2023高考总复习单元检测：第9章解析几何

第页第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．每题中只有一项符合题目要求)1．(2023·浙江)设a∈R，那么“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，应选A.2．(2023·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 ()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0答案A解析两局部面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.3．经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0答案A解析∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是eq\f(3,2)，∴直线l的方程是y＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0，应选A.4．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，那么圆C的方程为 ()A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析设圆心C(a,0)(a>0)，由eq\f(3a＋4,5)＝2得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.5．(2023·江西)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.假设|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(1,2) D.eq\r(5)－2答案B解析由等比中项的性质得到a，c的一个方程，再进一步转化为关于e的方程，解之即得所求．依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).6．(2023·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．假设M，O，N将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是 ()A．3 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案B解析设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，那么双曲线的离心率e1＝eq\f(c,a)，椭圆的离心率e2＝eq\f(c,2a)，所以eq\f(e1,e2)＝2.选B.7．设F1、F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．假设点P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝0，那么|eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→))|等于 ()A.eq\r(10) B．2eq\r(10)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)答案B解析F1(－eq\r(10)，0)，F2(eq\r(10)，0)，2c＝2eq\r(10)，2a＝2.∵eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝0，∴|eq\o(PF1,\s\up10(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up10(→))|2＝|F1F2|2＝4c2＝40.∴(eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→)))2＝|eq\o(PF1,\s\up10(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up10(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝40.∴|eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→))|＝2eq\r(10).8．过抛物线y＝eq\f(1,4)x2准线上任一点作抛物线的两条切线，假设切点分别为M，N，那么直线MN过定点 ()A．(0,1) B．(1,0)C．(0，－1) D．(－1,0)答案A解析特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M(x1，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1))，N(x2，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2))，那么过M、N的切线方程分别为y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)x2(x－x2)．将(0，－1)代入得xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＝4，∴MN的方程为y＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x2＝4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－p)2＝p2于点A、B、C、D，那么eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))的值是 ()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2答案D解析|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|AF|－p＝yA，|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝|DF|－p＝yB，|eq\o(AB,\s\up10(→))|·|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝yAyB＝p2.因为eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))的方向相同，所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|·|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝yAyB＝p2.10．抛物线y＝x2上有一定点A(－1,1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是 ()A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案D解析设P(x1，xeq\o\al(2,1))，Q(x2，xeq\o\al(2,2))，∴kAP＝eq\f(x\o\al(2,1)－1,x1＋1)＝x1－1，kPQ＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x2－x1)＝x2＋x1.由题意得kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，∴x2＝eq\f(1,1－x1)－x1＝eq\f(1,1－x1)＋(1－x1)－1.利用函数性质知x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，应选D.二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．设l1的倾斜角为α，α∈(0，eq\f(π,2))，l1绕其上一点P逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕点P逆时针方向旋转eq\f(π,2)－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，那么l1的方程为________．