运筹学-整数规划与分配问题

第四章整数规划与分配问题运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第1页!对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。但是对于某些问题，会要求解答必须是整数（称为整数解）。对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货的车数、集装箱数量等；对于一些决策变量必须取Boolean值时，如要不要在某地建工厂，可选用一个逻辑变量x，令x=0表示不在该地建厂，x=1表示在该地建厂。

这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这样的问题为整数规划。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第2页!例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表：货物体积米3/箱重量百斤/箱利润百元/箱

甲乙54252010托运限制2413问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍五入”或“凑整”方法寻找最优解？运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第3页!对于变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得到的解就可能与实际整数最优解差别很大。当问题规模较大（决策变量较多）时，用“凑整”方法来算工作量很大。例：某线性规划问题最优解为(x1,x2)=(4.6,5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的几种组合：(4,5),(4,6),(5,5),(5,6)，共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解组合达到210=1024个整数组合。且最优解未必在这些组合中。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第4页!主要内容一、整数规划的特点及作用二、分配问题与匈牙利法三、分枝定界法四、应用举例运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第5页!一、整数规划的特点及作用

1.1整数规划的概念整数规划(IntegerProgramming)：决策变量要求取整数的线性规划。如果所有的决策变量、技术系数和右端项都是非负整数，就称为纯整数规划。如果所有的决策变量都是非负整数，技术系数和右端项为有理数，称为全整数规划。如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合整数规划。如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第6页!一、整数规划的特点及作用

1.2

0-1整数规划0-1整数规划的一般形式:0-1整数规划一般都是纯整数规划。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第7页!第二节分配问题与匈牙利法第四章整数规划及分配问题运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第8页!二、分配问题与匈牙利法

2.1分配问题(2)如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；如果完成任务的效率表现为生产效率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数最大化。在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率，通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第9页!二、分配问题与匈牙利法

2.2分配问题实例(2)效率矩阵用[aij]表示。aij>0(i,j=1,2,…,n)表示指派第j人去完成第i项任务时的效率(时间、成本等)。

人员任务甲乙丙丁译成英文译成日文译成德文译成俄文2151341041415914161378119运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第10页!二、分配问题与匈牙利法

2.3匈牙利法分配问题可以用单纯形法或运输表求解。库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.König)一个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数。这个解法称为匈牙利法。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第11页!二、分配问题与匈牙利法

2.3匈牙利法的基本定理定理1如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，若其中bij=aij

–ui–vj，则[bij]的最优解等价于[aij]的最优解。定理2若矩阵A的元素可分为“0”和非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素的最大个数。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第12页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(2)第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。必定满足：bij=aij–ui–vj运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第13页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(4)第三步：从列开始，若该列只有一个零元素，对零元素打上()括号(同样不考虑已划去的零元素)，再用直线划去其所在行；若该列没有零元素或有两个零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第14页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(6)顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打()，然后对所有打()的零元素或所在行或所在列画一条直线，同样得到最优解。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第15页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(8)第五步：回到第三步，迭代运算，直到矩阵的每一行都有一个打()的零元素为止。最优分配方案为：甲译俄文，乙译日文，丙译英文，丁译德文。所需时间为：4

+

4

+

9

+

11=28h运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第16页!二、分配问题与匈牙利法

2.6目标函数最大化的分配问题令

bij

=

M

-

aij标准化

M为充分大的常数，可以得到bij≥0。根据定理1，这种转换是等价的。bij

=−aij

–ui–vj

=−aij

+

M若aij≥0，转换后的效率矩阵不符合匈牙利法的条件。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第17页!第三节分枝定界法第四章整数规划及分配问题运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第18页!三、分枝定界法

3.2分枝定界法实例(1)求解B：其最优解为x1=3.25，x2=2.5，最优目标函数值为z*

=14.75松弛问题定界：令x1=0，x2=0作为初始整数解，其z=0，因此。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第19页!定界：

用图解法可得B1的最优解为(3.5,2),z1=14.5；B2的最优解为(2.5,3),z2=13.5。没有整数最优解，上界其下界没有整数解，

z1>z2，对B1再次分枝。

三、分枝定界法

3.2分枝定界法实例(3)运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第20页!三、分枝定界法

3.2分枝定界法—剪枝Bx1=3.25

x2=2.5Z

=14.75B1x1=3.5x2=2Z

=

14.5B2x1=2.5

x2=3Z

=13.5B11x1=3

x2=2Z

=13B12x1=4x2=1Z

=14××x2≤2x2≥3x1≤3x1≥4将各子问题边界值与保留的可行解的值进行比较。把边界值劣于可行解的分支减去。若除保留的可行解外，其他的分支均被减去，则得到最优解。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第21页!三、分枝定界法

3.4分枝定界法的解题步骤(1)解松驰问题B：B没有可行解，这时A也没有可行解，停止。B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解，停止。B有最优解，但不符合问题A的整数条件，将B的目标函数值为问题A的上界。用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取xj=0，j=1,…,n，求得其目标函数值，作为A的下界，开始迭代运算。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第22页!三、分枝定界法

