函数及其表示方法

函数及其表示方法（讲义）知识点睛一、映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．二、函数：（1）函数定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，x∈A．（2）构成函数的三要素：________、_________、_______．（3）两个函数相等______________、__________________．（4）区间的表示：设a，b是两个实数，且a<b，规定：{x|a≤x≤b}=__________；{x|a<x<b}=__________；{x|a≤x<b}=__________；{x|a<x≤b}=__________；R=______________；{x|x≥a}=__________；{x|x>a}=__________；{x|x≤b}=__________；{x|x<b}=__________．（5）函数的表示方法：解析法、图象法、列表法．分段函数：对于定义域内的不同取值范围，函数的解析式不同．分段函数的值域是各段函数值域的并集．复合函数：若且，则叫做函数与的复合函数．精讲精练给出以下对应：①集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；②集合A={x|x是直角三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：作三角形的外接圆；③集合A={x|x是希望中学的班级}，集合B={x|x是希望中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；④A=N，B={1，2}，对应关系f：除以2的余数；⑤；⑥集合A={1，2}，集合B={0，1，}，对应关系．是从集合A到集合B的映射的是__________________，是从集合A到集合B的函数的是_____________．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四种关系中，存在函数关系的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4下图中，能表示函数的图象的是（）A．B．C．D．下列选项中，能表示的图象的只可能是（）A．B．C．D．已知函数，则___________；___________；_________________；____________．已知函数满足，则的值是_________．给出下列六组函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，表示同一函数的为_________________．设全集为R，函数的定义域为M，则CRM为（）A．(-1，1)B．[-1，1]C．(-∞，-1)∪(1，+∞)D．(-∞，-1]∪[1，+∞)函数的定义域为（）A．[-4，1] B．[-4，0)C．(0，1] D．[-4，0)∪(0，1]已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为____________．直接写出下列函数的值域：①：________________；②：________________；③：________________；④：________________；⑤：________________；⑥(0≤x≤1)：________________．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm³/s的速度向容器内注入某种溶液，容器内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式为______________，函数的定义域为_______________，值域为_______________．（1）若函数的定义域为[0，3]，则函数的定义域为____________．（2）若函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为____________．（3）若函数[-]的定义域为____________．（1）已知，则=_____________；（2）若函数，则=_________；（3）已知函数，且，则a=_____．如图所示，图象所对应的函数解析式为（）A．(0≤x≤2)B．(0≤x≤2)C．(0≤x≤2)D．(0≤x≤2)设函数，若，则实数a的取值范围为_____________．若函数，则的值域为________．函数y=x2+2|x|-3的值域为________．设，则使成立的x是（）A．1 B．0 C．±1 D．0或1函数分别由下表给出：x123x123131321则的值为_____；满足的x的值为_______．函数，则的值为（）A． B． C． D．已知，，则_________________；．已知是一次函数，且，求．符号[x]表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，试写出=2[x]+1(-2≤x<2)的函数解析式，并作出函数的图象．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】二、1.（2）定义域 对应关系 值域（3）定义域相同 对应关系完全一致（4）[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (-∞，+∞)[a，+∞)(a，+∞)(-∞，b](-∞，b)【精讲精练】1．①②⑥ ⑥2．B3．D4．D5．14 6．87．②③⑤8．C9．D10．11．①{3，5，7，9，11}；②；③(0，1]；④[0，2]；⑤(-∞，4]；⑥12． [0，h]13．（1）[1，2]；（2）[4，6]；（3）14．（1）；（2）5；（3）115．B16．(-∞，-1)17．(-1，2)∪{3}18．[-3，+∞)19．D20．1 221．A22．23．24．；图象略函数及其表示方法（随堂测试）若集合A=R，B=R，x∈A，y∈B，下列对应关系中，是从集合A到集合B的映射的是（）A． B．C． D．已知函数，若，则实数a=____________.函数r=f(p)的图象如图所示．（1）函数r=f(p)的定义域是什么？（2）函数r=f(p)的值域是什么？（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？左图中，曲线l左图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交【参考答案】1．B2．23．（1）[-5，0]∪[2，6)（2）[0，+∞)（3）函数及其表示方法（作业）下列说法中不正确的是（）A．函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应B．函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集C．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点的个数是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2若，则方程f(4x)=x的根是（）A． B． C．2 D．-2若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是（）A．B．C．D．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是（）A． B．C． D．下列各项表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与函数的图象是图中的（）A．B．C．D．已知，则f(x)的解析式为（）A． B．C． D．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为{9，19}的“孪生函数”共有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个设集合A={a，b}，集合B={0，1}，则从集合A到B的不同映射共有_________个．下列对应关系：①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，的平方根；②A=R，B=R，的倒数；③A=R，B=R，；④A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：的平方．其中是从集合A到集合B的函数的是_____________．（1）函数的定义域为________________．（2）函数的定义域为_____________________．直接写出下列函数的值域：①：________________；②：________________；③：________________；④：________________．已知函数的定义域为(2，5]，则函数的定义域为___________．（1）若函数，则_________．（2）函数，若，则实数______．函数f(x)在闭区间[-1，2]上的图象如图所示，此函数的解析式为________________________．设函数，则的值为________．已知，若，则a的值为____________．若函数，则不等式的解集为___________________．已知，，则________．函数，若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，求方程的解．作出函数的图象，并说明y为何值时，有4个不同的x值与之对应．【参考答案】1．B2．C3．A4．B5．C6．C7．C8．C9．D10．411．③④12．（1）[0，1]；（2）(-∞，-1)∪(-1，0)13．①；②[2，3]；③[-2，1]；④(-∞，1]14．(1，3]15．（1）-1；（2）1116．17．18．±119．(-3，1)∪(3，+∞)20．821．22．当时，有4个不同的值与之对应；图象略阅读材料 函数图象变换一、平移变换要想求平移后函数的表达式，设点(x0，y0)在其图象上，那么点(x0+h，y0)就在y=x2的图象上，代入，可得y0=(x0+h)2，也就是同样地，推导可以得到：将函数y=x2的图象向右平移h(h>0)个单位，平移后函数的表达式为y=(x-h)2；将函数y=x2的图象向上平移h(h>0)个单位，平移后函数的表达式为y=x2+h；将函数y=x2的图象向下平移h(h>0)个单位，平移后函数的表达式为y=x2-h．对应地，也就是初中学习过的口诀“左加右减、上加下减”．以h=1为例，相应的平移变换如下图所示：练习题把抛物线向左平移3个单位，向上平移2个单位后，所得图象是经过点的抛物线，求原二次函数的解析式．画出函数的图象．二、对称变换以函数为例，将其图象沿y轴翻折，得到另一个函数的图象．要想求翻折后函数的表达式，设点(x0，y0)在其图象上，由对称性可知点(-x0，y0)在的图象上，代入，可得，也就是同样地，推导可以得到：将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数表达式为；将函数的图象绕原点旋转180°，得到的函数表达式为；首先，由上述平移变换可得，函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位得到的，如下图所示：其次，根据不同的翻折情况，得到函数不