吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)数学(理)试题

长春普通高高三量监测二）理科数学本试卷共页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。选题必须使用2B笔填涂选择题必须使用0.5毫黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。请照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。作可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共2小题，每小题5，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求已集合Ax|(

≤

0}

，

B，A

{

{0,1,2}

C.

若

(1)i

（

R

|z|

，则a或0

C.1或下与函数

1

定义域和单调性都相同的函数是

y2

logx

1ylog()C.ylog

yx

已等差数列a1

{}中，an573

，则此数列中一定为0的C.D.a8若位向量

1

，

2

夹角为1C.或

，且

|，则实数

《通高中数学课程标准版出数学学科的六大核心素养为比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达(如图，每项指标值满分为5分分值高者为，则下面叙述正确的是甲的数据分析素养高于乙甲数学建模素养优于数学抽象素养C.乙六大素养中逻辑推理最差乙六大素养整体平均水平优于甲理科数学试题第1页（共14页）

命在实数x任意实数x使得sin(xx0f(x)为函数，则下列命题是真命题的是

恒成q:

，

))

C.

p)

)在

中，

，

23

，

AC

，则

边的为

52

C.

152年脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁干部派遣到、B、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县分法有

种B.12种24种D.

种10.在正方体-AC中点,FG分为棱AD，DDAB的点，给1111111出下列命题：①ACEG；②//；面BGC；EFBB成111角为

正命题的个数是311.已知抛物线

：

y2px

（

p

）的焦点为

F

，

1M(,y2

为该抛物线上一点，以

M

为圆心的圆与

C

的准线相切于点

A，120

，则抛物方为

yx

yx

C.

yx

yx12.已知

f(x)

x

，则不等式f(xf(3)≤的集是

[0,

C.

（长春二模）

理科数学试题第2页（共页）

二、填空题：本题小，每小5分，共.≥13.若y满约束条件≤0，则zxy

的最大值___________.

x≤214.若

a)

，则a15.已函数

f(x)

6

（区间

[

上值于0成立的取值范围是________________.16.三锥ABCD

的顶点都在同一个球面上，满足BD过心

，且，三棱锥BCD体的最大值为；三棱锥BCD体最大时，平面ABC

截球所得截面圆的面积为____________.（题第一空，第二空3分）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步.第17~21题必考题，每个试题考生都必须作答第22题为选考题，考生根据要求作.（一必考题：共60分17.（分）年入冬时节，长春市民为了迎接年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻现速滑项目中随机选出名与者并专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为分并且认为评分不低于分参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求

的值；（Ⅱ）将选取的名与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列

列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合

0.030

频率/距男性

女性合计

0.0200.0150.005

405070100

成绩(分)K

2.072

2.706

3.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.001(K

()a)(c)(a)(b)

，其中

)18.（分）如图，直三棱柱A中，底面为腰直角1三角形BCAA2M分为CC，11BB的中点，G为AA上一点，若面MNG.1（Ⅰ）求线段的；

A

G

ABN

M

C

（Ⅱ）求二面角

BMGN

的余弦值.理科数学试题第3页（共14页）

B

19.（分）已知数列{}足，a，a，aaa（n*）n2n（Ⅰ）求证：数列{}为等比数列，并求出数列{}通项公式；n（Ⅱ）设b2n，数{b}的前n项和nnnn20.（分）2y2已知椭圆：0)a2

的左、右顶点分别为A、，距为，点

P为椭圆上异于

A

、

B

的点，且直线

PA

和

PB

的斜率之积为

（Ⅰ）求

的方程；（Ⅱ）设直线

AP

与

y

轴的交点为

，过坐标原点

O

作

OM

交圆点

M

，试探究

|AP|OM2

是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说理.21.（分）已知函数

f()

x

（Ⅰ）求曲线

f()

在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的R

，当

x

时，都有

1m2(2f())x

恒立，求最大的整数

（二选考：共分请考生在22题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题22.[修4-4坐标系与参数方程（10分）已知曲线

