2019级数学分析(2)期末复习

第第#页2011级数学分析(2)期末复习第一部分各章内容基本要求第6章微分中值定理及其应用(续).掌握凸函数的概念及其一阶导数、二阶导数刻画，掌握凸函数的詹森(Jensen)不等式，能够利用凸函数性质证明一些不等式。.掌握拐点的概念，理解其几何意义，会通过函数的驻点、拐点、单调性、凸凹性以及周期性、奇偶性等描绘函数图像。例1.应用凸函数概念或性质证明如下不等式：ab.(1)对任意非负实数a,b,有Vobe2 -(aeabeb);2ab对任何非负头数a,b,有2arccot一厂arccotaarccotb；对任意实数a,be2/3有Ina-b——2-2(a2lnab2lnb).2ab2例2.确定下列函数的凸性区间与拐点：.. c。 1(1)y3xx; ⑵ylnx一;xyx2lnx; (4)y71""x2^.第7章实数的完备性.掌握区间套、聚点、开覆盖的概念。会求指定点集的聚点，会判

断一族开区间是否构成一个区间(开或半开或闭)的开覆盖。.理解区间套左端点为单调递增有上界数列， 右端点为单调递减有下界数列。.理解聚点的三种不同刻画及其等价性，明白集合 S可能有聚点，也可能没有聚点，聚点可以在S中，也可以不在S中，有限点集一定没有聚点，无限点集不一定有聚点。.掌握聚点原理、区间套定理、有限覆盖定理的内容，弄清其成立的条件与结论，掌握一些反例。.理解实数完备性六个基本定理(确界原理、聚点原理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、 Cauchy收敛准则)的等价性及其证明思想。.会用实数完备性的有关定理证明有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性及其相关问题。例3.分别求Si1|n1,2,3,...,&[0,1)的聚点，并证明之。n例4.验证数集 1nX有且只有两个聚点1 1和21.Inn例5.设an,bn是一个严格开区间套，即满足a1a2 anbn b2bl,且limbnan 0.证明：存在唯一的一点，使得an bn,n1,2,.n如果没有an和bn的严格单调性，结论是否成立？请说明。例6. 设H工」n1,2,l.问3nnH能否覆盖0,1?能否从H中选出有限个开区间覆盖&0,-, &&—1—,1?2 2011例7.设f在(a,b)内连续，且limf(x)limf(x)2011.证明：f在xa xb(a,b)内有最大值或最小值.例8.用有限覆盖定理证明有界闭区间上连续函数的有界性。例9.用闭区间套定理证明有界闭区间上连续函数的介值性。例10.设函数f在a,)上连续，函数g在a,)上一致连续，且有limf(x)g(x)0.x证明：f在a,)上一致连续.【分段考虑，用有界闭区间上连续函数的一致连续性和上述极限】第8章不定积分.掌握原函数与不定积分的概念， 明白一个函数的任何两个原函数之间只相差一个常数。.理解函数的不定积分运算是求导运算的逆运算， 一个函数的不定积分是一族函数，明白其几何意义。.掌握不定积分的基本性质：⑴f(x)dxf(x),df(x)dxf(x)dx.(先积后导，形式不变>f(x)dxf(x)c,df(x)f(x)c.(先导后积，加个常数)⑶线性和的积分等于积分的线性和，即对，R,有(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dx..熟记14个基本导数公式及其来源。.掌握三种基本积分法：分拆积分法、分部积分法、换元积分法及其道理和适用对象、应用技巧，会用其计算某些函数(多项式函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数及其乘积)的不定积分。.会通过三角代换将含有 70F,4^2的积分转化为三角函数有理式的积分；会通过万能代换将三角函数有理式的积分转化为有理函数的积分；会通过根式代换将某些无理根式函数的积分化为有理函数的不定积分；会通过因式分解和变量替换将有理函数积分转化为三种特殊积分并会计算三种特殊积分TOC\o"1-5"\h\z, 1 ,x, kdx, rdx, kdxok 2 2k 2 2kxaxr xr例11.求下列不定积分(1)2.

