第3讲 等比数列及其前n项和

222268222268第3讲等比数列其前n项和一、选择题1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1

D.

12解析设等比中项为，则x

＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.答案C2．{a}是任意等比数列，它的n和，2n和与前3n项和分别为，，nZ，则下列等式中恒成立的是()．A．X＋＝2Y

B．Y(－X)＝(－)C．Y

＝XY

D．Y(Y－X)＝(Z－)解析选D.答案

(特例法)取等比数列1,2,4，n＝1得X＝，＝3，＝7代入验算，D3．已知等数列{}递增数列．若a，且2(a＋a＝5a，则数列{}nnn的公比q＝()．A．2

B.

12

C．2或

12

D．解析

∵2(a＋＝5a，∴＋2aq＝a，nn2＋1nnn化简得，2q－5q20由题意知，q>1.q2.答案

A4．在正项比数列{}，S是其前项和．若a＝1，a＝8，则＝nn6()．A．8B．＋1)C．2－

D．15(1－解析

∵a＝＝，∴aq＝8∴q2∴＝241

1q1q

＝2．

555π2π337332555π2π337332答案

B5．已知等比数列{a的前n项和t·5nn

－2

1－，则实数t值为()．5A．4B．5

C.

45

D.

15解析

114∵a＝S＝t－，a＝－St，a＝SS＝4，∴由{a}是等比数11552215332n1列知，显然t≠0，所以t＝答案

B6．在由正组成的等比数列{}，若a＝3，则sin(log＋loga＋…＋n345332a)的值为()．31

B.

32

C．1

D．－

32解析

因为a＝3＝35

π，所以a＝.44π7πaloglog(…)7log＝33732743＋log＋…log)＝3323答案

B二、填空题7．设1＝≤a…≤a，其中aaa公比为q的等比数列，，，127135724a公差为1的等差数列，则q的最小值是________．6解析

设a＝t1≤≤q≤＋1≤q≤t＋2≤3≥1≥max{t，233t＋，t＋q的最小值是3.答案

3

38．在等比数列{a}中，若公比q＝，且前3项之和等于，则该数列的通项公n式a＝________.n解析

由题意知a＋a16a21，解得a1，1111所以数列{a}的通项公式a4nn

－1

.

*222212333nn22n232222nn2n22*2，22n211n1＋12n1n2＋2na1312*222212333nn22n232222nn2n22*2，22n211n1＋12n1n2＋2na131222n132222答案

4

19f()是定义在R恒不为零的函数且对任意的实数xy∈R都有f(x)·f()1＝f(x＋y，若a＝，＝f(nn∈N1是________．

，则数列{}前n项和的取值范围n解析

1由已知可得＝(1)，＝＝[(1)]＝＝ff(1)[(1)]，a＝f(n)[(1)]1∴S＝12＝＝－111∵nN，∴≤<1.n

n答案

10等差数列{}首项为a，公差为，前n项和为，给出下列四个命题：nn①数列数列；②若a＋＝，S＝；S＝－2nd；④若d，则一定有最大值．n其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析

对于①，注意到＝－a

d

是一个非零常数，因此数列①正确．对于②S＝＝＝13因此②正确．对于③，注意到＝＋n

nndn[a－(d]＋dnnna－d因此③正确．对于④＝na＋>0不存在nn最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案

①②③

n3nnnnnnnn＋22n1n222nn2n3nnnnnnnn＋22n1n222nn2三、解答题1111．已知等比数列{a中，a＝，公比q＝.n133(1)S{a}前n项和，证明：S＝nnn

1－a2

；(2)设b＝log＋a…＋loga，求数列b的通项公式．n31323nn解(1)证明

1111－11331－a因为a＝×S＝＝，所以S＝.331221－3(2)b＝loga＋loga＋…loga(1＋…＋)＝－n31323n

n＋12

.所以{b}的通项公式为b－nn

n＋12

.12已知数列{}前n项和为，在数列{}，b＝，b＝－(n≥2)，n1nnn－1且a＋S＝n设＝a－1，求证：{}等比数列；nn求数列{}通项公式．n证明

∵a＋S＝n，nn

①∴a＋S＝＋1，n1②－①得a－a＋a＝，nnn∴2a＝＋1，∴2(a－1)＝a－，nnn

②∴

a－1＝.a－n∵首项c＝a－，又a＋a＝1.11∴a＝，∴c＝－，公比q＝12211∴{}以－为首项，公比为的等比数列．n解

由(可知＝－∴a＝c＋1＝1－nn

nn22n1n1nn222222222n1n12223***n01n1nn22n1n1nn222222222n1n12223***n01n1∴当n≥2时，b＝a－a＝－－＝－1又b＝＝代入上式也符合，∴b＝1n

n

.13已知两个等比数{}{}满足a＝a(a－a＝1，－a＝，nn1b－＝3若a1，求数列{a}通项公式；n若数列{}一，求a的．n解

设数列{}公比为，则＝＋a＝2，b＝＋aq＝2＋q，b＝＋n2aq＝3＋q，由，，成等比数列得(＋q)＝＋q)．123即q

2

－4q2＝0解得q＝＋2q＝2－1所以数列{}通项公式为a＝(2＋－或a＝(2－－.nn设数列{}公比为q则由(2aq＝(1)(3＋)，aq－4＋－n1＝，由a＞0得4

2

＋4＞，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{}一，知方程*)必有一根为0，n1代入(*)得a＝14数列{}前n项和记为，＝t，点(S，)在直线y＝3＋1上，∈nnN.当实数t为何值时，数列{}等比数列．n在(1)的结论下，设＝a，＝＋b，T是数列{}前n项和，nnnn求T.n解

∵点(S，a在直线y＝3＋1，nn1∴a＝S＋1，a＝3＋1(n，且∈N)．nnn1∴a－＝－S)＝∴a＝4(nn∈N＝S＋＝3a＋1nnn12＝3t＋1，∴当t