C1

的参数方程为

2cos

（

为参数曲线

C

2

的数程为sin4

34

（

t

为参数（Ⅰ）求C和C的普通方程；1（Ⅱ）过坐标原点O直线交曲线于M（M异于O曲C于，12|ON求的小|OM23.[修4-5不等式选讲]（分）已知函数

(x

（Ⅰ）若a，关于x的不等式

f(x)

；（Ⅱ）若当x时()

恒成立，求实数的值范围（长春二模）科数学试题第4页（共页）

长市通中高质监（）数（科试参答及分考一、选择题（本大题共12题，每小题分，共分）BAA5.DDA8.C9.11.A简答与提示：【号】1【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境，以集合运算为载体考查一元二次不等式的解【必备知识】本题主要考查的知识是集合的交集运算和一元二次不等式的解【关键能力考运算求解能考生借助题目中的交集符号获取到需要进行集合的交集运算，能根据问题中一二次不等式条寻找与设计合理的算【学科素养考的学科素养是数学探本题通过计算一元二次不等式作为运算对象，掌握一元二次不等式求解运算法则，探究求集合交集的运算思【题眼】本题的题眼为一元二次不等式及交集运【解题思路】由题意得【答案】

A{xx2},A

，选B.

【题号】2【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境，以复数为载体考查复数代数形式的基本运【必备知识】本题考查的知识是了解复数代数形式的加减乘运【关键能力】本题考查运算求解能力根复数乘法的运算法则得出复数的代数形式【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是正确对复数进行代数运【解题思路】

1(1)22,0,2

，故选【答

案】

【题号】3【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是函数的性质，能判断给定函数的定义域及单调【关键能力】本题考查逻辑推理能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是根据函数的性质进行判理科数学试题第5页（共14页）

【解题思路】由函数性质可知

ylog

x

符合条件，故选【答

案】

【题号】4【试题情境】本题是基础性题目，属于课学习情【必备知识】本题考查的知识是等差数【关键能力】本题考查运算求解能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学.【题眼】本题的题眼是明确等差数列的基本【解题思路】由【答案】A

3(a)ad),11

，故选

【题号】5【试题情境】本题是基础性题目，属于课学习情【必备知识】本题考查的知识是平面向量模的运【关键能力】本题考查运算求解能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学.【题眼】本题的题眼是平面向量模长的求解方【解题思路】

321

，解得

，故选D.【答

案】

【题号】6【试题情境】本题是应用性题目，属于生实践情境，具体是数学数据分析情【必备知识】本题考查的知识是统计的相知.【关键能力】本题考查数学建【学科素养】本题考查的学科素养是数据析素【题眼】本题的题眼是正确读懂表和图中的数【解题思路】根据图与表可知D是确的，故选【答案D【题号】7【试题情境】本题是综合性题目，属于课学习情【必备知识】本题考查的知识是命题、三函数、函数.【关键能力】本题考查运算求解能力和逻推理能【学科素养】本题考查的学科素养是数学.理科数学试题第6页（共页）

pqpq3

【题眼】本题的题眼是准确判断两个命题的真【解题思路】由条件可知均真命题，故为，故选【答案】【题号】8【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是解三角【关键能力】本题考查运算求解能力和逻辑推理能【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是找到三角形中需求解的边【解题思路】有正弦定理

5(15AB5321323

5

，则AC边的高为【答

BC5案】

，故选

【题号】9【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是排列组【关键能力】本题考查逻辑思维能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼为正确分【解题思路】甲被派到A县方法有

C

A2

A

，选B.【答

案】10.【号】【试题情境】本题是综合性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是空间直线与平面的位置关.【关键能力】本题考查空间想象能力和逻辑推理能【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是直线与平面的位置关系的判【解题思路】易知①④正确，故选【答案】理科数学试题第7页（共14页）

11.【题

号】【试题情境】本题是综合性题目，属于课学习情【必备知识】本题考查的知识是抛物线【关键能力】本题考查运算求解能力和逻推理能【学科素养】本题考查的学科素养是数学.【题眼】本题的题眼是找到图形中蕴含的三角【解题思路】由图形可知，(

