（浙江专版）2023高考数学一轮复习第9章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型教师用书

PAGEPAGE1第五节古典概型1．根本领件的特点(1)任何两个根本领件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本领件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的根本领件只有有限个．(2)每个根本领件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个根本领件的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的根本领件的个数,根本领件的总数).1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽〞属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽〞．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面〞“一正一反〞“两个反面〞，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)以下试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1C．2 D．3B[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()【导学号：51062346】A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).]4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).应选C.]5．甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．eq\f(1,3)[由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3×3＝9种方法，其中同色的有3种情况．所以所求事件的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).]简单古典概型的概率(1)(2022·舟山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.eq\f(5,21) B.eq\f(10,21)C.eq\f(11,21) D．1(2)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为______．(1)B(2)eq\f(5,6)[(1)从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)＝105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,4)－C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).][规律方法]1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算根本领件总个数n；(2)计算事件A所包含的根本领件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2．确定根本领件个数的方法：(1)根本领件较少的古典概型，用列举法写出所有根本领件时，可借助“树状图〞列举，以便做到不重、不漏．(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算根本领件．[变式训练1](1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)(2)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是________．(1)C(2)eq\f(5,6)[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件eq\x\to(A)＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]古典概型的概率公式的应用某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.【导学号：51062347】[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).3分因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).6分(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.那么P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).10分由互斥事件的概率加法公式可知，P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故所求事件的概率为eq\f(4,5).15分[规律方法]1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．[变式训练2]某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图9­5­1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：图9­5­1①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16.3分(1)记“xy≤3”为事件A，那么事件A包含的根本领件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).6分(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.那么事件B包含的根本领件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).9分事件C包含的根本领件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).12分所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.15分复杂的古典概型在一次大型运动会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x<y〞．求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．[解]总的根本领件有Ceq\o\al(2,9)＝36(个)，记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x＋y<17，其中x<y〞，可知事件A共含有15个根本领件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者〞记作事件B，那么事件B为“x<y≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个.13分故P(A)＋P(B)＝eq\f(15,36)＋eq\f(10,36)＝eq\f(25,36).15分[规律方法]1.此题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．在求根本领件总数和所求事件包含的根本领件数时，要保证计数的一致性，就是在计算根本领件数时，都按排列数求，或都按组合数求．[变式训练3]将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个为奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.【导学号：51062348】[解]一颗骰子先后抛掷2次，有6×6＝36个根本领件.2分(1)记“两数中至少有一个为奇数〞为事件B，那么事件B与“两数均为偶数〞为对立事件，记为eq\o(B,\s\up8(－)).又eq\o(B,\s\up8(－))发生时，有m＝Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,3)＝9个根本领件.4分∴P(eq\o(B,\s\up8(－)))＝eq\f(m,36)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，那么P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up8(－)))＝eq\f(3,4).因此，两数中至少有一个奇数的概率为eq\f(3,4).6分(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，那么eq\o(C,\s\up8(－))表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部〞.8分又事件C包含根本领件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8个.10分∴P(C)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9)，从而P(eq\o(C,\s\up8(－)))＝1－P(C)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为eq\f(7,9).15分[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个．2．确定根本领件的方法(1)当根本领件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，它们是否是等可能的．课时分层训练(五十六)古典概型A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)C[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.那么在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba因此2本数学书相邻的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中的概率为()【导学号：51062349】A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)B[设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]3．(2022·绍兴模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，假设卡片按从左到右的顺序排成“1314”，那么孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12)C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)A[先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.∴共有4×3×1＝12种不同排法．又卡片排成“1314〞只有1种情况，故所求事件的概率P＝eq\f(1,12).]4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()【导学号：51062350】A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)D[4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).]5．如图9­5­2，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，那么至少有两个数位于同行或同列的概率是()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))图9­5­2A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(1,14) D.eq\f(13,14)D[从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).]二、填空题6．在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(nπ,3)，n＝1，2，3，…，10))))中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx＝eq\f(1,2)的概率是________.【导学号：51062351】eq\f(1,5)[根本领件总数为10，满足方程cosx＝eq\f(1,2)的根本领件数为2，故所求概率为P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).]7．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么logab为整数的概率是________．eq\f(1,6)[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．eq\f(1,3)[记“两人都中奖〞为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]三、解答题9．(2022·浙江五校联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运发动组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运发动的人数；(2)将抽取的6名运发动进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到〞，求事件A发生的概率．[解](1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运发动人数分别为3,1,2.5分(2)①从6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.10分②编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).15分10．(2022·浙江湖州检测)一个盒子里装有假设干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．假设从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为eq\f(1,3)；假设一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为eq\f(10,11).(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个？(2)假设一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.【导学号：51062352】[解](1)设该盒子里有红球m个，有白球n个，根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,m＋n)＝\f(1,3)，,1－\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))＝\f(10,11)，))4分解方程组得m＝4，n＝8，∴红球4个，白球8个.7分(2)设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数〞为事件A，那么P(A)＝eq\f(C\o\al(3,8)＋C\o\al(2,8)·C\o\al(1,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(42,55)，1