xdx(2)(x1)2x(1-dx.)(3)(2xx、22)dx.(4)2x3x1.2e dx.(5)cos2x,——2dxsinx(6)2cossin2(axb)mdx, m1,0.(8)cos3xcos2xdx(9)sin2xdx.(10)dx(11)(13)(15)(17)2x3dx

x22x3dx

x(x21)B sin、x.,xdx.dxx(12Inx)arctgx,—= dxx(1x)(12)(14)(16)(19)dx0).(20)(21)dx2x2(22)(23)dx(24)cossincossinsincos14,xdx~A 104xdx~2 772(x1)dx.x(1x)(18)dxdxxx2dx1cosx1sinxxlnxdx.xarctgxdx.e2xcos3xdxTOC\o"1-5"\h\z(25)—— xlnxdx.xarctgxdx.e2xcos3xdx1sincos(27)xcosxdx. (28)(29) arccosxdx. (30)(31) sin3xcosxdx.例12.已知f(x)dx xWx2c,求xf(x)dx.例13.设f（x）0且具有连Z导函数.计算积分(1) _L(x.lnf(x)dx； (2) f(x)f(x)lnf(x)dx.f(x)例14.求下述积分的递推公式nInarccosxdx。第9章定积分.理解定积分的概念，明白其定义过程（分割、取点、近似求和、取极限）及几何意义，明白函数的定积分是函数的整体性质，一个函数的定积分是一个数值（不是函数），与函数本身以及积分区间（上下限）有关。.掌握定积分的基本性质：线性可加性、区间可加性、不等式性质（有序性）及其推论、反向反号性及其推论、积分第一中值定理。.掌握可积准则（定理9.3）,并能够证明下述三类函数的可积性： 连续函数、具有有限多个间断点的有界函数、单调函数（可能有无穷多个间断点）。.理解可导、连续、可积、有界四种性质的关系。.理解可积函数的以下定性性质：可积函数的绝对值函数的可积性（反之未必）；两个可积函数之积的可积性

.掌握变上（下）限积分的定义与基本关系，掌握微积分学基本定理x【连续函数的变上（下）限积分函数 f（t）dt是该函数的一个原函a数】，掌握微积分学基本公式【牛顿-莱布尼茨公式bf（t）dtF（b）F（a）】，理解积分第二中值定理及其推论。a.掌握不定积分与定积分的联系与区别。.熟练掌握定积分的三种基本计算方法及其适用对象：分拆法；分部法；换元法。.会用换元积分法证明：周期函数在区间长度为一个周期的任何区间上积分值相同；奇函数在原点对称的区间上积分为 0；偶函数在原点对称的区间上积分为一半区间上积分的两倍。.会用积分不等式、积分中值定理进行积分估值。.会用定积分定义求有关数列极限。.熟记推广的（高阶导数）分部积分公式，并会由此推导泰勒公式的积分型余项。例15.计算下列定积分(2)2(2)(1) 0cosxdx;2 一.xx2dx；5COSx,； -dx；01sinxsin2xdx;(5) °xS/a2~x2dx;(6)2lnx1xdx(8)2sinx」(8)⑺ 0国Fxdx；1xarctanxdx0(9)3x12xedx;(10)(11)2。4x(9)3x12xedx;(10)(11)2。4x2dx；(12)qaaxx2dx(13)2011sin2011xln(1(14)1 51x25x4dx5(15)1sin0(15)1sin0-arcsinxdx;(16)(2)例17.若f(X)连续,求F'(x)x2⑴F(x)(2)例17.若f(X)连续,求F'(x)x2⑴F(x)0x3⑶F(x)xf(t)dt；etdt。例18.若f(x)连续，且满足(2)F(x)bf(t)dt；r1*「f(t)dt-2-f(x)，求证:tf(t)dt0。7/1~x3-小~x7dx0例16.求下列极限(利用定积分)n1(1)limcosnk1n【求导，导数为0】例19.求下列极限:x.2.sintdt⑴网J一；x0x(2)limxx0x022ln(t21)dt oln(t221)dt例20.比较下列各对定积分的大小⑴ 2xdx,2sinxdx；0 0(2)x1一dx313xdx.0例21.证明下列不等式11x5 7⑴1kx6(2)20』1dx1 2 、2.cosx2例22.设f(x)在［a,b］连续且满足以下四种条件之一，证明f(x)0,x[a,b].(1)bf(x)0,且f

