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PAGEPAGE7第七节三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例[考纲]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图371①).①②图3712.方位角和方向角(1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图371②).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°等.1.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“√〞,错误的打“×〞)(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,那么α,β的关系为α+β=180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).()(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)如图372,为了测量隧道口AB的长度,可测量数据a,b,γ进行计算.()图372[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,那么BC等于()【导学号:66482179】A.10eq\r(,3)nmile B.eq\f(10\r(,6),3)nmileC.5eq\r(,2)nmile D.5eq\r(,6)nmileD[如图,在△ABC中,AB=10,∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°,∴eq\f(BC,sin60°)=eq\f(10,sin45°),∴BC=5eq\r(,6).]3.假设点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,那么点A在点B的()【导学号:66482180】A.北偏东15° B.北偏西15°C.北偏东10° D.北偏西10°B[如下图,∠ACB=90°,又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°,∴点A在点B的北偏西15°.]图3734.如图373,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,那么电视塔的高度是()【导学号:66482181】A.100eq\r(2)m B.400mC.200eq\r(3)m D.500mD[设塔高为xm,那么由可得BC=xm,BD=eq\r(3)xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m).]图3745.如图374,A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,那么A,B两点的距离为()A.50eq\r(3)mB.25eq\r(3)mC.25eq\r(2)mD.50eq\r(2)mD[因为∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠B=30°.由正弦定理可知eq\f(AC,sinB)=eq\f(AB,sinC),即eq\f(50,sin30°)=eq\f(AB,sin45°),解得AB=50eq\r(2)m.]测量距离问题如图375,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,那么河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,eq\r(3)≈1.73)图37560[如下图,过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.在Rt△ADC中,由AD=46m,∠ACB=30°得AC=92m.在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92m,由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)=eq\f(BC,sin∠BAC),得eq\f(92,sin113°)=eq\f(BC,sin37°),即eq\f(92,sin67°)=eq\f(BC,sin37°),解得BC=eq\f(92sin37°,sin67°)≈60(m).][规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要以下三步:(1)根据题意,画出示意图,并标出条件;(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形),通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;(3)检验解出的结果是否符合实际意义,得出正确答案.[变式训练1]江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,那么两条船相距________m.【导学号:66482182】10eq\r(3)[如图,OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=eq\f(\r(3),3)×30=10eq\r(3)(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=eq\r(900+300-2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))=eq\r(300)=10eq\r(3)(m).]测量高度问题(2022·湖北高考)如图376,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,那么此山的高度CD=______m.图376100eq\r(6)[由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600m,故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)=eq\f(BC,sin30°),解得BC=300eq\r(2)m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)=100eq\r(6)(m).][规律方法]1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角.2.分清条件与所求,画出示意图;明确在哪个三角形内运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识.[变式训练2]如图377,从某电视塔CO的正东方向的A处,测得塔顶的仰角为60°,在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°,AB间的距离为35米,那么这个电视塔的高度为________米.图3775eq\r(21)[如图,可知∠CAO=60°,∠AOB=150°,∠OBC=45°,AB=35米.设OC=x米,那么OA=eq\f(\r(3),3)x米,OB=x米.在△ABO中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即352=eq\f(x2,3)+x2-eq\f(2\r(3),3)x2·cos150°,整理得x=5eq\r(21),所以此电视塔的高度是5eq\测量角度问题在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离A处(eq\r(3)-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多长时间?[解]设缉私船t小时后在D处追上走私船,那么有CD=10eq\r(3)t,BD=10t.在△ABC中,AB=eq\r(3)-1,AC=2,∠BAC=120°.3分根据余弦定理,可得BC=eq\r(\r(3)-12+22-2×2×\r(3)-1cos120°)=eq\r(6),由正弦定理,得sin∠ABC=eq\f(AC,BC)sin∠BAC=eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(2),2),∴∠ABC=45°,因此BC与正北方向垂直.7分于是∠CBD=120°.在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=eq\f(BDsin∠CBD,CD)=eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)=eq\f(1,2),∴∠BCD=30°,又eq\f(CD,sin120°)=eq\f(BC,sin30°),即eq\f(10\r(3)t,\r(3))=eq\r(6),得t=eq\f(\r(6),10).∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花eq\f(\r(6),10)小时.12分[规律方法]解决测量角度问题的考前须知(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意,分清与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为解三角形的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂〞使用.图378[变式训练3]如图378,位于A处的信息中心得悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.[解]在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=20eq\r(7).4分由正弦定理,得eq\f(AB,sin∠ACB)=eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB=eq\f(AB,BC)·sin∠BAC=eq\f(\r(21),7).8分由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,那么cos∠ACB=eq\f(2\r(7),7).由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=eq\f(\r(21),14).12分[思想与方法]解三角形应用题的两种情形(1)量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时
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