答案2x－y＋8＝0解析∵l1⊥l3，∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).∵l2的纵截距为－2，∴l2的方程为y＝－eq\f(4,3)x－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－2，,x＋2y－1＝0，))∴P(－3,2)，l1过P点．∴l1的方程为2x－y＋8＝0.12．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案(x＋eq\f(13,5))2＋(y－eq\f(6,5))2＝eq\f(4,5)解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))得交点A(－eq\f(11,5)，eq\f(2,5))，B(－3,2)．因为AB为直径，其中点为圆心，即为(－eq\f(13,5)，eq\f(6,5))，r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，所以圆的方程为(x＋eq\f(13,5))2＋(y－eq\f(6,5))2＝eq\f(4,5).13．(2023·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，假设直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么k的最大值是________．答案eq\f(4,3)解析设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，那么d＝eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))，由题意知问题转化为d≤2，即d＝eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2，得0≤k≤eq\f(4,3)，所以kmax＝eq\f(4,3).14．假设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，那么该椭圆的方程是________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1解析抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝eq\r(2).∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.15．两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|eq\o(MN,\s\up10(→))|·|eq\o(MP,\s\up10(→))|＋eq\o(MN,\s\up10(→))·eq\o(NP,\s\up10(→))＝0，那么动点P(x，y)到点A(－3,0)的距离的最小值为________．答案3解析因为M(－3,0)，N(3,0)，所以eq\o(MN,\s\up10(→))＝(6,0)，|eq\o(MN,\s\up10(→))|＝6，eq\o(MP,\s\up10(→))＝(x＋3，y)，eq\o(NP,\s\up10(→))＝(x－3，y)．由|eq\o(MN,\s\up10(→))|·|eq\o(MP,\s\up10(→))|＋eq\o(MN,\s\up10(→))·eq\o(NP,\s\up10(→))＝0，得6eq\r(x＋32＋y2)＋6(x－3)＝0，化简整理得y2＝－12x.所以点A是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(－3,0)的距离，所以d＝3.16．以y＝±eq\r(3)x为渐近线的双曲线D：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，假设P为双曲线D右支上任意一点，那么eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，所以0<eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)≤eq\f(a,c)＝eq\f(1,e).又双曲线的渐近线方程y＝±eq\r(3)x，那么eq\f(b,a)＝eq\r(3).因此e＝eq\f(c,a)＝2，故0<eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)≤eq\f(1,2).三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(此题总分值10分)O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点．(1)假设eq\o(OP,\s\up10(→))·eq\o(OQ,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)，求直线l的方程；(2)假设△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．解析(1)依题意知直线l的斜率存在，因为直线l过点M(－2,0)，故可设直线l的方程为y＝k(x＋2)．因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以|eq\o(OP,\s\up10(→))|＝|eq\o(OQ,\s\up10(→))|＝1.因为eq\o(OP,\s\up10(→))·eq\o(OQ,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)，即|eq\o(OP,\s\up10(→))|·|eq\o(OQ,\s\up10(→))|·cos∠POQ＝－eq\f(1,2).所以∠POQ＝120°，所以点O到直线l的距离等于eq\f(1,2).所以eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(1,2)，解得k＝±eq\f(\r(15),15).所以直线l的方程为x－eq\r(15)y＋2＝0或x＋eq\r(15)y＋2＝0.(2)因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以MP＝PQ，即P为MQ的中点，所以eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(MP,\s\up10(→)).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以eq\o(MQ,\s\up10(→))＝(x2＋2，y2)，eq\o(MP,\s\up10(→))＝(x1＋2，y1)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2＝2x1＋2，,y2＝2y1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1＋1，,y2＝2y1.))①因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝1.))②由①及②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,4x1＋12＋4y\o\al(2,1)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(7,8)，,y1＝±\f(\r(15),8).))故直线l的斜率k＝kMP＝±eq\f(\r(15),9).18．(此题总分值12分)(2023·北京文)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为eq\f(\r(2),2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为eq\f(\r(10),3)时，求k的值．解析(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq\r(2).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2).所以|MN|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面积为S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2).