单质点地震作用计算的计算方法

单质点地作用计算的算方法所谓单质点弹性体质指以结构参与振动的全部质量集中于一点无量的弹性直杆支承于地面上的结构例水单层房屋等建筑物由于它们的质量大部分集中于结构的顶部，所以通常将这些结构简化成单质点体系前计算弹性体系的反应时一假定地基不产生转动把基的运分解为一个竖向和两个水平向的分量后别计算这些运动分量对结构的影响．主要内：

1．自由度弹性体系地震反应析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。2．计算水平地震作用关键在于出地震系数k和动力系数β。一、地震概述地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产生的一种地壳振动现象。据统计，地球上每年约有15万次以上或大或小的地震。人们能感觉到的地震平均每年达三千次有很大破坏性的达100次每次中等程度的地震就会造成重大损失和人员伤亡究震的危害和抗震的方法极有必要前经研究到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用些究都离不开单质点地震作用的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。二.震危害

直接年2月15日疆乌什发生6.2级震，经济损失达15757.43万元，主要是土木结构的房屋破坏严重近，云南洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城严的财产损失和人员伤亡目前灾受伤群众为３００余人中３人死亡县（）房屋受损严重木结构房屋墙体倒塌较多混结构房屋普遍出现墙体开裂重柱移位。作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。三、单质点弹性体系的地震反应目前我国和其他许多国家的抗设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用种算理论是根据地震时地面运动的实测纪录过计算分析所绘制的加速在算中通常采用加速度相对值反应谱曲线为据的所加速度反应谱曲线就单质点弹性体系在一定地震作用下最反应加速度体系自振周期的函数曲线果已知体系的自振周期那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题且一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。1．运动方的建立为了研究单质点弹性体系的地震反应们首先建立体系在地震作用下的运动方程2-1表单质点弹性体

系的计算简图。H

•••••••••••••••••••图2-1单质点弹性体系计算简图由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方:mt)+(t)+(t)t)

(2-3)其中(t)表地面水平位移是时间函数的变化规律可自地震时地面运动实测记录求得；x(t)表质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间t的函数，是待求的未知量。若将式2-3)与动力学中单质点性体系在动荷载

F(t

作用下的运动方程mx(t)+xt)kxt)=()

(2-4)进行比较，不难发现两个运动方程基本相同，其区别仅在于2-3)等号右边为地震时地面运动加速度与质量的乘积；而(等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等x(t)，向地面运动加速度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度x(t)的化规律，g而x(t)可地震时面加速度记录得到。g为了使方程进一步简化，设

=

k

(2-5)ζ=

c

=

cω

(2-6)将上式代入(2-3)，经简化后：xt)ζ(t)ω

xt)t)

(2-7)式2-7)就是所要建立的单质点性体系在地震作用下的运动微分方程。2．运动程的解答式2-7)是一个二阶常系数线性齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者代表自由振动，后者代表强迫运动。（）齐分方程的通解为求方程(2-7)的全部解答，先论齐次方程x(t)+ζωxt+2(t)的通解。由微分方程理论可知，其通解为：

(2-8)式中

ω'=-

x(t)=eζωsinω(2-9)；B为常，其值可由问题的初始条件确定。当阻尼力为0时式(2-9)变：

••••••••x••••••••x()(t)•••xt)=ωt+ωt

(2-10)式2-10)为无阻尼单质点体系自振动的通解示点做简谐振动里

=/m

为无阻尼自振频率。对比(2-9)和(2-10)知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动，其振动频率为

ω'ωζ

，ω'称为有阻尼的自振率。根据初始条件t=0可确定常数A和B，t=0和A=

(t)=(0)

代入式2-9)得为确定常数，对时间t求阶导数，并将，

x(t)=(0)

代入，得：=

x(0)+ω(0)将

、

值代入式(得t)e

ζωt

(0)ω't+

(0)+ζωω

sinω't

(2-11)上式就是式2-8)在给定的初始件时的解答。由

ω'ωζ

2

和

ζ2ω

可以看出，有阻尼自振频率

随阻尼系数

增大而减小，即阻尼愈大，自振频率愈慢。当阻尼系数达到某一数值c时，即rc=c=ω=r

(2-12)时，则的质量

'，表示结构不再产生振动。这时的阻尼系称临界阻尼系。它是由结构rm和刚度k决的，不同的结构有不同的阻尼系数。而ccζ=mr

(2-13)上式表示结构的阻尼系数与临界阻尼系数的比值ζ称临界阻尼比阻尼比。r在建筑抗震设计中，常采用阻尼比表结构的阻尼参数由于阻尼比ζ的很小，它的变化范围在0.01～0.1之此阻尼自振频率

