进阶练习第29课时课题学习最短路径问题

第29课时课题学习：最短路径问题进阶练习【学科】数学【学段】初中【年级】八【分册】上册第一部分：基础练习一．【选择题】1.【题干】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）【选项】A.B.C.D.【答案】D【解析】解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小.【错因标签】选A：对称点错误选B：连线错误选C：概念混淆【知识点】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．【难度系数】简单2.【题干】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）【选项】A. B． C． D．【答案】D【解析】利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．故选：D【错因标签】选A：性质理解错误选B：性质理解错误选C：概念混淆【知识点】本题考查了轴对称﹣最短路径问题【难度系数】简单3.【题干】如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）【选项】A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．解：连接CF，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB=EC，当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，∴EF+BE的最小值为6，【错因标签】选A：不理解题意选B：不理解题意选C：不理解题意【知识点】轴对称:最短路径问题等边三角形的性质．【难度系数】中等4.【题干】如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）【选项】A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角D．两点之间，线段最短【答案】C【解析】将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．【错因标签】选A：审题错误选B：审题错误选D：审题错误【知识点】轴对称:最短路径问题【难度系数】简单5.【题干】如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（）【选项】B.5C.6D.7【答案】C【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到MP=MP1，NP=NP2，于是△PMN周长可转化为P1P2的长．解：∵P与P1关于OA对称，∴OA为PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，P与P2关于OB对称，∴OB为PP2的垂直平分线，∴NP=NP2，∴△PMN周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=6．【错因标签】选A：不理解题意选B：不理解题意选C：不理解题意【知识点】轴对称:最短路径问题【难度系数】简单6.【题干】如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）【选项】A．100m B．1200m C．1300m D．1700m【答案】C【解析】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，作DB′=CA′，且DB′⊥CD，∵DB′=CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四边形A′B′BA是矩形，∴B'A'=CD，在Rt△BB′A′中，连接A′B′，则BB′=BD+DB′=1200，BA′==1300（m）．【错因标签】选A：计算错误选B：计算错误选D：计算错误【知识点】轴对称﹣最短路径问题【难度系数】中等7.【题干】如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不再同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）【选项】A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】D【解析】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），∴B′点坐标为：（﹣4，0），AE=5，则B′E=3，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=4，∴点C′的坐标是（0，4），此时△ABC的周长最小．故选：D．【错因标签】选A：转化错误选B：转化错误选C：转化错误【知识点】轴对称：最短路径问题坐标与图形性质．【难度系数】一般8.【题干】如图，已知在平面直角坐标系中，C是x轴上的点，点A（0，1）、B（3，3）．则AC+BC的最小值是（）【选项】A．10 B．5 C．4 D．2【答案】B【解析】解：如图所示：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点C，则C即为所求点，即当三点在一条直线上时有最小值，即AC+BC=A′B==5．故选：B．【错因标签】选A：转化错误选C：转化错误选D：计算错误【知识点】轴对称：最短路径问题坐标与图形性质【难度系数】简单二．【填空题】1.【题干】．