清风Get行列式的计算方法及应用毕业论文

行列式的计算方法及应用毕业论文山西师范大学现代文理学院本科毕业论文行列式的计算方法及应用姓名 张建民 系别 数学与计算机科学专 业 数学与应用数学班 级 1004学 号 1090110403指导教师 王翠红 答辩日期 成绩行列式的计算方法及应用内容摘要科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是由研究线性方程组产生的，并成为一种重要的数学工具，因此懂得解行列式就非常重要。本文总结了行列式的十一种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪。另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。【关键词】线性方程组行列式初中代数解析几何CalculatingmethodsofdeterminantanditsapplicationAbstractScientificresearch,engineeringandeconomicactivitiesandtherearealotofproblemscanbeformulatedaslinearequations,thedeterminantisgeneratedbyasystemoflinearequations,andbecomeanimportantmathematicaltool,soitisveryimportanttoknowthesolutiondeterminant・Thispapersummarizeselevenmethodsofcalculatingthedeterminant,andeachmethodareexamplesoftracking・Alsodescribesthedeterminantintheapplicationofthetwoaspectsofjuniorhighschoolalgebraandanalyticgeometry【KeyWords】linearequationsDeterminantjuniorhighschoolalgebraanalyticGeometry目录TOC\o"1-5"\h\z前言 1\o"CurrentDocument"一、 行列式的计算方法 3（一） 利用行列式定义计算 3（二） 利用行列式的性质计算 4（三） 化三角形法 4（四） 降阶法 5（五） 递推公式法 5（六） 利用范德蒙行列式 7（七） 加边法 8（八） 数学归纳法 8（九） 连加法 9（十）拆项发 9（十一）析因子法 10\o"CurrentDocument"二、 行列式的应用 10（一） 行列式在代数中的应用 11（二） 行列式在几何中的应用 12参考文献 14致谢 15行列式的计算方法及应用学生姓名：张建民指导老师：王翠虹■>■刖言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。比如说，如果一段导线的电阻为R，它两端的点位差为V，那么通过这段导线的电流强度为I,就可以用关系式表示IR二V求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。下面讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。对于二元线性方程组厂ax+ax二b,J111 122 1ax+ax二b,，2112222当aa-aa丰0时，此方程组有唯一解，即11221221ba-ab ab-abx=—^-22 212，x=― 121.aa-aa2aa-aa1122122111221221称aa-aa为二级行列式，用符号表示为11221221aa—aa=111211221221aa2122aa1112丰0a2221即balabI112111baabx=2—— ,x=121―|.1aa2aa11121112aaaa2122121221当二级行列式时，该方程组有唯一解,对于三元线性方程组有相仿的结论。设有三元线性方程组TOC\o"1-5"\h\za x +a x + a x =b ,11 1 12 2 13 3 1<a x +a x + a x =b ,21 1 22 2 23 3 2a x +a x + a x =b .31 1 32 2 33 3 3

称代数式aaa+aaa+aaa—aaa—aaa—aaa为三112233122331132132112332122133132231级行列式，用符号表示为：aaa+aaa+aaa—aaa—aaa—aaa112233122331 132132112332122133132231aaa111213=aaa.212223aaa313233我们有：当三级行列式aaa111213d=aaa丰0212223aaa313233时，上述三元线性方程组有唯一解，解为dddx—-1-,x—T-,x—1d2d3dbaaadaaad1 12 131111311121其中d=baad=adad—aad1 2 22 23221223321222baaadaaad3 32 333133331323把这个结果推广到n元线性方程组ax+ax+-••+ax—b,1111221nn1ax+ax+•-•+ax—b,<2112222nn2ax+ax+-••+ax—bn1 1n2 2nnnn的情形。为此将要给出n级行列式的定义及计算方法。定义皿n级行列式aa ・…a11121naa ・…a21222naa ・…an1n2nn等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积TOC\o"1-5"\h\zaa…a (5)1j12j2 叭的代数和，这里jj…j是1,2,…,n的一个排列，每一项⑸都按下列规则带有符12n号：当jj…j是偶排列时，(5)带有正号，当jj…j是奇排列时，(5)带负号。12n 12n这一定义可以写成

a11a21a11a21a12a22a1na2n=E (-1)T(jj…丿；)a a1j12j2 njjj…jan2an1an2an1这里工j1j…jnn级行列式性质：[2]nn表示对所有n级排列求和。（1）把行列式的各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。（2） 把行列式的两行（两列）对调，所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。（3） 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数k，等于用数k乘原行列式。（4） 如果行列式某两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式等于零。（5） 如果行列式的某一行（一列）的元是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。（6） 把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一个数k，加到另一行（或一列）的对应元上，所得行列式与元行列式相等。（7） 行列式某一行（或一列）的各元与另一行（或一列）对应元的代数余子式的乘积的和等于零。⑻行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。一、行列式的计算方法（一）、利用行列式定义计算例1计算行列式00020030D二04005000解：展开式中项的一般形式是aaaa.1j1 2j2 3j3 4j4显然，如果j丰5，那么a=0，从而这个项都等于零。因此只需考虑j=5的1 1j1 1

