等三角形一线三等角模型的综合应用原卷版+解析版

专题一线三等角模型的综合应用原卷版

模型说明

应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

题型精讲

例1.（标准“K”型图）在中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C且月于。，8ELMN于E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①A加八4CEB；@DE=AD+BE-,

⑵当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE;

⑶当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问力E、AD,BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证

明.

例2.（做辅助线构造“K”型图）已知：中，ZACB=90°,AC=CB,D为直线上一动点，连接力D，在直

线力。右侧作＞1E_L4D，S.AE=AD-

（1）如图1,当点D在线段上时，过点E作EHJ.4C于H,连接DE.求证：EH=AC；

（2）如图2,当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交Q4的延长线于点求证：=

（3）当点D在直线庭上时，连接8E交直线力。于〃，若24c=5CM,请求出普丝■的值.

例3.（“K”型图与函数综合）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,0）,点B为y轴正半轴上的一个动点，以8为直

角顶点，＞18为直角边在第一象限作等腰用AXBC.

⑴如图1,若QF=3,则点C的坐标为；

⑵如图2,若第=4,点D为Q4延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰连接力E，

求证：AE1AB;

⑶如图3,以8为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰放a。".连接斯，交V轴于点P，求线段现＞的长度.

例4.（特殊“K”型图）（1）如图1,在△A8C中，zBAC=9O°,48=AC,直线〃i经过点A,8。_1_直线〃?，（?七，直

线“，垂足分别为点。、E.求证：AABD^△CAE；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线〃7上，并且有NBD4=NAEC

=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论公△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是。，A,E三点所在直线机上的两动点（D,A,E三点互不重合），点F为NBAC平

分线上的一点，且△ABF和△AC尸均为等边三角形，连接BD,CE,若NBD4=NAEC=ZBAC,求证：4DEF是等

边三角形.

迁移应用

1.在△ABC中，ZACB=90",AC^BC,直线MN经过点C,且AQ_LMN于。，BELMN于E.

w

【感知】

（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证AAOgACEB（不需要证明），进而得到。E、AD.BE之间的数

量关系为.

【探究】

（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD—BE.

（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出QE、AD.BE之间的数量关系.

2.探究：（1）如图（1）,已知：在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直线〃?经过点A,BZ）J_直线〃?，CEJ■直线m,

垂足分别为点。、E.请直接写出线段BO,DE,CE之间的数量关系是.

拓展：（2）如图（2）,将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=AAEC=ABAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,

请说明理由.

应用：（3）如图（3）,£>、E是D、A、E三点所在直线〃?上的两动点（。、A、E三点互不重合），点尸为NB4C平分

线上的一点，且△AB尸和AACF均为等边三角形，连接B。、CE,若NBD4=NAEC=NB4C,请直接写出AOE尸的形

3.（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=CA,直线经过点C,过A作于

D,过8作BEADED于E.求证：△BE6△CDAx

（2）模型应用：

①已知直线），=；x+3与y轴交于A点，与x轴交于8点，将线段A8绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC,过点A,

C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点，B的坐标为（8,6）,4,C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点£>

在第一象限，且是直线y=2r-5上的一点，若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条

件的点。的坐标.

4.（1）课本习题回放："如图①，ZXC®=90°,AC=BC,ADLCE,BEICE,垂足分别为D，E，AD=2.5cm,

D£=1.7cm.求BE的长"，请直接写出此题答案：BE的长为.

（2）探索证明：如图②，点8，C在的边■、AN±.,月&=4C,点E，产在内部的射线RD上，

且NBED=々CFD=ZBAC.求证：LABE^LCAF.

（3）拓展应用：如图③，在中，AB=AC,.点D在边EC上，CD=2班，点E、F在线段RD上,

ZBED=^CFD=ZBAC.若毋出。的面积为15,则与ARDE的面积之和为.（直接填写结果，不需要

写解答过程）

5.如图，线段AB=6,射线BGLAB,P为射线BG上一点，以4P为边做正方形APCZ）,且点C、。与点8在AP两侧,

在线段OP上取一点E,使得NE4P=NBAP,直线CE与线段AB相交于点尸（点尸与点A、B不重合），

（1）求证：AAE的△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

6.如图，在AABC中，AB=4C=2,N8=40。，点力在线段BC上运动（。不与B,C重合），连接AO,作N4DE=

40。，Z）E交线段AC于E.