1y),AM|AF3MF2

，又y

，有p

(p4

，得

，故选【答

案】12.【题号】12【试题情境】本题是综合性题目，属于数课程学习情境，具体是函数性质学习情境【必备知识】本题考查的知识是函数的奇性、单调性、指数函数、幂函数的相关性质【关键能力】本题考查运算求解能力和逻推理能【学科素养】本题考查的学科素养是数学.【题眼】本题的题眼是函数的单调性与奇偶性的综合运.【解题思路】由条件可知

f)(，f(

为增函数有f)f(x

，所以原不等式等价于f(x)f)≤f(2)f()

，所以【答

3案】A

，故选二、空题本大题共小题，每小题分，16题第一空2分，第二空3分，共分）13.414.15.

511(,612

]

16.

，3简答提示：13.【题号】13【试题情境】本题是基础性题目，属于课学习情【必备知识】本题考查的知识是线性规【关键能力】本题考查运算求解能力和数结合思理科数学试题第8页（共页）

【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是找到可行域以及目标函数的几何意.【解题思路】由题意作出可行域的图像，

作为

轴截，知大为4.【答案】414.【号】【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是微积分基本定【关键能力】本题考查运算求解能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是积分的运——牛顿莱布尼兹公【解题思路】经计算

(ax

)133

，可知

a2

【答

案】215.【号】【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情【必备知识】本题考查的知识是三角函数图像以及

y

中量作用【关键能力】本题考查运算求解能力【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是三角函数中控制量对三角函数的图像的影.【解题思路】由题意可知

11f(x)x)像中，66

的置移超过

（含

6

的位置将移至不得超过（含

511]612

【答

案】

511(]616.【号】【试题情境】本题是综合性题目，属于探索创新情【必备知识】本题考查的知识是球内几何体的最值问题以及截面问.【关键能力】本题考查空间想象能力、运算求解能力和逻辑推理能.【学科素养】本题考查的学科素养是数学探【题眼】本题的题眼是球【解题思路】由题意可知三棱锥BCD体积最大值为

2

；三棱锥

BCD

体积最大时，平面

ABC

截球所得的面的积为

3

【答三、解答题

案】

2，33理科数学试题第9页（共14页）

B117.本小满B1【题号】17【试题情境】本题是关于概率统计的应用，属于假设检验的问题情境，以统计学基本知识为体，考查统计分析的基本过.【必备知识】本题主要考查的知识是频率布直方图以及假设检验等知.【关键能力】本题考查数据分析能力以及算求解能【学科素养】本题考查的学科素养是数据析，数据处理，数学运【题眼】本题的题眼为频率分布直方图的理解以及假设检验的计【解题思路）先确定频率分布直方图中未知量的值列

列表，并计算能否犯错误的概率不超过的提下认为擅长冰上运动与性别有关.【参考答案与评分细则】解）题意

（4）（Ⅱ）

擅长

不擅长

合计男性女性合计

201030

304070

5050100bc)2100K4.762)(a)()

对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关.（12分18.(本题分12分)【题号18【试题情境】本题是常规问题，属于课程习情境，具体是数学原理的习得情境，以空间几何为载体考查空间几何体中的置关系和二面.【必备知识】本题主要考查的知识是基本形的位置关系和空间向量的应.【关键能力本考查逻辑思维能力间想象能力以及运算求解能.理清证明思路，并将图语言转化为符号语言，同时会向量方法在研究几何问题中的作用，从题干中提取所要的点的坐标，并应用空间量的数量积计算得到结.【学科素养题考查的学科素是理性思维和数学探.本的解题关键是定理的运用和空间量的应用【题眼】本题的题眼为空间几何体以及空间几何体的向量表.【解题思路）线面垂直的性质）利用空间向量解决线面角问题，再解决二面角问题平【参考答案与评分细则】解）题意，1GN面

