-新教材高中数学课时检测12直线的倾斜角与斜率含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE4课时跟踪检测（十二）直线的倾斜角与斜率[A级基础巩固]1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.2．(多选)下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，且tanα＞0，则α为锐角B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα解析：选AD对于A，因0°≤α＜180°，且tanα＞0，则α为锐角，A正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，显然D正确．3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a)的直线的倾斜角为()A．30° B．45°C．60° D．135°解析：选B显然，经过点P和点Q的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得kPQ＝eq\f(（c＋a）－（b＋c）,a－b)＝1.又tan45°＝1，所以直线PQ的倾斜角为45°.故选B.4．若三点A(2，3)，B(3，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则实数m的值为()A．2 B．eq\f(7,2)C．eq\f(9,2) D．eq\f(11,2)解析：选C根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝eq\f(6－2m,3)，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴eq\f(6－2m,3)＝－1，∴m＝eq\f(9,2).5．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1，0] B．[0，1]C．[1，2] D．[0，2]解析：选D由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.6．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．解析：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得eq\f(0＋1,m－2)＝eq\f(n＋1,0－2)＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).答案：(3，0)或(0，－3)7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．解析：如图，易知kAB＝eq\r(3)，kAC＝－eq\r(3)，则kAB＋kAC＝0.答案：08．已知直线l上的两个点M(1，2)，N(5，4)，则直线l的一个法向量为________．解析：∵直线经过M(1，2)，N(5，4)，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(4，2)，∴eq\o(MN,\s\up7(→))是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，∴直线l的一个法向量为(2，－4).答案：(2，－4)(答案不唯一)9．已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率及直线的一个方向向量．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝eq\f(1,2)时，b的值．解：由斜率公式得kAB＝eq\f(－2－3,3＋2)＝－1.则直线l的一个方向向量为(1，－1).∵C在l上，∴kAC＝－1，即eq\f(b－3,a＋2)＝－1.∴a＋b－1＝0.当a＝eq\f(1,2)时，b＝1－a＝eq\f(1,2).10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解：如图，由题意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.[B级综合运用]11．(多选)直线l过原点(0，0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是()A．0° B．120°C．90° D．60°解析：选ABC当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．12．过P(6，eq\r(3))的直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))，则直线l的斜率为________，直线l的一个法向量为________．解析：由eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))知P为AB的中点，所以A(12，0)，B(0，2eq\r(3)).kAB＝eq\f(2\r(3)－0,0－12)＝－eq\f(\r(3),6)，所以直线l的一个方向向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),6))).则直线l的一个法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，1)).答案：－eq\f(\r(3),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，1))13．若三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．解析：kAB＝eq\f(k－1,－2－3)＝eq\f(1－k,5)，kAC＝eq\f(1－1,8－3)＝eq\f(0,5)＝0.要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴eq\f(1－k,5)≠0.∴k≠1.答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)14．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直线AB的斜率为eq\f(1,7)，直线AC的斜率为eq\f(5,3).(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).[C级拓展探究]15．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．解：如图，可知eq\f(y＋3,x＋2