（1）当NBOE=115。时，ZBAD=。，点D从B向C运动时，ZBAZ）逐渐变（填"大"或"小"）；

(2)当。C等于多少时，AASZ坦△DCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，AAOE的形状也在改变，判断当等于多少时，4AOE是等腰三角形.

(1)如图①，若点C的横坐标为5,求点8的坐标；

CD

(2)如图②，若X轴恰好平分/班C,8。交x轴于点M，过点C作⑵lx轴于点D,求f的值；

AM

(3)如图③，若点A的坐标为点8在V轴的正半轴上运动时，分别以。5、为边在第一、第二象限中作

等腰尺AC0尸，等腰尺△四£,连接廖交y轴于点P，当点8在y轴上移动时，阳的长度是否发生改变？若不变求用

的值；若变化，求明的取值范围.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知/a。、5(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.

(1)如图1,若4、6满足9-4)?+环3=0，以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角AABC,则

点C的坐标是()；

(2)如图2,若a=b，点。是24的延长线上一点，以。为直角顶点，班为直角边在第一象限作等腰直角ABDE，

连接力封，求证：ZABD=ZAED；

(3)如图3,设4B=c,/四O的平分线过点D(2,-2),直接写出"b+c的值.

专题一线三等角模型的综合应用解析版

模型说明

应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

题型精讲

例1.（标准“K”型图）在AAFC中，ZACB=90°,AC=BC,直线例N经过点C且月5_1_砂于O,郎_1_®于£.

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AM八△CM@DE=AD+BEi

（2）当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

⑶当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OE、A。、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证

明.

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析

（^）DE=BE-AD（或者对其恒等变形得到＜2?=EE-DE，BE=AD+DE））证明见解析

【解析】⑴解：BELMN^=90°=ZCE5,

：.ACAD+ZACD=9G0,4BCE+乙ACD=90。,:.ACAD=ZBCE,

'ZCAD=ZBCE

「在iMDC和ACSB中，NADC=ZCEB,LADC^LCEBCAAS）；

AC=BC

②"DCwACEB,:.CE=AD,CD=BE,DE=CE+CD=AD+BE

（2）证明：-.-ADLMN,:ZADC=NC£B=N4CB=90。，:.^CAD=Z£CE,

ZCAD=ZBCE

:在和ACO中，NADC=ZCEB,:."DCw&CEB^AAS）；:,CE=AD,CD=BE,

AC=BC

-DE=CE-CD=AD-BE-,

⑶证明：当初过旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，8E所满足的等量关系是：DE=EE-RD或RD=即+DE或

BE=AD+DS-

理由如下：;ADLMN,BELMN,ZADC=^CEB=ZXCB=90%:.Z.CAD=ZBCE,

ZCAD=ZBCE

丫在iMDC■和ACO中，ZADC=ZCEBLADC=LCEB（AAS）,：,CE=AD^CD=BE，

AC=BC

DE=CD-CE=BE-AD（或者对其恒等变形得到AD=BE+DE或BE=AD+DE）.

例2.（做辅助线构造“K”型图）已知：AXBC中，ZACB=90°,AC=CB,D为直线上一动点，连接力D，在直

线力。右侧作力且力下=火£）.

（1）如图1,当点D在线段上时，过点E作£H±4C于H,连接DE.求证：EH=AC；

（2）如图2,当点D在线段BC的延长线上时，连接8E交G4的延长线于点求证：BM=EM^

（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线RC于〃，若24c=5CM,请求出25■的值.