ω'=ω-

2

和无阻尼自振频率很接近，因此计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。（）地用下运动方程的特进一步考察运动方程2-7)xt)+ζωxt)x(t)xt)可以看到方程与单位质量的弹体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同别在于方程等号右端为地震地面加速度

•，所以，在求方程的解答时，可将gg

看作是随时间而变化的单位质量的“扰力为了便于求方程(2-7)的特，们将“扰力”

x()g

看作是无穷多个连续作用的微分脉冲，如图2-2所示现讨论任一微分脉冲的作用。设它在

t=τ-d

开始作用，作用时间为dτ，此时微分脉冲的大小为

x(τ)dg

。显然，体系在微分脉冲作用

•••t••••t••••t•后仅产生自由振动。这时，体系的位移可按式(2-3)定。但式中的

x

和

x(0)

应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速度值。根据动量定理：x(0)x(ττ

图(2-14)将

x(0)

=0和

x(0)

的值代入式2-3)，可求得时间τ作用的微分脉冲所生的位移反应=e

ζ(t-τ)

x(τ)ω'

sinω'(-)τ

(2-15)将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加可得到全部加载过程所引起的总反应此，将式2-15)积分，可得时间t的移(t)=

1ω'

∫(τ)e

(t-τ)

sin'()τ

(2-16)上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅Duhamel积。它与齐次微分方程2-8)的通解之和就是微分方(2-7)的解但是于结构阻尼的作用由振动很快就会衰减，公式(的响通常可以忽略不计。分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度

(t)g

直接影响体系地震反应的大小；而不同频率（或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比ζ对系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。四、单质点弹性体系水平地震作用．水地作基公由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反，即Ft)mx(t)+x(t)

(2-17)式中

F()

为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。如果将式(2-3)代入式2-17)，考虑到

c(t)

远小于

(t)

而略去不计，则得：F(t)=kxt)mx(t)

(2-18)由上式可以看到，相对位移

xt)

与惯性力

F(t)

成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原因。将式(代式2-18)，并注到

ω

和

的微小差别，令

=

ω

，则得：F(tm∫(τ)eg0

ζ(-τ)

sinω(t-τ)d

(2-19)由上式可见水平地震作用是时的函它的大小和方向随时间t而变化在结构抗震设计中，并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。设F表水平地震作用的最大绝对，由(2-19)：

t•t•a•••••t•t•a•••••或

ζ(tτ)Fm∫()e=mSa

(t-)dτ

(2-20)(2-21)这里

=ω∫(τ)eg0

ζ(tτ)

sinω(t-τ)d

max

(2-22)令

xa

gx

g

maxmax代入式2-21)，并以

Ek

代替

F

，则得：=mkkEk

(2-23)式中－水平地震作用标准值；－质点加速度最大值；Ek

max

－地震动峰值加速度；k

－地震系数；β－力系数；G－建筑的重力荷载代表值（标准值式2-23)就是计算水平地震作用基本公式此可见作用在质点上的水平地震作用，关键在于求出地震系数k和力数β。Ek．地系k地震系数是震动峰值加速度与重力加速度之比，即k=

g

g

(2-24)也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度然地加速度愈大地的影响就愈强烈即震烈度愈大。所震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。．动系

β动力系数

β

是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之比，即β=

a

(2-25)x

g也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。．地影系为了简化计算将述地震系数k和力系数的积用来示并称为地震影响系数。k

(2-26)这样，式2-23)可以写成Ek

(2-27)

••图2-3地震影响系数曲线因为a=

x

gmaxg

=

x

Sg

a

S=ag

(2-28)max所以地震影响系数a就是单质点弹性体系在地震时最大反应加速以重力加速度g单位一方面，若将式2-27)写成a=F点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比。

，则可以看出，地震影响系数乃是作用在质《抗震规范就以地震影响系数a作抗震设计依据的其值应根据烈度场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定。这时水平地震影响系数曲线按图2-3确，形状参数和阻尼调整系数应按教材规定调整。五，相关抗震的措施抗震就是达到“小震没事，中震可修，大震不倒面的分析过程可以看出，首先就是从消耗地震带来的巨大能量入手么要增加体系的固有周期和它的柔度在俗讲的就是柔度方案。关键是用哪一种材料后从结构本身考虑前震支座广泛应用于建筑梁域的理是在建筑层间设置隔震装置大降低隔震层的水平刚度，延长隔震体系的自震周期构的地震反应的层橡胶支座具有较好的减震效果，但同时也会带来橡胶的老化等问题研一种盆式