-新教材高中数学午间半小时十五练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE3午间半小时(十五)(30分钟50分)一、单选题1．sin22°30′·cos22°30′的值为().A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),4) C．－eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)【解析】选B.原式＝eq\f(1,2)sin45°＝eq\f(\r(2),4).2．若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，则cosα等于()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3) C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【解析】选C.因为sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3).3.eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)【解析】选B.eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)·eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)·tan45°＝eq\f(1,2).4．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α等于()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4) C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)【解析】选B.因为eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，故tanα＝－3，所以根据二倍角公式，得tan2α＝eq\f(3,4).5．设sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α的值是()A．eq\r(3) B．－eq\r(3) C．2eq\r(3) D．－2eq\r(3)【解析】选A.因为sin2α＝－sinα，所以2sinαcosα＝－sinα，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα≠0，所以cosα＝－eq\f(1,2)，所以α＝eq\f(2π,3)，则tan2α＝taneq\f(4π,3)＝eq\r(3).二、多选题6．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,7)，则sin2x－3cos2x的可能取值为()A．eq\f(1,5) B．5 C．－eq\f(16,5) D．－eq\f(16,3)【解析】选AC.taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2x＋1,1－tan2x)＝－eq\f(1,7)，化简得tan2x＝－eq\f(4,3)，由二倍角的正切公式得，eq\f(2tanx,1－tan2x)＝－eq\f(4,3)，解得tanx＝2或tanx＝－eq\f(1,2).sin2x－3cos2x＝eq\f(2sinxcosx－3cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tanx－3,tan2x＋1)，将tanx的值代入，可得sin2x－3cos2x＝eq\f(1,5)或－eq\f(16,5).7．若2cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为()A．－eq\f(7,8) B．eq\f(\r(5),8) C．1 D．eq\f(7,8)【解析】选AC.若2cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，即2(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα，当cosα＝sinα时，满足条件，此时，tanα＝1，sin2α＝1.当cosα≠sinα时，则2(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，即cosα＋sinα＝eq\f(\r(2),4)，所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,8)，即sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(7,8).综上可得，sin2α＝1或－eq\f(7,8).三、填空题8．(2020·浙江高考)已知tanθ＝2，则cos2θ＝________；taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________．【解析】cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(1,3).答案：－eq\f(3,5)eq\f(1,3)9．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sin4α的值为________．【解析】因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,6)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以2α∈(π，2π).所以sin2α