44

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2或1

37

【详解】证明（1）..FE_L火D，463=90。，

•••Z£4ff=90°-ZC4D,ZADC=90°-ZCAD,：,^EAH=ZADC,

（ZAHE=ZACB=90°

在6核与△1DG4中，\^EAH=ZADC,AAHE^ADC^AA^）,:.EH=AC；

[AE=AD

（2）如图2,过点E作即_L47,交C4延长线于N,

AELAD^ZACB=90°,

ZEW=900-ZCAD,ZADC=90°-Z.CAD,：,ZEAN=ZADC,

fZ^VE=Z2?C4=90°

在与△DG4中，\^ENA=ZACD,:.AANE^ADCA(AAS),：,EN=AC,

M=HD

又.；AC=BC,..加=EC,

[4即而=/BMC

又在®河与A5cM中，\ZN=ZBCA=90°A£WA5O/(A45),则笈M=小;

\BN=BC

（3）如图，当点。在线段BC上时,

.・.247=5CW,・••可设力。=5i，CM=2a,

由(1)得：AAHE^ADCA,则4N=CD,EH=AC=BC=5a,

由丁ASBf=ZBJf=90°，乙的1C=乙的1H,--AMHE^AMCBCAAS),：.CM=HM,

即加=0^=2a，「.AH=AC—CH一册=3a-2a-2a=a，:AM=AH+HM=3afCD=AH=a

c^-BDxAC]x4ax5aA

2*，=2________=2_________=2

EH=AC=5a,BD=BC-CD=4a,c113

2△曲-AMxEH±x3ax5a'

22

如图，点D在CB延长线上时，过点E作双14C,交工。延长线于曾,

・「24C=5CM,•••可设力。=5[，CM=2a,

•••加J_4C，AEIAD^ZANE=/LEAD=AACB=90°，

Z£4AT=90°-ZC4D,ZADC=90°-ZCAD,:.Z£AN=ZADC1

fZAM?=ZDCA=90Q

在AJIWE与△DC4中，\zENA=XACD，:.AANE注△DCA(AAS)，：.EN=AC,AN=CD,

\AN=AD

义AC=BC,:.国=BC，

[4EMN=4BMC

又在&EiW与A5CM中，jZAf=Z5C4=90°,:.AENM^ABCM(AAS),..CM=NM=2a,

\EN=BC

NE=BC=AC=3a，AN=AC+CH+KN=，

S^-BDxAC；x4ax5a4

AM=AC+CM=la,A/f=CD=9a.BD=4a,=-^------------=j-----------=-

-AMxENLx7ax5a'

22

点D在&。延长线上，由图2得：AC<CM，,24c=5CW不可能，故舍去

S44

综上：尹5■的值为：或2

$337

例3.(“K”型图与函数综合)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,。)，点8为V轴正半轴上的一个动点，以8为直

角顶点，为直角边在第一象限作等腰汝A的C.

(2)如图2,若第=4,点D为Q4延长线上一点，以D为直角顶点，即为直角边在第一象限作等腰MABDE，连接力E，

求证：AE1AB;

⑶如图3,以8为直角顶点，0B为直角边在第三象限作等腰R/aQBF.连接斯，交V轴于点P，求线段的长度.

【答案】⑴点C(3,7)；(2)证明见详解过程；⑶2.

【解析】⑴如图1,过点C作CH±y轴于H,

ZCHB=4A8C=NAOB=90°,：.ZBCH+4HBC=90°=NHBC+ZABO,：.ZA80=NBCH,

(ZCffB=ZAOB

在AABO和ABCH中，\ZBCH=ZABO,：.AABO^BCH(AAS),CH=OB=3,BH=AO=4,

[BC=AB

；.0H=7,；.点C(3,7),答案为：(3,7)；

(2)过点E作轴于F,

ZEFD=ZBDE=4800=90°,，ZBDO+AEDF=90°=ZBDO+NDBO,：.ZDB0=AEDF,

(ZB0D=^EFD

在△BOO和△OFE中，\ZDBO=ZEDF,BOD^△DFE(AAS),；.8O=Z)F=4,0D=EF,

[BD=ED

•.,点A的坐标为(4,0),，0A=0B=4,.1NBAO=45°,

O4=DF=4,0AAF=EF,：.ZEAF=NAEF^45°,/.ZR4E=90°,，BA±AE；

(3)过点C作CGJLy轴G,

图3

由（1）可知：4AB8△BCG,：.BO=GC,AO=8G=4,

BF=BO,NOBF=90。，：.BF=GC,NCGP=NFBP=90。,

又丫ZCPG=NFPB,：.ACPG^△FPB（AAS）,/.BP=GP,：.BP弓BG=2.