由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.19．(此题总分值12分)(2023·天津理)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)假设直线AP与BP的斜率之积为－eq\f(1,2)，求椭圆的离心率；(2)假设|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq\r(3).解析(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝eq\f(y0,x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a).由kAP·kBP＝－eq\f(1,2)，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－2yeq\o\al(2,0)，代入①并整理得(a2－2b2)yeq\o\al(2,0)＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)方法一依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，,\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.))消去y0并整理得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2b2,k2a2＋b2).②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2.整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2)，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2(eq\f(a,b))2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4.因此k2>3，所以|k|>eq\r(3).方法二依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),b2)＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),a2)<1，即(1＋k2)xeq\o\al(2,0)<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2，整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2).代入③，得(1＋k2)·eq\f(4a2,1＋k22)<a2，解得k2>3，所以|k|>eq\r(3).20.(此题总分值12分)如图，点A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1长轴的左，右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解析(1)由可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，那么eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up10(→))＝(x－4，y)．由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))那么2x2＋9x－18＝0，x＝eq\f(3,2)或x＝－6.∵点P位于x轴上方，∴x＝－6舍去，只能取x＝eq\f(3,2).由于y>0，于是y＝eq\f(5,2)eq\r(3).∴点P的坐标是(eq\f(3,2)，eq\f(5,2)eq\r(3))．(2)直线AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.设点M的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)，那么M到直线AP的距离是eq\f(m＋6,2).于是eq\f(m＋6,2)＝6－m，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq\f(5,9)x2＝eq\f(4,9)(x－eq\f(9,2))2＋15.由于－6≤x≤6，∴当x＝eq\f(9,2)时，d取得最小值eq\r(15).21．(此题总分值12分)椭圆eq\f(x2,m＋1)＋y2＝1的两个焦点是F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个公共点，求|EF1|＋|EF2|取得最小值时椭圆的方程；(2)点N(0，－1)，斜率为k(k≠0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足eq\o(AQ,\s\up10(→))＝eq\o(QB,\s\up10(→))，且eq\o(NQ,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0，求直线l在y轴上的截距的取值范围．解析(1)由题意，知m＋1>1，即m>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m＋1)＋y2＝1，))得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，解得m≥2或m≤－1(舍去)，∴m≥2.此时|EF1|＋|EF2|＝2eq\r(m＋1)≥2eq\r(3).当且仅当m＝2时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2eq\r(3)，此时椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋t.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,y＝kx＋t，))消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，即t2<1＋3k2.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，那么x1＋x2＝－eq\f(6kt,1＋3k2).由eq\o(AQ,\s\up10(→))＝eq\o(QB,\s\up10(→))，得Q为线段的AB的中点，那么xQ＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3kt,1＋3k2)，yQ＝kxQ＋t＝eq\f(t,1＋3k2).∵eq\o(NQ,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0，∴直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为－1，即kQN·kAB＝－1，∴eq\f(\f(t,1＋3k2)＋1,－\f(3kt,1＋3k2))·k＝－1.化简得1＋3k2＝2t，代入①式得t2<2t，解得0<t<2.又k≠0，即3k2>0，故2t＝1＋3k2>1，得t>eq\f(1,2).综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(eq\f(1,2)，2)．22．(此题总分值12分)(2023·浙江文)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，eq\f(1,2))到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为eq\f(5,4).点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．解析(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2pt＝1，,1＋\f(p,2)＝\f(5,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,t＝1.))