如图所示，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（5，3），点C为x轴上一动点，则AC+BC的最小值为．【答案】5【解析】解：如图，过A点作关于x轴的对称点D，连接BD与x轴交于点C，此时AC+BC=DC+BC=BD，根据两点之间线段最短可知BD的长就是AC+BC的最小值；过B作AD的垂线于点E，∵点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（5，3），∴BE=5﹣2=3，DE=1+3=4，∴利用勾股定理，BD==5∴AC+BC的最小值为5，故答案为5．【错因标签】①转换错误【知识点】轴对称：最短路径问题坐标与图形性质【难度系数】一般2.【题干】如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣4，4）、点B的坐标是（2，5），在x轴上有一动点P，要使PA+PB的距离最短，则点P的坐标是．【答案】【解析】：作点A关于x轴的对称点A1（﹣4，﹣4），连接A1B交x轴于P，∵B的坐标是（2，5），∴直线A1B的函数解析式为y=+2，把P点的坐标（n，0）代入解析式可得n=﹣．∴点P的坐标是．【错因标签】①转化错误②计算错误【知识点】轴对称：最短路径问题坐标与图形性质【难度系数】一般三．【解答题】1.【题干】如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，在AC上确定一点P，使PE+PB最短，请在图上画出点P的位置（保留作图痕迹）．【答案】如图：点P为所求【解析】解：连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，由对称的性质可得，PB=PD，故PE+PB=DE，由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值．故点P即为所求．【错因标签】画图错误【知识点】轴对称：最短路径问题【难度系数】一般第二部分：思维练习【题干】如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）【选项】A． B． C． D．【答案】A【解析】解：分别求出各选项答案，由题意，选项D不符合题意．选项A管道长为8km，选项B的管道长为km，选项C的管道长为10km，所以选项A管道的长最短，故选：A【错因标签】选B：计算错误选C：计算错误选D：不符合题意【知识点】轴对称：最短路径问题垂线段最短．【难度系数】中等2.【题干】如图，OA=2，OA与x轴负半轴的夹角是60°，点A关于y轴的对称点是点A′，点P是x轴上一动点，当PA+PA′的值最小时，点P的坐标是（）【选项】A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，0） D．（，0）【答案】C【解析】解：∵OA=2，OA与x轴负半轴的夹角是60°，∴A点的坐标为（﹣1，），∴A′的坐标为（1，），A″的坐标为（﹣1，﹣），设直线A′A″的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线A′A″的解析式为y=x，令y=0，则x=0，∴P的坐标为（0，0）．故选：C．【错因标签】选A：概念性错误选B：概念性错误选D：概念性错误【知识点】最短路径问题坐标与图形性质【难度系数】中等3.【题干】如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（）【选项】A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解析】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°﹣2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故选：A．【知识点】最短路径问题【难度系数】中等4.【题干】由方程组可得出与的关系式是（）【选项】A.B.C.D.【答案】A【解析】在中，把②代入①得：，即.【错因标签】选B：代值错误选C：代值错误选D：代值错误【知识点】代入法消元.【难度系数】中等5.【题干】若，则（）【选项】A.－1B.1C.D.【答案】A【解析】∵，∴解得：∴【错因标签】选B：计算错误选C：计算错误选D：计算错误【知识点】解二元一次方程组；二次根式和绝对值的非负性；乘方；【难度系数】中等6.【题干】方程组的解x与y的值相等，则k的值为()【选项】A.1或－1B.1C.－1D.5或－5【答案】B【解析】由题意得，解得.【错因标签】选A：计算错误选C：计算错误选D：计算错误【知识点】二元一次方程组的解；解三元一次方程组【难度系数】中等7.【题干】已知关于x，y的方程组的解为3x＋2y＝14的一个解，那么m的值为()．A.1B.－1C.2D.－2【答案】C【解析】由题意得，解得.

