平行线与三角形内角和的综合应用学案

平行线与三角形内角和的综合应用学案知识梳理:三角形的内角和等于1800．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．证明：如图，过点A作MN||BC．∵MN∥BC（已作）∴∠B=∠1，∠C=∠2 （两直线平行，内错角相等）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（平角的定义）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）直角三角形两锐角互余．例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠BAC=60°，∠ACB=85°，则∠E的度数为_____________．解：如图，∵AD平分∠BAC ()∴ ()∵∠BAC=60° ()∴∠1=30° (等式性质)在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65° ()∵PE⊥AD ()∴∠EPD=90° ()∴ ()①读题标注②梳理思路要求∠E的度数，可以将∠E放在Rt△PDE中，利用直角三角形两锐角互余求解，由PE⊥AD，则∠EPD=90°，所以需要求出∠ADC的度数．结合已知条件，把∠ADC放在△ADC中利用三角形内角和定理求出．③过程书写解：如图，∵AD平分∠BAC （已知）∴ （角平分线的定义）∵∠BAC=60° （已知）∴∠1=30° （等式性质）在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65° （三角形内角和等于180°）∵PE⊥AD （已知）∴∠EPD=90° （垂直的定义）∴ （直角三角形两锐角互余）练习题解：如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°（已知）∴∠ABC=180°--=180°--=（）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABD=∠ABC=×58°=29°（）如图，在△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F．若∠AED=140°，则∠C=_____，∠BDF=__________，∠A=__________．_____________________________已知：如图，AE∥BD，∠1=110°，∠2=30°，则∠C=______．已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=75°，∠ADE=35°，则∠EDC=_________．已知如图BD∥AE交△ABC的边AC于点F∠CAE=95°∠CBD=30°，求∠C的度数．解：如图，∵BD∥AE （___________________________）∴∠DFC=∠CAE（___________________________）∵∠CAE=95° （___________________________）∴∠DFC=95° （___________________________）∴∠CFB=180°-∠DFC=180°-95°=85° （平角的定义）在△CBF中，∠CBD=30°，∠CFB=85°（已知）∴∠C=__________________=______________=________（___________________________）已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．求证：BE∥CF．证明：如图，∵AB⊥BC，BC⊥CD (__________________________)∴_______=______=90° (垂直的定义)∵∠1=∠2 (__________________________)∴∠EBC=∠BCF (__________________________)∴______∥______ (__________________________)已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C．证明：如图，∵∠1+∠2=180° （_____________________________）∠1+∠DFE=180° （_____________________________）∴______=______ （_____________________________）∴______∥______ （_____________________________）∴∠3=∠ADE （_____________________________）∵∠3=∠B （_____________________________）∴∠ADE=∠B （_____________________________）∴______∥______ （_____________________________）∴∠AED=∠C （_____________________________）已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A．证明：如图，∵∠1=∠2（________________________________）∠1=∠DGF（________________________________）∴∠2=_______ （________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠D=_______ （________________________________）∵∠C=∠D （________________________________）∴______=∠C （________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠F=∠A （________________________________）已知：如图，AB∥CD，∠ABF=120°，CE⊥BF，垂足为E，则∠ECF=___________．已知：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥BA交AC于点E，则∠C=_______．已知：如图，点E，F分别在AB，CD上，AD交CE于点G，交BF于点H，且∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．证明：∵∠1=∠2 （______________________________）∠CGD=∠1 （______________________________）∴______=______ （______________________________）∴CE∥BF （______________________________）∴_____=∠3 （______________________________）∵∠B=∠C （______________________________）∴∠3=_________ （______________________________）∴_____∥_____ （______________________________）∴∠A=∠D （______________________________）在△ABC中，，则___，___．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则图中∠1的度数为___________．如图，直线m∥n，在△ABC中，∠C=90°．若∠1=25°，∠2=70°，则∠B=____________．已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．证明：如图，延长BC到点D，过点C作射线CE∥AB．∵CE∥AB∴∠A=_____ （________________________）∠B=_____ （________________________）∵∠1+∠2+∠ACB=180° （________________________）∴∠A+∠B+∠ACB=180° （________________________）已知：如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．求证：∠E=90°．证明：如图，∵AB∥CD （___________________________）∴∠BAC+______=180° （___________________________）∵∠BAE=∠DCE=45° （___________________________）∴∠1+∠2=180°∠BAE∠DCE=180°45°45°=______ （等式性质）∴∠E=180°(∠1+∠2)=180°90°=90° （）已知：如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3．求证：CD∥HF．证明：如图，∵∠1=∠ACB （_______________________________）∴______∥______ （_______________________________）∴∠2=______ （_______________________________）∵∠2=∠3 （_______________________________）∴∠3=______ （_______________________________）∴______∥______ （_______________________________）已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：如图，∵EF⊥BC （___________________________）∴∠EFB=90° （垂直的定义）∴∠BEF+∠B=90° （直角三角形两锐角互余）∵DE⊥AB （___________________________）∴∠AED=90° （___________________________）∴∠BAD+∠ADE=90° （___________________________）∵∠B=∠ADE （___________________________）∴∠BEF=∠BAD （___________________________）∴______∥______ （___________________________）【参考答案】∠A，∠C50°，72°58°，三角形的内角和等于180°角平分线的定义50°，40°，80°∠ACD，∠B，∠B，∠A40°35°已知两直线平行，同位角相等已知等量代换∴∠C=180°-∠CBF-∠CFB=180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°）∵∠BAC+∠GCA=180°（已知）∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC-∠1=∠DCA-∠2（等式性质）即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）已知∠ABC，∠BCD已知等角的余角相等BE，CF；内错角相等，两直线平行已知平角的定义∠2，∠DFE；同角的补角相等AB，EF；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知等量代换DE，BC；同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等已知对顶角相等∠DGF，等量代换CE，BD；同位角相等，两直线平行∠FEH，两直线平行，同位角相等已知∠FEH，等量代换DF，AC；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等30°60°已知