(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝x1，,y\o\al(2,2)＝x2，))得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.故k·2m＝1.所以直线AB的方程为y－m＝eq\f(1,2m)(x－m)．即x－2my＋2m2－m＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2my＋2m2－m＝0，,y2＝x，))消去x，整理得y2－2my＋2m2－所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋4m2)·eq\r(4m－4m2).设点P到直线AB的距离为d，那么d＝eq\f(|1－2m＋2m2|,\r(1＋4m2)).设△ABP的面积为S，那么S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·eq\r(m－m2).由Δ＝4m－4m2>0，得0<m<1.令u＝eq\r(m－m2)，0<u≤eq\f(1,2)，那么S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤eq\f(1,2)，那么S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝eq\f(\r(6),6)∈(0，eq\f(1,2)]．所以[S(u)]max＝S(eq\f(\r(6),6))＝eq\f(\r(6),9).故△ABP面积的最大值为eq\f(\r(6),9).1．(2023·辽宁文)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 ()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，应选C.2．(2023·孝感统考)假设直线过点P(－3，－eq\f(3,2))且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，那么该直线的方程为 ()A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－eq\f(3,2)C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0答案D解析假设直线的斜率不存在，那么该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；假设直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，那么圆心(0,0)到直线的距离为eq\r(52－42)＝eq\f(|3k－\f(3,2)|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(3,4)，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，假设|AB|＝4，那么弦AB的中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离等于 ()A.eq\f(7,4) B．2C.eq\f(9,4) D．4答案C解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－eq\f(1,4))，可知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(eq\f(1,4)，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)＝4，故x1＋x2＝eq\f(7,2)，那么弦AB的中点的横坐标是eq\f(7,4)，弦AB的中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离是eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).4．l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且BC＝3eq\r(2)，那么过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 ()A．6π B．8πC．16π D．18π答案D解析当A与B或C重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r＝BC＝3eq\r(2)，所以圆的面积S＝πr2＝π(3eq\r(2))2＝18π，那么过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．假设c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，那么椭圆的离心率等于 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案B解析∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又n2＝c2－m2，∴m2＝eq\f(1,3)c2，即m＝eq\f(\r(3),3)c.∴c2＝eq\f(\r(3),3)ac，那么e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).6．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，那么此弦所在直线的方程是 ()A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0答案B解析依题意得e＝eq\f(1,2)，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，eq\f(1,2))的连线的斜率为eq\f(2－\f(1,2),2－1)＝eq\f(3,2)，所求直线的斜率等于－eq\f(2,3)，所以所求直线方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.7．圆x2＋y2＝1与x轴的两个交点为A、B，假设圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，那么eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))的取值范围为 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C．(－eq\f(1,2)，0) D．[－1,0)答案C解析设P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|，即x2＋y2＝eq\r(x－12＋y2)·eq\r(x＋12＋y2)，整理得2x2－2y2＝1.∴eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1＝2x2－eq\f(3,2).∴P为圆内动点且满足x2－y2＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(2),2)<|x|<eq\f(\r(3),2)，∴1<2x2<eq\f(3,2).∴－eq\f(1,2)<2x2－eq\f(3,2)<0，选C.8．(2023·新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，那么C的实轴长为 ()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8答案C解析抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2eq\r(3))在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.9．正方形ABCD，那么以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．答案eq\r(2)－1解析令AB＝2，那么AC＝2eq\r(2).∴椭圆中c＝1,2a＝2＋2eq\r(2)⇒a＝1＋eq\r(2).可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.10．(2023·北京理)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．