由，得：，把代入3x+2y=14，得：9m﹣2m=14，∴m=2．故选C．【错因标签】选A：计算错误选B：计算错误选D：计算错误【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组【难度系数】中等8.【题干】如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（）【选项】，4B.4，10C.3，10D.10，3【答案】A【解析】把代入方程得，解得再把代入，得，故选A.【错因标签】选B：计算错误选C：计算错误选D：计算错误【知识点】二元一次方程组的解.【难度系数】中等二．【填空题】1.【题干】已知是二元一次方程组的解，则_________.【答案】3【解析】把代入方程组得，①－②得，即.【错因标签】①概念性错误②计算错误③缺整体思想【知识点】方程的解；消元思想；整体思想.【难度系数】中等2.【题干】已知是方程组的解，则代数式的值为_____．【答案】－8【解析】把代入方程组得解这个二元一次方程组得所以【错因标签】①概念性错误②计算错误【知识点】方程组的解；解二元一次方程组；求代数式的值【难度系数】中等3.【题干】已知，满足方程组，则代数式_____．【答案】－3【解析】②－①得所以【错因标签】①计算错误②整体思想意识不足【知识点】整体思想；解二元一次方程组【难度系数】中等4.【题干】已知方程组，不解方程组，则3a＋b的值为________．【答案】7【解析】观察方程组特点与所求代数式，可知方程组两式相加得3a+b=7．【错因标签】①计算错误②缺整体思想【知识点】整体思想；解二元一次方程组【难度系数】中等5.【题干】,那么=_________,=________【答案】7，2【解析】由非负数性质可得②－①得，得把代入①，解得【错因标签】①理解错误②计算错误【知识点】非负数的性质；解二元一次方程组【难度系数】中等6.【题干】方程有_____个解，有______个正整数解，它们是_________【答案】无数；3；，，【解析】当没有条件限制时，因可以对取任意值，所以二元一次方程的解有无数个；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝2；当x＝3时，y＝1所以方程有3个正整数解，分别是，，【错因标签】①枚举法不全【知识点】二元一次方程的整数解【难度系数】中等三．【解答题】1.【题干】解方程组【答案】【解析】①×6－②×10，得，解得把代入①，得因此方程组的解是【错因标签】①计算错误②缺消元思想【知识点】解二元一次方程组【难度系数】中等2.【题干】解方程组【答案】【解析】整理得③×3+④×2得，解得把代入③，得因此方程组的解是【错因标签】①计算错误②消元技巧不熟练【知识点】解二元一次方程组【难度系数】中等3.【题干】解方程组：【答案】【解析】①＋②，②+③，得到新的方程组整理得④－⑤得把代入⑤，得，解得把，代入①，得，解得因此方程组的解是【错因标签】①计算错误②等式的性质不熟练【知识点】解三元一次方程组【难度系数】中等第三部分：拓展练习一．【选择题】1.【题干】二元一次方程中非负整数解的个数是（）【选项】A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵在方程中，当时，；当时，；当时，；当时，；∴方程的非整数解有3个.故选C.【错因标签】选A：计算错误选B：计算错误选D：计算错误【知识点】二元一次方程组的整数解【难度系数】困难2.【题干】已知实数x，y，z满足，则代数式3x﹣3z+1的值是（）【选项】A.－2B.2C.－6D.8【答案】A【解析】②−①得：3x−3z=−3，则原式=−3+1=−2.故选A.【错因标签】选B：计算错误选C：计算错误选D：计算错误【知识点】解三元一次方程组；整体思想【难度系数】困难3.【题干】为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）【选项】支B.9支C.7支D.4支【答案】D【解析】解：设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙种钢笔有z支，则其中x=11，x=9，x=7时都不符合题意；x=4时，y=4，z=4符合题意．故选D．【错因标签】选A：计算错误选B：计算错误选C：计算错误【知识点】三元一次方程组的应用；整数解【难度系数】困难4.【题干】关于x、y的方程组有正整数解，则正整数a的值为()【选项】A.1或2B.2或5C.1或5D.1或2或5【答案】A【解析】∵两式相加有（1＋a）y＝6，又∵方程组有正整数解，且a为正整数，∴a的可能值为5，这时y＝1，这与y－x＝1矛盾，舍去；可能值还有a＝2或a＝1，这时y＝2或y＝3与y－x＝1无矛盾．∴a＝1或2．故选A．【错因标签】选B：试值错误选C：试值错误选D：试值错误【知识点】二元一次方程组的整数解【难度系数】困难5.【题干】在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（）【选项】A.，，B.，，C.，，D.不能确定【答案】B【解析】由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得c=-2，且3a+2b=22①，由于乙看错c，但依然是的解，所以-2a+6b=22②，解由①②构成的方程组可得a=4，b=5.故选B.【错因标签】选A：概念性错误选C：概念性错误选D：概念性错误【知识点】二元一次方程组的解【难度系数】困难

6.【题干】在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（）【选项】A.，，B.，，C.，，D.不能确定【答案】B【解析】由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得c=-2，且3a+2b=22①，由于乙看错c，但依然是的解，所以-2a+6b=22②，解由①②构成的方程组可得a=4，b=5.故选B.【错因标签】选A：概念性错误选C：概念性错误选D：概念性错误【知识点】二元一次方程组的解【难度系数】困难7.【题干】设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前面两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（）.【选项】A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】设圆为x，三角形为y，正方