例4.（特殊“K”型图）（1）如图1,在△ABC中，ZBAC^90°,AB=AC,直线机经过点4,8O_L直线机，。日_1_直

线机，垂足分别为点。、E.求证：AABZ坦△CAE；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有NBD4=NAEC

=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△AB8△C4E是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点（D,A,E三点互不重合），点尸为NBAC平

分线上的一点，且△A8F和△ACF均为等边三角形，连接80,CE,若N8OA=NAEC=N2AC,求证：△£>£：下是等

边三角形.

c

图1图2图3

【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解

【详解】（1）证明：TBDJ.直线加，CgJ_直线次，:/血l=NCEA=90°,

■.■ZBAC=90°,NBAD+NCAE=90°,

-,-ZBAD+ZABD=90°.:.Z.CAE=ZABD,

（ZABD=^CAE

在LADB和ACE4中，jZBDA=NCEA,LADB^KCEAAA^）■

[AB=AC

解：（2）成立，理由如下：-.■ZBDA=ZBAC=a,

ND历1+ZBAD=ABAD+NC4E=180。-a，:乙CAE=ZABD,

（ZABD=^CAE

「在AADB和ACE4中，ixBDA=ZCEA,

\AB=AC

（3）证明：・•,AABF和△ACF均为等边三角形，

BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=60<>,.­.zBDA=Z.AEC=^BAC=12O",

/皈+©0=血10+/例=180。-120。，，NCAE=ZABD,

LADB^b,C&AiAAS）,/.AE=BD>

ZFBD=/.FBA+Z.ABD,Z.FAE=Z.FAC+ZCAE,:.Z_KBD=Z.FAE>

ADBF丝A£4F（SAS）,；.FD=FE/BFD=ZAFE,

Z5E4=ZSFD+Z.DFA=^AFE+Z.DFA=Z.DFE=60°,

…DFE是等边三角形.

迁移应用

1.在△ABC中，ZACB=30°,AC=BC,直线MN经过点C,且A£>J_MN于。，BELMN于E.

用①图②图③

【感知】

(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△AO8ACEB(不需要证明)，进而得到OE、AD,3E之间的数

量关系为•

【探究】

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE-AD-BE.

(3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，直接写出。E、AD,8E之间的数量关系.

【答案】(1)DE=AD+BE；(2)见解析；(3)DE=BE-AD{^AD=BE-DE,BE=AO+£)E等)

【详解】解：(1)证明：,.,43_LDE,BEJ.DE,ZADC=ZBEC=90",

•••ZACB=90",：.ZACD+ABCE=90°,DAC+AACD=90°,：.^DAC=ABCE,

(ZCDA=ZBEC

在△AZ)C和中，\ZDAC=ZECB,ADC^ACEB(AAS),AD^CE,CD=BE,

[AC=BC

;DC+CE=DE,DE=AD+BE.

(2)证明：BELMN,

•/N4DC=NCEB=90。,

又「ZACB=90°,ZCAD+zACD=90°,ZACD+zBCE=90°.：.ZCAD=ABCE.

•••4C=BC,△A£)8△CEB.・.CE=AD,CD=BE,..DE=CE-CD=AD-BE；

(3)DE=BE-AD,理由：/BE±ECfAD±CE,

：.Z4QC=NBEC=90°,

/.ZEBC+ZECB=90°,

・•.ZACB=90°,

•・NECB+NACE=90°,

ZACD=NEBC,

在△AQC和△CEB中，

fZACD=ZCBE

ixADC=ZBEC,

[AC=BC

△ADC^△CEB(A4S),

AD=CEfCD二BE,

/.DE=CD-CE=BE-AD(或AD=BE—DE,8E=AO+QE等).

2.探究：(1)如图(1),已知：在△A5C中，ZBAC=90°fAB=ACf直线历经过点A,8。_1直线机，直线机，

垂足分别为点。、E.请直接写出线段2。，DE,CE之间的数量关系是.

拓展：(2)如图(2),将探究中的条件改为：在AABC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=^AEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,

请说明理由.