假设直线l的倾斜角为60°，那么△OAF的面积为________．答案eq\r(3)解析直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，即x＝eq\f(\r(3),3)y＋1，代入抛物线方程得y2－eq\f(4\r(3),3)y－4＝0，解得yA＝eq\f(\f(4\r(3),3)＋\r(\f(16,3)＋16),2)＝2eq\r(3)(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).11．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且eq\o(AF2,\s\up10(→))·eq\o(F1F2,\s\up10(→))＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为eq\f(1,3)|OF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点P(－1,0)，交y轴于点M，假设eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(QP,\s\up10(→))，求直线l的方程．解析(1)由题设知F1(－eq\r(a2－2)，0)，F2(eq\r(a2－2)，0)．由于eq\o(AF2,\s\up10(→))·eq\o(F1F2,\s\up10(→))＝0，那么有eq\o(AF2,\s\up10(→))⊥eq\o(F1F2,\s\up10(→))，所以点A的坐标为(eq\r(a2－2)，±eq\f(2,a))，故eq\o(AF1,\s\up10(→))所在直线方程为y＝±(eq\f(x,a\r(a2－2))＋eq\f(1,a))．所以坐标原点O到直线AF1的距离为eq\f(\r(a2－2),a2－1)(a>eq\r(2))．又|OF1|＝eq\r(a2－2)，所以eq\f(\r(a2－2),a2－1)＝eq\f(1,3)eq\r(a2－2)，解得a＝2(a>eq\r(2))．所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，直线l的方程为y＝k(x＋1)，那么有M(0，k)．设Q(x1，y1)，∵eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(QP,\s\up10(→))，∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(2,3)，,y1＝\f(k,3).))又Q在椭圆C上，得eq\f(－\f(2,3)2,4)＋eq\f(\f(k,3)2,2)＝1，解得k＝±4.故直线l的方程为y＝4(x＋1)或y＝－4(x＋1)，即4x－y＋4＝0或4x＋y＋4＝0.12．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点．(1)如果点A在圆x2＋y2＝c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；(2)假设函数y＝eq\r(2)＋logmx(m>0且m≠1)的图像，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求eq\o(F2B,\s\up10(→))·eq\o(F2A,\s\up10(→))的取值范围．解析(1)∵点A在圆x2＋y2＝c2上，∴△AF1F2为一直角三角形．∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c，∴|F2A|＝eq\r(|F1F2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)c.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋eq\r(3)c＝2a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.(2)∵函数y＝eq\r(2)＋logmx的图像恒过点(1，eq\r(2))，由条件知还恒过点(b，a)，∴a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1.点F1(－1,0)，F2(1,0)，①假设AB⊥x轴，那么A(－1，eq\f(\r(2),2))，B(－1，－eq\f(\r(2),2))．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))＝(－2，eq\f(\r(2),2))，eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(－2，－eq\f(\r(2),2))．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).②假设AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，那么AB的方程为y＝k(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2－2＝0，))消去y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*)∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是方程(*)的两个根．x1＋x2＝－eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－1,1＋2k2).∴eq\o(F2A,\s\up10(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(x2－1，y2)．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)eq\f(2k2－1,1＋2k2)＋(k2－1)(－eq\f(4k2,1＋2k2))＋1＋k2＝eq\f(7k2－1,1＋2k2)＝eq\f(7,2)－eq\f(9,21＋2k2).∵1＋2k2≥1，∴0<eq\f(1,1＋2k2)≤1,0<eq\f(9,21＋2k2)≤eq\f(9,2).∴－1≤eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝eq\f(7,2)－eq\f(9,21＋2k2)<eq\f(7,2).综上，由①②，知－1≤eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))≤eq\f(7,2).13．(2023·衡水调研)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．解析(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.因为椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，那么x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2).所以x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4k2,3＋4k2)，y3＝k(x3－1)＝eq\f(－3k,3＋4k2).线段MN的垂直平分线的方程为y＋eq\f(3k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)(x－eq\f(4k2,3＋4k2))．在上述方程中，令x＝0，得y0＝eq\f(k,3＋4k2)＝eq\f(1,\f(3,k)＋4k).当k<0时，eq\f(3,k)＋4k≤－4eq\r(3)；当k>0时，eq\f(3,k)＋4k≥4eq\r(3).所以－eq\f(\r(3),12)≤y0<0或0<y0≤eq\f(\r(3),12).综上，y0的取值范围是[－eq\f(\r(3),12)，eq\f(\r(3),12)]．14．(2023·北京海淀区期末)焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为eq\f(\r(3),2)，Q为椭圆C的左顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(－eq\f(6,5)，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．