a(x)dx0；(2)b2f(x)dx0；a(3)对［a,b］上任一连续函数b—f-^bg(x)均有f(x)g(x)dx0；(4)对［a,b］上满足附加条件g(a)g(b)0的连续函数g(x)均b有af(x)g(x)dx0.【用反证法，取特殊的g］例23.若递增点列 xn［0,1］,xn 1,函数f(x)在［0,1］上有界且当xxn,n1,2,3,...时f(x)0,求证：f(x)在［0,1］上可积且1f(x)dx00。例24.证明limnn1x01x2dx0。【分段积分，积分不等式估值】例25.设f(x)是(-+ )上周期为p的连续周期函数，证明:1xlimf(t)dtxx0p0f(t)dt。例26.设f(x)在［0,+ )连续，且limf(x)l,证明：lim」xf(t)dtlox X 0X例27.设f'(x)在［a,b］连续，且f(a)0,求证【用微分中值定理和积分不等式】：f(x)dx(ba)2f(x)dx(ba)2

2maxf'(x)axb例28.设y(x)(x0)是连续的严格递增函数， (0) 0,x (y)是它的反函数，证明【利用定积分的几何意义】a bo(x)dx°(y)dyab(a0,b0).等号当且仅当b (a)时成立。x例29.设f(x)在［0,)连续且单调递增，求证：函数F(x)—f(t)dtx0在(0,)上可导且单调递增。【利用变上限积分性质】例30.利用换元积分法证明：若f(x)在所示区间上是连续函数，则TOC\o"1-5"\h\z2 2 2a2a、dx1aa、dx.⑴f(x—)--f(x一)一，xx21xxa3 2 1a22) °xf(x)dx-°xf(x)dx(a0)。x xu例31.利用分部积分法证明： °f(u)(xu)du00f(t)dtdu例32.证明有界闭区间上的单调函数必可积。第10章定积分应用.掌握定积分的几何意义，并会用其计算曲边梯形的面积， 推而广之，计算由若干条曲线所围图形的面积。.掌握光滑曲线的参数方程定义， 并明白直角坐标表示是参数表示的特殊情况，极坐标表示可以转化为参数表示，会依据需要在参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间转化。.掌握已知截面面积函数求空间立体体积公式， 并据此计算旋转体体积。.掌握平面曲线弧长计算公式与原理，理解曲线曲率的概念、含义及其二阶导数表示，了解曲率圆与曲率半径的概念，会在三种曲线表示下，求已知曲线的弧长。.理解微元法，掌握已知曲线围绕x轴或y轴旋转所得旋转曲面的侧面积，会求旋转曲面的面积。.理解用定积分及微元法计算一些物理问题的思想， 会通过物理学的点态(静态)性质解决一些整体(动态)性质。.牢记并会使用以下公式曲边梯形面积公式b 1Aa|f2(x)G(x)dx；A|y(t)x(t)dt；A-r2()d。曲线弧长公式s j~f2(x)dx;sJx2(t)~y2(t)dt；s Jr2()~r2()d。a旋转体体积公式bA(x)dx； Vbf(x)2dx(f=f(x)绕x轴旋转体)；a apb[y(t)]2x(t)dt(绕x轴)；Vpb[y(t)]2x'(t)dt(绕y轴)。a a旋转曲面侧面积公式S2bf(x)|71~f2(x)dx；S2 y(t)|Jx2(t)y2(t)dt。a例33.求下列各曲线所围成的图形面积：(1)直角坐标下：2yx,yxsinx(0x);2yX,yx5.极坐标下蚌线racosb(ba).【注意对称性】r3cos和r1cos所围图形【注意求交点，确定积分区间】。参数方程下2 2 3 _ _x2tt2,y2t2t3;t[0,1].摆线xa(tsint),y a(1cost)(0t2)&x轴.例34.求下列平面图形绕相关轴旋转所得旋转体的体积：2 2(1)椭圆一%1绕x轴.abysinx,y0(0x万)绕x轴.旋轮线xa(tsint),ya(1cost)(0t2),y0,绕y轴.例35.已知球半径为R,试求高为h的球冠体积(h<R).例36.求下列曲线的弧长：2yx,0x1;，x、v1;星形线xacos31yasin3t(0t2);心脏线ra(1cos),0 2,a0.例37.求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：ysinx,0x绕x轴；xa(tsint),ya(1cost),a0,0t绕直线y2a.第11章反常积分.掌握两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的定义，掌握两种特殊的反常积分 2(4) 0 2(4) 0(lnx)dx;0x 1x.掌握两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的基本性质（起点无关性、线性可加性、区间可加性）。.掌握两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的条件收敛与绝对收敛概念及其关系。.掌握两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的 Cauchy收敛准则。.掌握两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的比较判别法及其极限形式，理解其原理，会用其判断一些反常积分的（绝对）收敛性与发散性。.掌握无穷积分的Dirichlet判别法与Abel判别法，理解其原理，会用其判断一些无穷积分的（条件）收敛性与发散性，明白条件收敛的无穷积分的被积函数可能是无界函数，如 xsinx4dx。1.理解暇积分的Dirichlet 判别法与Abel判别法，明白其原理。例38.求下列反常积分的值:1⑴ 2士dx;2x1ax2(2) 0xedx(a0);0).；dx/0).；-2 2 (p,q0(xp)(xq)1x2⑸ -^==dx；0-..1x小、 1(6) pdx,(p1).abx例39.讨论下列反常积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)mx..一、0-——ndx(n,m0);01x(2)-1Hsinfdx;1 2 '1x〔cosxdx,( 1);一xcosx,dx;0x1002dx1e1 . sinxdx0x(6)1lnx, 2dx;01x1 p011nx|dx;(8)dx;sinx(9)1sinx,-dx;0 3 'x2(10)1 1ln(12)dx.例40.若f(x)在［a,)上单调下降，且积分f(x)dx收敛。求证：limxf(x)