应用：（3）如图（3）,。、E是£＞、A、E三点所在直线机上的两动点（。、4、E三点互不重合），点F为N5AC平分

线上的一点，且△ABF和AAC尸均为等边三角形，连接8£）、CE,若NBD4=NAEC=NB4C,请直接写出ADE尸的形

状是_________________.

△CEF是等边三角形

【详解】（1）解：如图1,

图1

8。_1直线m,CE_L宜线m,：.zBDA=Z.CEA=90

ZBAC=90°,zBAD+^CAE=90Q

NBAD+Z.480=90°,ZCAE=ZABD,

f^BDA=ZCEA

在AADB和ACEA中，\zCAE=ZABD,

[AB=AC

△ADB^△CEA(/LAS),：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CEi故答案为：DE=BD+CE

(2)解：如图2,

图2

ZBDA=4BAC=a,；.ZDBA+NBAD=4BAD+ZCAE=180°-a,，ZDBA=ZCAE,

卜BDA=NCEA

在AAOB和ACEA中，izCAE=XABD,

\AB=AC

AADB^ACEA(AAS),：.AE=BD,AD^CE,：.DE^AE+AD=BD+CE^

（3）证明:如图3,

•；AABF和△ACF均为等边三角形，J.NABF=NCAF=60。，BF=AF,

ZDBA+Z.ABF—Z.CAE+Z.CAF,ZDBF=Z.FAE,

\BD=AE

■：在408尸和△E4尸中，\^DBF=ZFAE,：.△DB0△EAF(SAS),

[BF=AF

DF=EF,ZBFD=/AFE,：.ZDFE=tDFA+AAFE=^力物+NBFD=60°,

iOE尸为等边三角形.

3.(1)模型建立，如图1,等腰直角三角形A8C中，NACB=90。，CB=CA,直线EQ经过点C,过A作A£>_LE£>于

D,过8作BELED于E.求证：△BE8△CDA；

(2)模型应用：

①已知直线y=,x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段A8绕点B逆时针旋转90度，得到线段8C,过点A,

C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形ABC。，。为坐标原点，B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上，P是线段8C上动点，已知点。

在第一象限，且是直线y=2t-5上的一点，若△AP。是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接'

件的点D的坐标.

、，▲尸2r・5/

匕cD

图1图2图3

=-1x+3⑶⑴)或(9J3)或弓，争

【答案】(1)见解析；(2)7=；

【详解】解：(1)由题意可得^ACB=£ADC=£BEC=^,

乙EBC+NBCE=NBCE+NACD=9丫，：.NEBC=ZACD,

ZEBC=ZACD

在△砒1c和ACZM中NE=ND一♦.⑷S)；

BC=AC

（2）过点C作⑵J_x轴于点D，如图2,

令x=0可求得J=3,ACW=3.8=4

同（1）可证得&。£厉逐ABQ/1,

CD=BO=4,班=40=3,r♦8=4+3=7,C(-7,4)且力(0,3),

设直线AC解析式为『=h+3,把C点坐标代入可得_7工+3=4,解得上=_；,

•••直线AC解析式为丁=-；1+3；

过点D作DE_L。力于E，过点〃作3_LBC于F,

同理可得：△HED组△DFP

设D点坐标为,则HE=25b=6-(2r-5)=ll-2x,

•-DE+DF=EF=BC,即ll-2x+x=8,解得x=3,

可得D点坐标（3,1）：

如图3,当NAPQ=90。时，AP=PD，

过点尸作EE1Q4于E,过点。作D9_LPE于F，

设点P的坐标为曲m）,同理可得：AAPE^PDF,

PF=AE=6-m,Db=PE=8,，。点坐标为+..m+8=2Q4-nj)-5,得加=5,

二。点坐标(9J3)；如图4,当N"*=90。时，力D=PD时，同理可得△儿DE9ZkD印，

设久乩25-5),则"=郎=*05=2M-5,AE=DF，则DF=4E=2"一5-6=2n-ll,

io2310,

DE+DF=EF=OC=Z,A«+2M-11=8,解得n=手，2n-5=丁，二D点坐标(可，二

图4

综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9J3)或„).

4.(1)课本习题回放："如图①，ZXC®=90°,AC=BC,AD1CE,BEICE,垂足分别为D，E，＞lD=2.5an,

DE=1.7cm.求8月的长"，请直接写出此题答案：8E的长为.