①假设直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；②假设直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由．解析(1)设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且a2＝b2＋c2.由题意可知：b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).解得a2＝4，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)得Q(－2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝－eq\f(6,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝－\f(4,5).))即A(－eq\f(6,5)，eq\f(4,5))，B(－eq\f(6,5)，－eq\f(4,5))(不妨设点A在x轴上方)，那么kAQ＝eq\f(\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝1，kBQ＝eq\f(－\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝－1.因为kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ.所以∠AQB＝eq\f(π,2)，即∠AQB的大小为eq\f(π,2).②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y＝k(x＋eq\f(6,5))(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0.因为点(－eq\f(6,5)，0)在椭圆C的内部，显然Δ>0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(240k2,25＋100k2)，,x1x2＝\f(144k2－100,25＋100k2).))因为eq\o(QA,\s\up10(→))＝(x1＋2，y1)，eq\o(QB,\s\up10(→))＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋eq\f(6,5))，y2＝k(x2＋eq\f(6,5))，所以eq\o(QA,\s\up10(→))·eq\o(QB,\s\up10(→))＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋eq\f(6,5))·k(x2＋eq\f(6,5))＝(1＋k2)x1x2＋(2＋eq\f(6,5)k2)(x1＋x2)＋4＋eq\f(36,25)k2＝(1＋k2)eq\f(144k2－100,25＋100k2)＋(2＋eq\f(6,5)k2)(－eq\f(240k2,25＋100k2))＋4＋eq\f(36,25)k2＝0.所以eq\o(QA,\s\up10(→))⊥eq\o(QB,\s\up10(→)).所以△QAB为直角三角形．假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，那么|QA|＝|QB|.如图，取AB的中点M，连接QM，那么QM⊥AB.记点(－eq\f(6,5)，0)为N.因为xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(120k2,25＋100k2)＝－eq\f(24k2,5＋20k2)，所以yM＝k(xM＋eq\f(6,5))＝eq\f(6k,5＋20k2)，即M(eq\f(－24k2,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))．所以eq\o(QM,\s\up10(→))＝(eq\f(10＋16k2,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))，eq\o(NM,\s\up10(→))＝(eq\f(6,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))．所以eq\o(QM,\s\up10(→))·eq\o(NM,\s\up10(→))＝eq\f(10＋16k2,5＋20k2)×eq\f(6,5＋20k2)＋eq\f(6k,5＋20k2)×eq\f(6k,5＋20k2)＝eq\f(60＋132k2,5＋20k22)≠0.所以eq\o(QM,\s\up10(→))与eq\o(NM,\s\up10(→))不垂直，即eq\o(QM,\s\up10(→))与eq\o(AB,\s\up10(→))不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．15．设椭圆M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)假设直线y＝eq\r(2)x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，eq\r(2))，求△PAB面积的最大值．解析(1)双曲线的离心率为eq\r(2)，那么椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，圆x2＋y2＝4的直径为4，那么2a＝4，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,b2＝a2－c2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(2)，,b＝\r(2).))所求椭圆M的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)直线AB的直线方程为y＝eq\r(2)x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)>0，得－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).∵x1＋x2＝－eq\f(\r(2),2)m，x1x2＝eq\f(m2－4,4).∴|AB|＝eq\r(1＋2)|x1－x2|＝eq\r(3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq\r(3)eq\r(4－\f(m2,2)).又P到AB的距离为d＝eq\f(|m|,\r(3)).那么S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)eq\r(3)eq\r(4－\f(m2,2))eq\f(|m|,\r(3))＝eq\f(1,2)eq\r(m24－\f(m2,2))＝eq\f(1,2\r(2))eq\r(m28－m2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\f(m2＋8－m2,2)＝eq\r(2)，当且仅当m＝±2∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))取等号．∴(S△ABC)max＝eq\r(2).16．设椭圆C：x2＋2y2＝2b2(常数b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，M，N是直线l：x＝2b上的两个动点，eq\o(F1M,\s\up10(→))·eq\o(F2N,\s\up10(→))＝0.(1)假设|eq\o(F1M,\s\up10(→))|＝|eq\o(F2N,\s\up10(→))|＝2eq\r(5)，求b的值；(2)求|MN|的最小值．解析设M(2b，y1)，N(b，y2)，那么eq\o(F1M,\s\up10(→))＝(3b，y1)，eq\o(F2N,\s\up10(→))＝(b，y2)．由eq\o(F1M,\s\up10(→))·eq\o(F2N,\s\up10(→))＝0，得y1y2＝－3b2.①(1)由|eq\o(F1M,\s\up10(→))|＝|eq\o(F2N,\s\up10(→))|＝2eq\r(5)，得eq\r(3b2＋y\o\al(2,1))＝2eq\r(5).②eq\r(b2＋y\o\al(2,2))＝2eq\r(5).