3.4分枝定界法的解题步骤(3)比较与剪枝：各分支的最优目标函数若小于第三步得到的下界，则剪掉此分枝(用打×表示)，以后不再考虑。若大于下界，且不符合整数条件，则重复第三步，选取所有边界值最优的分枝进行分枝与定界，一直到最后得到z*=

A的下界为止，此时得到最优解。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第23页!例：求整数规划问题的最优解解：用图解法得最优解为（3.25,2.5）如果不考虑整数约束（称为整数规划问题的松弛问题）最优解为（4,1），z*=14。凑整法求解：比较四个点（4,3）,（4,2）,（3,3）,（3,2），前三个都不是可行解，第四个虽然是可行解，但z=13不是最优解。(4,1)运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第24页!节整数规划的特点及作用第四章整数规划及分配问题运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第25页!一、整数规划的特点及作用

1.2

0-1整数规划某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（点）Ai供选择。规定在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个；在西区，由A4，A5两个点中至少选一个；在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。问：应如何选址，可使年利润为最大？运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第26页!一、整数规划的特点及作用

1.3整数规划的作用0-1整数规划在管理领域具有重要作用m个约束条件中只有k个起作用；约束条件的右端项可能是r个值(b1,b2,…br)中的某一个；两组条件中满足一组；用以表示含固定费用的函数。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第27页!二、分配问题与匈牙利法

2.1分配问题(1)指派n个人去完成n项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最少)，这类问题称为指派问题或分配问题。安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上完成；有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；……运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第28页!二、分配问题与匈牙利法

2.2分配问题实例(1)例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时间最少?

人员任务甲乙丙丁译成英文译成日文译成德文译成俄文2151341041415914161378119运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第29页!二、分配问题与匈牙利法

2.2分配问题实例(3)某项任务只能由1人完成；某人只能完成1项任务。

建立整数规划模型分配问题是0-1整数规划的特例，也是运输问题的特例；n=m,aj=bj=1。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第30页!二、分配问题与匈牙利法

2.3匈牙利法的基本思想如果效率矩阵的所有元素aij≥0,而其中存在一组位于不同行不同列的零元素，则只要令对应于这些零元素位置的xij=1，其余的xij=0，则所得到的可行解就是问题的最优解。显然令x11=1,x23=1,x32=1,x44=1，即将项工作分配给甲，第二项给丙，第三项给乙，第四项给丁。这时完成总工作的时间为最少。如何寻找这组位于不同行不同列的零元素？运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第31页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(1)

人员任务甲乙丙丁译成英文译成日文译成德文译成俄文2151341041415914161378119步：找出每行的最小元素，每行对应减去这个元素。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第32页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(3)第三步：从行开始，若该行只有一个零元素，对零元素打上()括号，表示行所代表的任务已指派。用直线划去其所在列；若该行没有零元素或有两个以上零元素(已划去的不计在内)，则转下一行，依次进行到最后一行为止。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第33页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(5)效率矩阵每行都有一个打()的零元素，这些零元素都位于不同行不同列，令对应打()零元素的xij=1

就得到最优解；矩阵中所有零元素或被划去，或被打上()，但打()的零元素少于m个，这时转第四步。打()的零元素小于m，但未被划去的零元素之间存在闭回路。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第34页!二、分配问题与匈牙利法

2.4匈牙利法实例(7)第四步：继续按照定理1，对矩阵进行变换。从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的数k；对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令ui=0，无直线覆盖的，令ui=k；对矩阵中有直线覆盖的列，令vj=

-k，对无直线覆盖的列，令vj=0。只有一条直线覆盖的元素保持不变运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第35页!二、分配问题与匈牙利法

2.5人数和任务数不相等的分配问题有四项工作分配给六个人去完成，每个人分别完成各项工作的时间如下，依然规定每个人完成一项工作。每项工作只交给一个人去完成。即六个人中挑选哪四个人去完成，花费时间最少。

工作人IIIIIIIV123456373655616427245346648732

工作人IIIIIIIVVVI123456373655616427245346648732000000000000运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第36页!第四章整数规划及分配问题

作业一求下面指派问题的最优解运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第37页!三、分枝定界法

3.1分枝定界法的基本思想分枝定界法可用于全部类型的整数规划问题。设有最大化的整数规划问题A，对应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的下界。分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，逐步减小和增大上、下界，最终得到整数规划问题A的z*。运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第38页!分枝：在B的最优解中，任取一个非整数变量，如x2=2.5；因x2的最近邻整数解为x2=2或x2=3，其最优整数解区间只能是x2≥3或x2≤2。对B分别加上约束条件x2≥3和x2≤2，可得到两个子问题B1和B2。三、分枝定界法

3.2分枝定界法实例(2)运筹学——整数规划与分配问题共43页，您现在浏览的是第39页!三、分枝定界法

3.2分枝定