2023版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算试题理北师大版

PAGEPAGE14第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算试题理北师大版1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度为单位1的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比拟大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，假设存在一个实数λ.，使得b＝λa，那么向量b与非零向量a共线．【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6())＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．假设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，假设点A，B，C共线，那么λ＋μ＝1.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)假设a∥b，b∥c，那么a∥c.(×)(4)假设向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，那么A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)1．给出以下命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②假设a，b都是单位向量，那么a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等．那么所有正确命题的序号是()A．① B．③C．①③ D．①②答案A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D是△ABC的边AB上的中点，那么向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))答案A解析如图，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0〞是“a∥b〞的充分不必要条件．4．a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1，应选D.5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，那么λ＝________.答案2解析由向量加法的平行四边形法那么，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.题型一平面向量的概念例1给出以下四个命题：①假设|a|＝|b|，那么a＝b；②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a＝b，b＝c，那么a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④答案A解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，假设四边形ABCD为平行四边形，那么eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.应选A.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a0为单位向量，①假设a为平面内的某个向量，那么a＝|a|a0；②假设a与a0平行，那么a＝|a|a0；③假设a与a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；假设a与a0平行，那么a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，假设点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c(2)(2022·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，假设eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案(1)A(2)A解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，即4eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.假设eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1、λ2为实数)，那么λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，假设eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))答案(1)eq\f(1,2)(2)D解析(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).(2)设eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法那么．(2)求向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相连向量的和用三角形法那么．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比拟求参数的值．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ的值为()A.eq\f(2,9) B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)答案A解析∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四边形法那么可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F，K三点共线，可得λ＝eq\f(2,9)，应选A.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．(1)假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，那么存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，假设λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，那么向量a、b不共线．(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，那么()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)如下图，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，那么△ABC与△AOC的面积之比为________．答案(1)B(2)2解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．应选B.(2)取AC的中点D，连接OD，那么eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2.5．容易无视的零向量典例以下表达错误的选项是________．①假设a∥b，b∥c，那么a∥c.②假设非零向量a与b方向相同或相反，那么a＋b与a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.⑤eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.⑥假设λa＝λb，那么a＝b.错解展示解析⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.答案⑤现场纠错解析对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均错．答案①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么以下说法正确的选项是()A．a＋b＝0 B．a＝bC．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么a与b共线同向，故D正确．2．向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，那么向量a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0答案D解析依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，那么有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么以下一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D答案B解析因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．4．平面内一点P及△ABC，假设eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，那么点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部答案C解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在线段AC上．5.如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，那么m＋n的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析∵O为BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up6(→))＋neq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.6．设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，假设cos∠BAC＝eq\f(2,5)，那么k等于()A.eq\f(5,14)B.eq\f(2,14)C.eq\f(5,7)D.eq\f(3,7)答案A解析取BC的中点D，连接PD，AD，那么PD⊥BC，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝2keq\o(AD,\s\up6(→))，∴A，P，D三点共线，∴AB＝AC，∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝eq\f(DP,PC)＝eq\f(DP,PA)＝eq\f(2,5)，∴AP＝eq\f(5,7)AD，∴2k＝eq\f(5,7)，解得k＝eq\f(5,14)，应选A.7．(2022·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，那么实数λ＝____________.答案eq\f(1,2)解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，那么存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，那么得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).8.(2022·滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，那么x＋y＝________.答案eq\f(13,5)解析如图，取单位向量i，j，那么a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5)，))∴x＋y＝eq\f(13,5).9．设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，假设A，B，D三点共线，那么实数p的值是________．答案－1解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.10.设G为△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，那么角B的大小为________．答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，将其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，那么sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，那么角B＝60°.11.如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)假设eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．(1)证明由得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6