x0.【用Cauchy收敛准则，考虑从u到2u的积例例41.设 f(x)dx与af'(x)dx收敛，求证：limf(x)0.【对后者用a x牛顿-莱布尼茨公式，再用反证法】例42.设f(x)单调下降趋于零，「仪)在［0,)连续.求证:_ 2of'(x)sinxdx收敛.【用分部积分法，再用 Dirichlet 判别法】例43.证明不等式:

【估计被积函数大小【估计被积函数大小第二部分各类问题基本方法一、证明问题.聚点问题求法与证明按照定义及其等价刻画，先观察(非孤立)，再证明。.一族区间I对一个区间S的覆盖问题证明集合包含关系suI。.某些点的存在性与唯一性证明用有限覆盖定理。用单调连续函数的介值性与单调性。用连续函数的介值定理。用微分中值定理或积分中值定理。.可积性与不可积性证明(1)用定义，分割、取点、求和、取极限。(2)用已知结论：三类可积函数以及可积函数的线性和的可积性、积的可积性。(3)用可积的必要条件(用于证不可积性)。(4)用可积性判据：(i)上和与下和趋于同一极限；(ii)上和与下和之差(扰量)趋于0；(iii)对任意分割T,当||T|| 0时，其黎曼和趋于一固定极限A。.反常积分的敛散性证明(1)用定义(正常积分取极限)。(2)用比较判别法及其极限形式(绝对收敛)，注意两个特殊积分14dx与4dx的敛散性条件以及一些常见的无穷小0xp 1xp量、无穷大量。用Dirichlet判别法与Abel判别法。(4)用已知结论及收敛的反常积分基本性质(线性可加性、区间可加性)。.积分等式证明(1)用区间可加性，分段。(2)用奇函数、偶函数、周期函数的定积分性质。(3)用换元积分法与分部积分法。(4)用变上限积分性质(微积分基本定理)。.典型数列极限与组合恒等式证明用定积分定义与积分计算。.积分不等式证明(1)用积分单调性(积分不等式)。(2)用积分中值定理。二、计算问题.求不定积分(注意验证，注意加一个任意常数)(1)用基本积分表。(2)用分拆法(适合于若干个简单函数之和， 包括多项式、有理函数、三角函数有理式、指数函数)(3)用换元法：凑微分法(适用于简单变换：线性、对数、指数、募函数、正弦、余弦、反正切、反余切、反正弦、反余弦等) ，第二换元法(适用于根式有理化、三角有理化、简化有理式，常用代换有三角代换、倒置代换、万能代换等)，注意换元法得到的不定积分要换回原变量。(4)用分部法(适用于两个函数之积，将被积函数视为 u(x)v'(x),注意函数u的选取优先顺序：反对代指三)，注意分部积分可能产生循环。熟记一些常用的三角公式：和角的正