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文档简介
应用探索例
(2019江苏盐城三模,20)某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草
莓,其中AB=99m,AD=49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜
大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料
薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每
两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=
1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元.(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低.(π取3.14)
解题导引(1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求
出每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含
与地面接触的面).(2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为rm,由已知条件知,n个半圆柱型大
棚间有(n-1)个1米宽的空地,分析出n,r之间的关系,即2nr+(n-1)×1=99,再把
r用n表示出来,将总建设造价均用n表示,求出费用关于n的函数关系,再求
其取最小值时n的值.解析设每个半圆柱型大棚的底面半径为rm.(1)当n=20时,共有19个空地,所以r=
=2,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为πr2+πr·AD=π×22+2π×49.5=103π(m2).(2)设两项费用的和为f(n)元.因为r=
=
,所以每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=πr2+πr·AD=π×
+π×49.5×
,则f(n)=10nS+31.4×1×49.5(n-1)=10n
+31.4×1×49.5(n-1)=31.4×
=
×
=
×
=
×
.因为
+n≥2
=20,所以,当且仅当
=n,即n=10时,
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