(2)探索证明：如图②，点R,C在的边儿M、AN上,点E，F在NMW内部的射线力D上，

且/BED=/CFD=ZBAC.求证：LABE^LCAF.

(3)拓展应用：如图③，在A4B。中，AB=AC,点D在边上，CD=2ED,点E、产在线段rD上,

Z5£D=ZC5D=Z£4C.若A4B。的面积为15,则AA4与ABDE的面积之和为.(直接填写结果，不需要

写解答过程)

【答案】（1）O.Stvn；（2）见解析（3）5

【详解】解：(1)BEJ.CE,ADX.CE,：.Z£=ZADC=90°,/.ZEBC+ABCE=9Oa.

(ZE=^ADC

N8C£+N4C£>=90°,，NE8C=NOCA.在△CEB和△ADC中，jZEBC=ZDCA

[BC=AC

ACEBWAADC(AAS),BE=DC,CE=AD=2.5cni.

DC—CE-DE,DE=1.7cm,DC—2.5-1.7=0.8cm,BE=0.8cm,答案为：0.8c7〃；

(2)证明：=Z8E4=N4FC.

•1,Z1=ZABE+Z.3,Z3+z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

r.NBAC=NA8E+N3,，N4=NABE.

•••ZAE8=NAFC,ZABE=Z4,AB=AC,△ABE^△CAF(.AAS).

M

A

(3)ZBED=^CFD=ZBAC

ZABE+NBAE=NFAC+ABAE=NfAC+ZACF,：.ZABE=NCAF,ZBAE=NACF

又月B=4C,△ABE^△CAF,冬版"Sq.

也4b'与加KDE的面积之和等于AWE与ABDE的面积之和，即为△A8。的面积,

CD=2BD,△AB力与△AC力的高相同，则皿=；品加「=5

故也4c了与的面积之和为5,故答案为：5.

B

BC

D

5.如图，线段4B=6,射线BG_LA8,P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APC。，且点C、力与点B在AP两侧,

在线段QP上取一点E,使得NE4P=NBAP,直线CE与线段AB相交于点F（点尸与点A、B不重合），

（1）求证："E和△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）zUE尸的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）CFJ.AB,理由见解析；（3）是，为16.

【详解】解：（1）证明：••,四边形APCD正方形，，OP平分NAPC,PC=PA,N4PC=90。,

•.ZAPE=NCP£'=45",

fAP=CP

在△△《「与^CEP中,\zAPE=^CPE,AAEP^△CEP(SAS)；

[PE=PE

(2)CFS.AB,理由如下：I，△AEP^△CEP,：.ZEAP=4ECP,

■：ZEAP=ZBAP,---ZBAP=^FCP,：ZAPC=90°,：.ZFCP+ZCMP=90°,

•••ZAMF=ACMP,ZAMF+APAB=90Q,：.ZAFM=90°,CFrAB-

(3)过点C作CNLPB.

•••CFJ.AB,BG±AB,：.ZPNC=N8=90°,FCWBN,

ZCPN=ZPCFMEAP=APAB,

XAP=CP,APC冶AAPB(A4S),CN=PB=BF,PN=AB,

'：AAEP^ACEP,AE=CE,

：.AAEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16.

故AAEF的周长是否为定值，为16.

6.如图，在AABC中，AB=AC=2,N8=40。，点。在线段8c上运动(。不与8,C重合)，连接AO,作NA£>E=

40°,OE交线段AC于E.

(1)当NBOE=115。时，ZBAD=。，点。从B向C运动时，NBA。逐渐变(填"大"或"小")；

(2)当。C等于多少时，AABD^△DCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，△4OE的形状也在改变，判断当NBA。等于多少时，AACE是等腰三角形.

【答案】（1）65°，大；（2）DC=2；（3）30。或60°.

【详解】解：（1）•.2班次=115。，ZADE=40°,

ZBDA=ZBDE-^ADE=115°-40°=75°,

ABAD=180°-ZB-ABDA=180°-75°-40°=65°,

当点。从8向C运动时，NBA。逐渐变大.