③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得b＝eq\r(2).(2)易求椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.方法一|MN|2＝(y1－y2)2＝yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2，所以，当且仅当y1＝－y2＝eq\r(3)b或y2＝－y1＝eq\r(3)b，|MN|取最小值2eq\r(3)b.方法二|MN|2＝(y1－y2)2＝yeq\o\al(2,1)＋eq\f(9b4,y\o\al(2,1))＋6b2≥12b2，所以，当且仅当y1＝－y2＝eq\r(3)b或y2＝－y1＝eq\r(3)b时，|MN|取最小值2eq\r(3)b.17．(2023·武汉)如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．解析(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，那么x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝eq\f(y,2).①因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1.②将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由题意知，|t|≥1.当t＝1时，切线l的方程为y＝1，点A、B的坐标分别为(－eq\f(\r(3),2)，1)、(eq\f(\r(3),2)，1)，此时|AB|＝eq\r(3)，当t＝－1时，同理可得|AB|＝eq\r(3)；当|t|>1时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,x2＋\f(y2,4)＝1，))得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么由③得x1＋x2＝－eq\f(2kt,4＋k2)，x1x2＝eq\f(t2－4,4＋k2).又由l与圆x2＋y2＝1相切，得eq\f(|t|,\r(k2＋1))＝1，即t2＝k2＋1.所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[\f(4k2t2,4＋k22)－\f(4t2－4,4＋k2)])＝eq\f(4\r(3)|t|,t2＋3).因为|AB|＝eq\f(4\r(3)|t|,t2＋3)＝eq\f(4\r(3),|t|＋\f(3,|t|))≤2，且当t＝±eq\r(3)时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2＋y2＝1的半径，所以△AOB面积S＝eq\f(1,2)|AB|×1≤1，当且仅当t＝±eq\r(3)时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为(0，－eq\r(3))或(0，eq\r(3))．18．焦点在y轴上的椭圆C1：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1经过A(1,0)点，且离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．解析(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2.))解得a＝2，b＝1，所以椭圆C1的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝t))＝2t，所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h.代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.又MN与椭圆C1有两个交点，故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h2＋4]>0.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点横坐标为x0，那么x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(tt2－h,21＋t2).设线段PA的中点横坐标为x3＝eq\f(1＋t,2).由得x0＝x3，即eq\f(tt2－h,21＋t2)＝eq\f(1＋t,2).②显然t≠0，h＝－(t＋eq\f(1,t)＋1)．③当t>0时，t＋eq\f(1,t)≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；当t<0时，(－t)＋(－eq\f(1,t))≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．综上，h的最小值为1.19．△ABC中，点A、B的坐标分别为(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)，点C在x轴上方．(1)假设点C坐标为(eq\r(2)，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为eq\f(3,4)π的直线l交(1)中曲线于M、N两点，假设点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．解析(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，c＝eq\r(2)，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝eq\r(2)，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得3x2－4mx＋2m2－4＝0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4m,3)，,x1x2＝\f(2m2－4,3)))假设Q恰在以MN为直径的圆上，那么eq\f(y1,x1－1)·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝eq\f(2±\r(19),3).20．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，其中左焦点F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解析(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＝2))⇒eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m))⇒3x2＋4mx＋2m2－8＝0.∴Δ＝96－8m2>0⇒－2eq\r(3)<m<2eq\r(3).∴x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2m,3)，y3＝x3＋m＝eq\f(m,3).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y3＋y4,2)＝\f(x3＋x4,2)＋1，,\f(y4－y3,x4－x3)＝－1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4＝\f(m,3)－1，,y4＝1－\f(2m,3)，))在x2＋y2＝1上．∴(eq\f(m,3)－1)2＋(1－eq\f(2m,3))2＝1⇒eq\f(m2,9)－eq\f(2m,3)＋eq\f(4m2,1)－eq\f(4m,3)＋1＝0.∴5m2－18m＋9＝0⇒(5m－3)(m－3)＝0.∴m＝eq\f(3,5)或m＝3经检验成立．∴m＝eq\f(3,5)或m＝3.21．(2023·浙江宁波市期末)抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y＝eq\f(p,2)于点M，当|FD|＝2时，∠AFD＝60°.(1)求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；(2)假设B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的