-新教材高中数学午间半小时三十九练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE4午间半小时(三十九)(30分钟50分)一、单选题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．11【解析】选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A．(eq\r(3)＋1)πB．4πC．3πD．5π【解析】选C.如图，因为圆锥的轴截面是边长为2的正△ABC，所以圆锥的底面半径r＝1，母线长l＝2；表面积S＝πr2＋eq\f(1,2)×2πr×l＝π＋2π＝3π.3．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(2),2)【解析】选C.设底面半径为r，则等边圆锥的母线长为l＝2r，S底＝πr2，S侧＝πrl＝πr×2r＝2πr2，所以eq\f(S底,S侧)＝eq\f(πr2,2πr2)＝eq\f(1,2).4．某圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则该圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169π【解析】选C.该圆台的轴截面如图所示．设圆台的上底面半径为r，则下底面半径r′＝4r，高h＝4r，则它的母线长l＝eq\r(h2＋（r′－r）2)＝eq\r(（4r）2＋（3r）2)＝5r＝10，所以r＝2，r′＝8.所以S侧＝π(r′＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋π(r′)2＝100π＋4π＋64π＝168π.5．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2【解析】选C.方法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝4πRr.方法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.6．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为()A．12＋4eq\r(3) B．18＋6eq\r(3)C．24＋8eq\r(3) D．36＋12eq\r(3)【解析】选C.由于二十四等边体的外接球表面积为16π，设其半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2.设O为球心，依题意可知四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，由于OA＝OB＝OC＝OD＝2，所以四边形ABCD是正方形，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(2).所以二十四等边体的边长为2.所以二十四等边体的表面积为2×2×6＋eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(π,3)×8＝24＋8eq\r(3).二、多选题7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小【解析】选CD.由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×2πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；圆锥的表面积为S侧＋S底＝eq\r(5)πR2＋πR2＝(eq\r(5)＋1)πR2，圆柱的表面积为S侧＋2S底＝4πR2＋2πR2＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆锥的表面积最小，故D正确．8．已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上下底面均为正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下述正确的是()A．该四棱台的高为eq\r(3) B．AA1⊥CC1C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台外接球的表面积为16π【解析】选AD.由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2；则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2eq\r(3)，则OO1＝eq\r(3)，该四棱台的高为eq\r(3)，A对；因为SA＝SC＝AC＝4，则AA1与CC1夹角为60°，不垂直，B错；该四棱台的表面积为S＝S上底＋S下底＋S侧＝2＋8＋4×eq\f(（\r(2)＋2\r(2)）,2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，C错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝eq\r(3)，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则r＝OB＝2，该四棱台外接球的表面积为16π，D对．三、填空题9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，因为正四棱锥P­ABCD中AB＝2，所以AO′＝eq\r(2).因为PO′＝4，所以在Rt△AOO′中AO2＝AO′2＋OO′2，所以R2＝