故答案为：65。，大：

（2）当PC=2时，4ABD空&DCE,

理由如下：

AB=AC=2,N8=40°

:.4=N8=40。，

ZADE=40。，

又,,,ZB+ZBM=NQC=NADff+Z££C,

:2BAD=ZEDC，

在△月即和AZX花中,

f^BAD=ZEDC

\AB=DC,

ZB=ZC

.-.A力班WADCE(ASA)；

(3)当乙皿得度数为3011或60。时，AJIDE是等腰三角形.

理由如下：

■,-ZC=Z5=40°,AZBAC=180°-(ZC+ZB)=100°,

•••/g£=/。=40°,ZA£D>ZC,

"DE为等腰三角形时，只能是RD=DE或为E=DE，

当4D=DE时，ZIWE=ZD£4=l(180o-40o)=70o,

ZBAD=ZBAC-Zm(7=100°-70°=30°,

当£4=ED时，ZADE=ZDA£=40°,..ZA£D=180o-40o-40o=100°,

ZBAD=ZBAC-ADAC=100°-40°=60°,

综上所述，当NEXT得度数为30。或60。时，AME是等腰三角形.

（1）如图①，若点C的横坐标为5,求点8的坐标；

（2）如图②，若X轴恰好平分NR4C,8。交X轴于点〃，过点C作⑵lx轴于点3,求K的值；

（3）如图③，若点A的坐标为（-4,0）,点8在V轴的正半轴上运动时，分别以08、再8为边在第一、第二象限中作

等腰尺A湖，等腰尺△阳£,连接E9交y轴于点p,当点8在y轴上移动时，阳的长度是否发生改变？若不变求用

的值；若变化，求用的取值范围.

【答案】（1）（0,5）（2）9（3）不变，等于2.

【详解】解：（1）如图1,作CO_L8O于。，

NCBO+N480=90°,NABO+NBAO=90°,...NCBO=N8A。,

fZBOA=ZBDC=90°

在△48。和△BCD中，ixCBD=ZBAO,△ABO^BCD(A4S),

\AB=BC

，C£）=B0=5,r.8点坐标（0,5）；

则4c=/a,「AM(即x轴)平分N84C,:.也=空=也,

(2)设A8=8C=m即MC=^BM,

MCAC1

••-8c=8M+MC=a,

-1

解得8M=(72)“，MC=(2-五)a,则AM=＜加+琢1fl=44-2尤°，

•••ZA8M=NCDM=90°,azAM8=NCMD,：.RmABM-Rt4CDM,

CDa-Q-&)ai

些二组,即。=丝色

CDCMAM二吟

（3）阳的长度不变，理由如下：如图3,作EG_Ly轴于G,

图3

•「N840+/084=90°,NOBA+，EBG=90°,；.NBAO=NEBG,

fZXOB=ZBG5=900

在△和A中，△△：

BAOEBG\ZBAO=ZEBG,/.BAO^EBG(AAS)9.BG=AO,EG=OB,

\AB=BE

•1,OB=BF,/.BF=EG,

\ZEPG=ZFPB

在4£GP^AF5P中，jz5GF=Z^P=90o,△EGP^△FBP(A45),

\EG=BF

:.PB=PG,：.PB=1-BG=^-AO=2.

22

8.如图，在平面直角坐标系中，己知如6、5（08）分别在坐标轴的正半轴上.

（1）如图1,若〃、人满足（a-4）?+廊寿=0，以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角AASC,则

点C的坐标是（）；

（2）如图2,若a=b，点。是。4的延长线上一点，以。为直角顶点，叨为直角边在第一象限作等腰直角ABDE，

连接火E，求证：ZABD=ZAEDi

（3）如图3,设月E=c,乙15。的平分线过点D（2,-2）,直接写出"匕+c的值.

【答案】（1）点C的坐标是（3,7）；（2）见解析；（3）a-b+c=4

【详解】解：（1）I,（a-4）?+=

r.a=4,2?=3,Q4=4,OB=3,

过点C作⑵1『轴于点D，

•••AX5c为等腰直角三角形,

BA=BC,ZABC=90°,

^CBD+ZABO=90°,

ZABO+ZBAO=900,

匕C