-新教材高中数学第一章预备知识1.2集合的基本关系学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE7集合的基本关系新课程标准解读核心素养1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集数学抽象、逻辑推理2.在具体情境中，了解空集的含义数学抽象3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用数学抽象、直观想象草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.[问题](1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？知识点子集、集合相等、真子集1．Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示结论(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C若A＝B且B＝C，则A＝C(1)若AB且BC，则AC；(2)若A⊆B且A≠B，则ABeq\a\vs4\al()1．用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显．2．真子集概念的理解在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.1．任意两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系．2．符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．1．下列Venn图正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的是()解析：选B由N＝{1，0}，知NM，故选B.2．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1.答案：－1集合间关系判断[例1](链接教科书第7页练习2题)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是()A．SPM B．S＝PMC．SP＝M D．P＝MS[解析]∵M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}，∴M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，S＝{…，－7，3，13，23，…}，故SP＝M，故选C.[答案]Ceq\a\vs4\al()判断集合间关系的常用方法[跟踪训练]1．(多选)下列关系中，正确的有()A．0∈{0} B．∅{0}C．{0，1}{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}解析：选AB对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈确定有限集合的子集、真子集及其个数[例2](链接教科书第7页例4)(1)已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N＋，y∈N＋}，则集合A的子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8(2)(2020·北京海淀区月考)已知集合M满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，则所有满足条件的集合M的个数是()A．6 B．7C．8 D．9[解析](1)用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8.(2)由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下．含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}．含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}．含有5个元素：{1，2，3，4，5}．故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．[答案](1)D(2)Beq\a\vs4\al()求集合子集、真子集个数的3个步骤[跟踪训练]已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个.由集合间的关系求参数值(或范围)[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．[解]∵A⊆B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞－5，,m≤4，,m≥3，))故3≤m≤4.∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[母题探究]1．(变条件)本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．解：当B＝∅时，m－6＞2m－1，即m＜－5.当B≠∅时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6≥－2，,2m－1≤5，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,m≥4，,m≤3，))即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m＜－5}．2．(变条件，变设问)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，且B⊆A，则实数m的值又是什么？解：因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，满足B⊆A.所以m的值为1.eq\a\vs4\al()由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[提醒](1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．[跟踪训练]已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．(1)若∅M，求实数a的取值范围；(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1，即实数a的取值范围为[－1，＋∞)．(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N，∴当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)＜0，得a＜－1；当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1，此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意．当Δ＞0时，a＞－1，M中有两个元素，若M⊆N，则M＝N，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝－2，,（－1）×0＝－a，))无解．综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]．子集个数的探究观察下表并回答后面的问题.集合B集合A关系集合C的所有子集集合C的个数{a}{a，b}B⊆C⊆A{a}，{a，b}2{a}{a，b，c}B⊆C⊆A{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}4{a}{a，b，c，d}B⊆C⊆A{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}8[问题探究]1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？提示：若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．(1)当B⊆C⊆A时，满足条件的C有多少个？(2)如果集合C分别满足如下条件：B⊆CA，BC⊆A，BCA，那么C的个数为多少？提示：(1)由表格中的集合可知，若B⊆C⊆A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．(2)①当B⊆CA时，在问题(1)的基础上，去掉与集合A相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．②当BC⊆A时，在问题(1)的基础上，去掉与集合B相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．③当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与集合A，B相等的两个集合，故有2n－m－2个．[迁移应用]1．已知M为非空数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个元素是奇数，则这样的集合M共有()A．6个 B．5个C．4个 D．3个解析：选A集合{1，2，3}的子集共有23＝8(个)，集合{2}的子集共有2个，所以满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．故选A.2．设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X是Sn的子集，我们把X中所有无素的和称为X的容量(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集有________个．解析：因为S4＝{1，2，3，4}，所以S4的所有奇子集为{1}，{3}，{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，{1，2，4}，{2，3，4}，共有8个．答案：81．下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是()A．A＝{π}，B＝{3.14159}B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)}C．A＝{1，eq\r(3)，π}，B＝{π，1，|－eq\r(3)|}D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}解析：选C集合相等，两集合中的元素完全相同．选项A，∵π≠3.14159，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B；选项C，∵|－eq\r(3)|＝eq\r(3)，∴A＝B；选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B.2．(2021·温州高一月考)已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则()A．P∈Q B．P⊆QC．Q⊆P D．Q∈P解析：选C集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，因为集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.故选C.3．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有()A．3∈A B．{－3}∈AC．∅⊆A D．{3，－3}⊆A解析：选ACD根据题意知，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：对于