那些项；同理，只需考虑j二4,j二3,j二2这些列指标的项。这就是说行列式234不为零的项只有aaaa这一项，而t（3421）二6这一项前面的符号应该是正14233241的。所以D=2•3•4•5=120（二）利用行列式的性质计算例2计算n级行列式cdddcdd=ddcddd…d…d…d…c直到第n列也加到第一列,即得…d…d…d解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是c，其余直到第n列也加到第一列,即得…d…d…dc+(n—1)dc+(n—1)dc+(n—1)dc+(n一1)ddd

d

d把第二行到第n行都分别加上第一行的把第二行到第n行都分别加上第一行的-1倍,d= +(n—1)d-就有…d…d…d根据例1得d=L+(n—1)d]c—d)n—1（三）化三角形法化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法,它是计算行列式的重要方法之一。因为利用行列式的定义容易计算上（下）三角形行列式。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作保值变形,再将其化为三角形行列式。例3计算行列式

0 1131-102D二-2301101-102"3飞Dr4=2-01130-13-2031-41-102竺-01130041r4-3r200-2—131-10r+2r3=401100-2r吕r3 4000-43=50-13-25（四）降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例5计算行列式1-101012D二23 4 7241解C-C 0241解C-C 0D=30-23C4-2c3120r1二4r3214-12412104-1=(-1)2+323-112212-6=-(-1)3+1=—21r2+2r3（五）、递推公式法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，

便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。例6计算n阶行列式解按第一列展开30—3Dn—2于是有D—3Dn i-3D—3Dn i-3DTOC\o"1-5"\h\zn—1 n—1 n—2 n—2 n—3D—D二3(D—D)二32(D —D)n n—1 n—1 n—2 n-2 n—3…二3n-2(D—D)二3n21从上两式削去D ，得D=丄(3n+1—1)n—1 n2对于形如「••••*1的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式D=aD+pD，然后采用如下一些方法求解。n n—1 n—2方法1如果n较小，则直接递推计算。方法2用第二数学归纳法：即验证n=1时结论成立，设n<k结论成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数结论相应也成立。方法3将D=aD+PD变形为D—pD=q(D—pD)，其中n n—1 n—2 n n—1 n—1 n—2由韦达定理知p和q是一元二次方程x2—(Xx—B=0的两个根。确定p和q后,令f(x)二D—pD，利用f(n)二qf(n—1)递推求出f(n)，再由D二pD+f(n)n n—1 n n—1

递推求出D方法4设D=xn.代入D—aD —pD =0得xn—axn—1—pxn—2=0因此n n n—1 n—2有x2—ax—p=0（称为特征方程），求出其根x和x（假设x丰x），则1212D=kxn+kxn.这里k,k可通过取n=1和n=2来确定。n 1 1 2 2 1 2例4求n阶行列式的值解按第一行展开得D二-解按第一行展开得D二-Dn n-2+Dn—2二0.作特征方程x2+1=0解得x=i,xx=i,x=—i，则12D=a-in+b-(-i)nn当n=1时,D=0，代入(1)式得ia-ib=0;当n二2时,1D=-1，代入（1）得2一a一a一b=一1联立求解得a（六）利用范德蒙行列式

例7计算行列式11…1x+1x+1… x+112nx2+xx2+x… x2+x1.12.2n nxn—1+xn—2xn—1+xn—2…xn—1+xn—21122nD=解 把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n-1行的一1倍加到第n行，便得范德蒙行列式x1