，设

A1

与

GN

交于点

E

，在

中，可求得

BE

56，则A

，可求得，AG.1（Ⅱ）以B为点，向为1

轴，

BC1

方向为

y

轴，

B11

方向为

（6）轴，建立空间直角坐标系，M(2,2,0)，G(3,0,2)，N(2,0,0)理科数学试题第页（共14页）

BM2,2,0)

，

，

nNM，NG(1,0,2)，n||3|2|||3512即二面角

B

的余弦值为

（分19.本小满12分【题号】19【试题情境】本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，利用数列中项与项之间的关系来探索通项公式并求.【必备知识】本题主要考查的知识是等比数列以及错位相减求.【关键能力题考查逻辑思维能力运求解能.考依据所给所来确定解题方案，并用严谨的数学语言表达，计算得到结.【学科素养】本题考查的学科素养是理性思维和数学探.【题眼】本题的题眼为等比数列以及错位相减求.【解题思路先清晰化数列中项与项的关系，进而获得项公式）位相减求和【参考答案与评分细则）知aaa，n则3(a，n且a，{}为以首相为公比的等比数列，21nn所以

n

nn

，

a

)

)a)11

2

（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

bn

，T

......

，①T

3

......

，①-②可得

2nn

n2

，则

T

n(2n42即

S

nnn4

（分20.(本题分12分【题号】20【试题情境】本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，以椭圆为载体，考察解析几何综合问.理科数学试题第1页（共14页）

BP【必备知识】本题主要考查的知识是圆锥线的方程以及定值问.BP【关键能力】本题考查逻辑思维能力，数建模能力，运算求解能力，考生首先要获取圆锥曲的方程，建立代数表达式并解，判断图形的性质，应用函数的思想方法解决问题，要涉及椭圆的基本性质以及线与椭圆的位置关.【学科素养】本题考查的学科素养是理性维和数学探索，本题解题的关键是利用数字来表达形的性质对生分析问题和解决问题能力提出了较高要求考生的抽象概括能力分析综合能力等多方面的素.【题眼】本题的题眼为椭圆的方程，直线与椭圆的位置关.【解题思路）根据已知条件解方程来获得椭圆的标准方程Ⅱ）表达所求的数值并通过算确定定值【参考答案与评分细则】解已点2yx0可设，即，0a2b

P

在椭圆

：

2y20)a2

上，yyb2又0x22a240

，且

2

，可得椭圆

的方程为

2y24

（4）（Ⅱ）设直线方程为：y(x

，则直线OM的方程为ykx.联立直线

AP

与椭圆

的方程可得：

(3

2

k2

2

，6x由，可得，A3联立直线OM与椭圆C的方程可得：

(3

2)

，xM

2

123

2

，即即

AP|x||xPOM|2|x|xMM|AP为定值，且定值为2.|OM|2

（分）21.本小满分)【题号】21【试题情境】本题是综合性题目属于探索新情境，具体是数学探究情境，以函数为载体，考导数公式，研究函数图像的线问.【必备知识】本题主要考查的知识是导数函数中的应.【关键能力】本题考查逻辑思维能力和运求解能力，考生函数表达式出发，获取函数的切线题，对函数的最值有正确的识，利用导数对原函数的性质进行刻画，从中体会导数工具作用并熟练应.【学科素养】本题考查的学科素养是理性维和数学探索，要求考生熟悉导数的基本公式和函之间的关系；本题解题的关是研究函数性质所需的导数的推理方法和规理科数学试题第页（共14页）

00律，对于更复杂的含参数问题，需要化复杂为具体，本题还考查化归与转化、分类讨论等数学思想，探索新途径解决问.00【题眼】本题的题眼为导数及其性.【解题思路）利用导数获取函数图形的切线）利导数来刻画函数的性质.【参考答案与评分细则）知函数

f()

x

，则(1,f(1))处即为

(1,e

，又

f

x

，

f

，可知函数

f(x)

x

过点(1,f的切线为

y(x

，即

y

（）（Ⅱ）不等式

2

1(2f(x))x

中，当时显然成立；当

时，不等式可化为

2()

1令

hx)(x)

1x，则hxx

，令即则

1