广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

-2024学年上学期期中考试四校联考高二数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）命题人：李善红王小勇刘和阳张秀敏审题人：时华一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是（）A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形2.已知向量，，满足，则的值为（）A.2 B. C. D.3.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3 C.9 D.815.已知直线：，：，：，若且，则的值为（）A. B.10 C. D.26.已知圆：和：，则两圆的位置关系是（）A.内切 B.外切 C.相交 D.外离7.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（）A. B.C. D.8.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面；C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；D.若，则是锐角10.已知直线过直线：和：的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（）A. B.C. D.11.在空间直角坐标系中，，，，则（）A.B.C.异面直线与所成角的余弦值为D.点到直线的距离是12.已知圆：，直线，则下列结论正确的是（）A.圆与曲线恰有三条公切线，则B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1C.直线恒过第二象限D.当时，上动点作圆的切线，，且，为切点，则经过点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.，，则______.14.已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为______.15.已知椭圆：的左焦点为，过原点的直线交椭圆于点，，且，若，则椭圆的离心率是______.16.在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，______；点的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。17.（本题10分）设，向量，，，且，.（1）求；（2）求向量与夹角的大小。18.（本题12分）已知的顶点，.（1）求直线的方程；（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标.19.（本题12分）已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求证：.20.（本题12分）已知直线：与圆：相交于，不同两点.（1）求的范围；（2）设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值.21.（本题12分）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得如图乙.甲 乙（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.22.（本题12分）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设动直线与圆交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；2023-2024第一学期高二数学期中四校联考参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案BABACBAA二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABCACACACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）13.6 14. 15. 16.4，.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。17.解：【详解】（1）由题意，，可得，解得，则，，所以故（2）因为，所以故向量与的夹角为18.解：（1）直线的方程为，即（2）中点的坐礿为，点在上，则解得即中线所在直线的方程为，设顶点，所以，因为，点到直线的距离，因为，所以，整理得，所以或，即或，由，得，此时顶点由得，此时顶点，所以顶点的坐标为或19.解：（1）由题可知：，，又所以，故椭圆的方程为，离心率（2）设点，，由点是线段的中点，所以由①，②则②①：由，，三点共线，所以，则即所以20.解：（1）∵直线与圆交于两点，∴，解得，（2）设，将代入方程，整理得，∴，，解得，由（1）知，所以直线的方程为，可知圆心在直线上，∴是圆的直径，且，∵是圆上的一动点（异于，），∴到直线的最大距离即为半径为1，∴面积的最大值为21.（1）证明：连接，取线段的中点，连接，，在中，，∴，在中，，，，由余弦定理可得：，∴在中，，∴又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，在中，，，∴∵平面平面，平面，∴平面.（2）过作的平行线，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则，设平面的法向量为，，所以