x2x1

x21x2x22xnx2n=n(a—a)ij1<j<i<nxnxn-12xn-1

nxn—11其中“n”表示连乘号。

（七）、加边法计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法。当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。例8计算行列式解给原行列式加边1000100011+a11111+b11111+d1111一r1111一r+r_L i一1a001c+ca上一10b0i>1-100d1c+cb3 1丄c+cd3 1十)abd1111+一+一+一111abd0a0000b0000da（八）、数学归纳法首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例9计算n阶行列式-1-1x+a1二x(x+a)+a12x-10…00x-1…00D=•••••n000…x-1aaa…aa+xnn-1n-221解用数学归纳法当n=2时=x2+ax+a假设n=k时，有D二xk+axk—1+axk—2+ +ax+aTOC\o"1-5"\h\zk 1 2 k—1 k则当n二k+1时，把D按第一列展开，得k+1D二xD+Dk+1 k k+1=x(xk+axk—1+—fax+a)+a1 k—1 k k+1=xk+1+axkh fax2+ax+a1 k—1 k k+1（九）连加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行）使该列（行）元素均相等或出现较多零，进而简化行列式的计算方法称为连加法。例10计算行列式xaaaaxaaaaxaaaax解它的特点是各列元素之和为（3a+x），因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出（3a+x），得D二(3a+x)D二(3a+x)1111axaaaaxaaaax将第一行乘以（-a）分别加到其余各行,化为三角形行列式，则D二(3a+x)1000=(3a+x)(x—a)3（十）拆项发把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和，进而使行列式简化以便计算。例11算行列式

a+九aa1123D—aa+九a1223aaa+尢1233aaa九aa解123123D—aa+尢a+0a+九a1223九223aaa+0aa+123323=a九九+九［(a+九)(a+九)—aa]123 1223323(十一)、析因子法例12算行列式11231D—2—x22323142319—.解 由行列式D定义知为x的4次多项式,又，当x=±1时，1,2行相同，有D=0,所以x二±1为D的根。当x二±2时，3,4行相同，有D二0所以x=±2为D的根。故D有4个1次因式：x+1,x—1,x+2,x—2设D=a(x+1)(x一1)(x+2)(x一2)令x=0，贝0112211122123322113359——12即，a-1-(—1)(—2)=—12,所以a=—3所以D——3(x+1)(x—1)(x+2)(x—2)小结以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式，利用性质分为直接利用和利用性质化三角形行列式，降阶法主要是利用按行(列)展开公式，一般某行或某列含有较多的零元素。每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义。二、行列式的应用行列式是研究数学的重要工具之一，下面主要介绍行列式在代数和几何两个方面的应用。（一）、行列式在代数中的应用（1）用行列式解线性方程组如果线性方程组TOC\o"1-5"\h\za x+a x H Fa x =b11 1 12 2 1n n 1a x+a x H Fa x =b/ 21 1 22 2 2n n 2ax+axH Fax=bn11 n22 nnn n（其中x,x,x代表未知量，a（i=1,2,…,m;i=1,2,…,n）代表未知量的1 2 n j系数，b,b，…,b带表常数项。的系数行列式D丰0，那么，这个方程组有解，1 2 m并且解事唯一的，可表示为DD Dx= 1,x= 2,•…,x= «-1D2DnD（2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的关键，是把所给的多项式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.例13分解因式ab2c3+be2a3+ca2b3一cb2a3一ba2c3一ac2b3.解 原式=abc|（bc2一b2c）+（a2c一ac2）+（ab2一a2b）=abc|bc（c一b）+ac（a一c）+ab（c一b）|c1a1a1=abcbc+ac—abb1c1b1bca1bca 1=abcabc1=abcab一bcc一a0acb1ac一bcb一a0=abc|（ab一bc）（b一a）一（ac一bc）（c一a）|=abc|b（a一c）（b一a）一c（a一b）（c一a）|=abc（a一b）（c一a）（b一c）（3）用行列式证明恒等式我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）

的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行(列)的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例14已知a+b+c=0,求证a3+b3+c3=3abc证明令D=a3+b3+c3-3abc，则abcD=cababcD=cabbca命题得证。Cba+b+ca+b+c111=(a+b+c)cabbca二0aa+b+cb(二)、行列式在几何中的应用(1)用行列式表示三角形的面积以平面内三点P以平面内三点P(x,y)，Q(x,y)，1122R(x,y)为顶点的APQR的面积S是3 3xy1111111xyxy1111111xy1222Jxy133■1证明PQ=(X2一x,y一y,°)，121x—xy一y2121x—xy一yPQxPR二(0,0,)3 13 1PR=(x-x,y-y,0)3 13 1将平面P(x,y),Q(x,y),R(x,y)三点扩充到三维空间，其坐标分别1 1 2 2 3 3为(x,y,k)，(x,y,k)，(x,y,k)，其中k为任意常数。由此可得1 1 2 2 3 3APQR面积为S二1|pQ|pRsin<PQ,PR>—x—x2 1x一x3 1y一y2 1y一y3 1TOC\o"1-5"\h\zx一x—2 1x一xy一y21y一y21y一y31xy1ll1111xy1222Jxy1332)用行列式表示直线方程直线通过两点P(x,y)和Q(x,y)的直线方程为1122x1xx1x2xy1y2y二0.证明由两点式，我们的直线PQ方程为x-xy-y 4= 2x-xy-y1212将上式展开并化简，得xy-xy-xy+xy-xy+xy=012122此式可进一步变形为此式为行列式⑴按